“圓面積公式”的誤教與修正

□ 郜舒竹

小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，“圓面積公式”的學(xué)習(xí)通常安排在小學(xué)五年級(jí)或者六年級(jí)，是在已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形（包括正方形）、平行四邊形、三角形、梯形面積公式以及圓的周長(zhǎng)公式之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容。學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)的基本思路是“化未知為已知”，即將圓形通過“剪”與“拼”的過程，改變成為一個(gè)面積相等的長(zhǎng)方形，而后利用長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)出圓面積公式。這樣的方法通常叫作“重組（Rearrangement）”，也就是把圓形剪開之后重新組合、重新安排的意思。

重組過程初看起來(lái)，是將圓形轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)熟悉的圖形，而后利用學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行新知識(shí)的學(xué)習(xí)，是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的。但在教科書以及實(shí)際教學(xué)中，卻存在著違背數(shù)學(xué)邏輯規(guī)律的誤教（Mis-Teaching）現(xiàn)象，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)圓面積公式推導(dǎo)過程存在疑惑與誤解（Misunderstanding）。

一、“因?yàn)橄?，所以是”的推?/h2>

在實(shí)際教學(xué)中，“重組”的過程通常是先將一個(gè)圓形等分為若干扇形，而后將這些扇形剪開后，重組為一個(gè)形如長(zhǎng)方形的圖形，這樣的圖形可以稱為“準(zhǔn)長(zhǎng)方形（Quasi-Rectangular）”，指的是形狀像長(zhǎng)方形，但并不是真的長(zhǎng)方形。比如，首先將圓形等分為四個(gè)扇形，而后重組為一個(gè)準(zhǔn)長(zhǎng)方形（見圖1）。

圖1 四等分準(zhǔn)長(zhǎng)方形示意圖

進(jìn)一步可以將等分的扇形數(shù)量增加，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分割出來(lái)的扇形越多，每一份就會(huì)越小，因此重組出來(lái)的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀就會(huì)更接近真正的長(zhǎng)方形。比如六等分之后的圖形為圖2所示形式。

圖2 六等分準(zhǔn)長(zhǎng)方形示意圖

類似的，還可以更加細(xì)化為八等分、十六等分等等。十六等分后重組的準(zhǔn)長(zhǎng)方形為圖3所示形式。

圖3 十六等分準(zhǔn)長(zhǎng)方形示意圖

以上過程中可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)事實(shí)：第一是面積不變，無(wú)論怎樣分割，重組的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的面積與分割前的圓形面積相等；第二是邊長(zhǎng)不變，無(wú)論怎樣分割，重組的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)”都等于圓周長(zhǎng)的一半，“寬”的長(zhǎng)度等于圓半徑；第三是形狀變化，等分的扇形越多，扇形就越小，重組的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀越來(lái)越接近真正的長(zhǎng)方形。

在人教版六年級(jí)上冊(cè)中，用圖4形式呈現(xiàn)出以上事實(shí)，而后就推理出可以利用長(zhǎng)方形面積公式得到圓形面積公式。即用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（圓周長(zhǎng)的一半）與長(zhǎng)方形的寬（圓半徑）相乘。

圖4 人教版教科書示意圖

這樣的設(shè)計(jì)容易產(chǎn)生的誤解是，在一個(gè)不是長(zhǎng)方形的準(zhǔn)長(zhǎng)方形上使用長(zhǎng)方形面積公式，因而自然會(huì)產(chǎn)生如下的疑惑：

· 無(wú)論將圓形分割為多少份扇形，重組出來(lái)的都是準(zhǔn)長(zhǎng)方形。

· 無(wú)論準(zhǔn)長(zhǎng)方形與真正的長(zhǎng)方形多么接近，也不是真正的長(zhǎng)方形。

· 既然不是真正的長(zhǎng)方形，為什么能夠使用長(zhǎng)方形面積公式呢？

這樣的疑惑是真實(shí)并且合理的，反映出關(guān)于圓面積學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)本身就存在著邏輯上的漏洞。具體反映為一個(gè)明顯錯(cuò)誤的因果推理，也即因?yàn)閳D4左側(cè)的準(zhǔn)長(zhǎng)方形形狀與右側(cè)的長(zhǎng)方形接近，所以可以利用長(zhǎng)方形面積公式。

