分類 比較 求簡
——“列舉”教學(xué)例談

□ 陸繼美

“一一列舉”是蘇教版五年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，教材安排兩道例題，例1是與長方形周長、面積計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題，在教學(xué)中主要讓學(xué)生借助列表的方法進(jìn)行有序思考，能夠不重復(fù)、不遺漏地列舉出符合條件的各種圍法，再通過對(duì)列舉結(jié)果的比較找到答案，側(cè)重于讓學(xué)生感知列舉的基本思考過程和方法；例2引導(dǎo)學(xué)生用列舉的策略求出4支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽的場(chǎng)次數(shù)，側(cè)重于讓學(xué)生進(jìn)一步感受列舉的策略特點(diǎn)。在新授課時(shí)，教師往往會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)例題的教學(xué)學(xué)生都掌握得比較好，基本上能做到有序思考，不重復(fù)、不遺漏列舉出各種情況，但是在練習(xí)中，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，學(xué)生往往無從下手，不能恰當(dāng)、正確、靈活地應(yīng)用策略解決問題，因此，教師常常要把練習(xí)中的許多題目當(dāng)作例題來講解，既費(fèi)時(shí)又費(fèi)勁。究其原因，教師在新授課時(shí)沒有有意識(shí)地教給學(xué)生解決這類問題的“策略”，沒有讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三、觸類旁通。那么，在教學(xué)“一一列舉”時(shí)，要