這種“因?yàn)橄瘢允恰钡耐评碓谶壿嬌鲜遣怀闪⒌?，“像”并不能成為“是”的充分條件，正如從“貓像老虎”不能推理出“貓是老虎”的結(jié)論。這樣的邏輯漏洞，使得小學(xué)階段圓面積教學(xué)實(shí)質(zhì)是一種誤教。為了厘清用重組方法推導(dǎo)圓面積公式的真實(shí)過程，有必要對(duì)這一方法的歷史淵源進(jìn)行考察。

二、重組方法的歷史考察

論及使用“重組”方法推導(dǎo)圓面積公式的早期歷史文獻(xiàn)，是美國(guó)數(shù)學(xué)家史密斯·大衛(wèi)·尤金（Smith David Eugene，1860～1944）與日本數(shù)學(xué)家合作編寫，并于1914年在美國(guó)芝加哥出版的《日本數(shù)學(xué)史》。該書第131頁(yè)介紹了由日本學(xué)者Sato Moshun所著，于1698年出版的《Tengen Shinan》的日文古籍中的方法[1（]見圖5）。

其中的重組過程與如今教科書中的方法基本相同，是將圓形等分為32個(gè)扇形，其中黑色16個(gè)，白色16個(gè)。將這32個(gè)扇形重組為與圓形面積相同的準(zhǔn)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形兩條邊長(zhǎng)度分別為圓周長(zhǎng)的一半和圓半徑，二者相乘即得到圓面積。但書中對(duì)重組過程沒有給出任何解釋，由此看出這樣的邏輯漏洞是有歷史淵源的。

三、誤教的修正

就職于美國(guó)科羅拉多大學(xué)的工程學(xué)教授彼得·貝克曼（Peter Beckmann，1924～1993），于1976年出版了一本《圓周率的歷史》的書，其中也提及了日本古籍中的這一方法，書中用無(wú)限過程中“不變量（Invariant）”的思想，對(duì)重組方法的合理性進(jìn)行了解釋[2]。解釋過程中利用了圖6所示的（a）（b）（c）（d）四個(gè)圖形。

圖5 日本歷史文獻(xiàn)重組方法掃描圖

圖6 不變量解釋重組方法示意圖

首先將圖6中圓形（a）等分為黑色陰影扇形，剪開后依次排列，而后用四個(gè)完全相同的白色扇形補(bǔ)齊，形成一個(gè)準(zhǔn)長(zhǎng)方形（b）。這個(gè)準(zhǔn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別等于圓周長(zhǎng)和圓半徑，面積等于圓面積的2倍。

如果等分的扇形更多，那么重組后的準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀就會(huì)越來(lái)越接近真正的長(zhǎng)方形，但是邊的長(zhǎng)度和圖形面積是不會(huì)改變的。如果將這樣細(xì)分的過程不停地做下去，準(zhǔn)長(zhǎng)方形就會(huì)無(wú)限趨近于真正的長(zhǎng)方形（d），而邊的長(zhǎng)度和圖形面積仍然保持不變。

從圖6中（b）變化到（c），準(zhǔn)長(zhǎng)方形形狀改變了，而且隨著分割份數(shù)的增加，準(zhǔn)長(zhǎng)方形形狀越來(lái)越接近真正的長(zhǎng)方形（d），但邊長(zhǎng)和面積保持不變。這種不變量的存在，反映出變化過程的穩(wěn)定性。正是這樣的穩(wěn)定性，有理由推斷出真正的長(zhǎng)方形（d）的邊長(zhǎng)與前面準(zhǔn)長(zhǎng)方形（b）和（c）對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度都是一樣的，也就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)，寬等于圓半徑。利用長(zhǎng)方形面積公式就可以得到圖形（d）的面積。同樣利用面積的不變量特征，反過來(lái)就可以得到圖形（c）和（b）的面積，進(jìn)而得到圓（a）的面積是前面各個(gè)圖形面積的一半。

這個(gè)解釋實(shí)際上應(yīng)用了高等數(shù)學(xué)中極限理論的一個(gè)基本定理：“常量的極限保持不變。”其大致含義是一個(gè)具有無(wú)窮項(xiàng)的序列，如果其中的每一項(xiàng)都保持不變，那么這個(gè)序列就無(wú)限趨近于一個(gè)唯一確定的結(jié)果，而且這個(gè)結(jié)果與序列中保持不變的項(xiàng)是一樣的。

重組方法中無(wú)論把圓形等分為多少個(gè)扇形，份數(shù)的變化導(dǎo)致的是重組后準(zhǔn)長(zhǎng)方形形狀的變化，而邊的長(zhǎng)度和面積都保持不變，因此隨著等分份數(shù)的增加，就可以依次把重組后的準(zhǔn)長(zhǎng)方形看作一個(gè)無(wú)窮序列。這個(gè)序列中不斷改變的是準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀，這個(gè)形狀無(wú)限趨近于真正的長(zhǎng)方形。而其中每一個(gè)準(zhǔn)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)和面積都是保持不變的，因此這個(gè)序列最終指向的結(jié)果是一個(gè)唯一確定的真實(shí)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形與前面序列中準(zhǔn)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)和面積都一樣。所以可以運(yùn)用長(zhǎng)方形面積公式求得圓面積。依據(jù)這種“形變量不變”的解釋，圓面積公式的學(xué)習(xí)過程至少包括三個(gè)階段：

第一是“分割與重組”，引導(dǎo)學(xué)生將一個(gè)圓形等分為若干扇形，然后重組為準(zhǔn)長(zhǎng)方形的活動(dòng)。

第二是“觀察與想象”，將不同份數(shù)的準(zhǔn)長(zhǎng)方形依次排列后進(jìn)行觀察，隨著等分的扇形數(shù)量的不斷增加，想象準(zhǔn)長(zhǎng)方形的形狀是如何變化的，哪些數(shù)量是保持不變的（見圖7）。

第三是“推理與計(jì)算”，在前面觀察與想象的基礎(chǔ)上，在無(wú)限趨近于真實(shí)長(zhǎng)方形的基礎(chǔ)上使用長(zhǎng)方形面積公式，通過計(jì)算推導(dǎo)出圓面積公式。

圖7 觀察想象示意圖

這樣的過程在原來(lái)基礎(chǔ)上，增加了對(duì)準(zhǔn)長(zhǎng)方形序列中邊長(zhǎng)與面積保持不變的觀察活動(dòng)，體驗(yàn)了從準(zhǔn)長(zhǎng)方形到真實(shí)長(zhǎng)方形的質(zhì)量互變過程，經(jīng)歷了在運(yùn)動(dòng)與變化過程中尋找不變的過程。同時(shí)，長(zhǎng)方形面積公式是在真實(shí)長(zhǎng)方形上使用，而不是在準(zhǔn)長(zhǎng)方形上使用。進(jìn)而也就避免了“因?yàn)橄?，所以是”的推理，使得誤教得到了修正。

“變教為學(xué)”的教學(xué)改革，期望課堂教學(xué)從“教為中心”改變?yōu)椤皩W(xué)為中心”，讓學(xué)生親歷親為地經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程中的活動(dòng)。這就需要教師從“講解”為主的教法，改變?yōu)椤耙龑?dǎo)”為主的教法。這種“引導(dǎo)”的設(shè)計(jì)一方面應(yīng)當(dāng)符合學(xué)生認(rèn)知水平，另一方面還要符合知識(shí)自身的邏輯規(guī)律。切莫讓引導(dǎo)變成誤導(dǎo)，讓教學(xué)變成誤教。

參考文獻(xiàn)：

[1]Smith David Eugene，Mikami Yoshio.A History of Japanese Mathematics[M].Chicago:Open Court Publishing，1914：130-132.

[2]Beckmann Peter.A History of Pi[M].St.Martin's Griffin，1976：36-39.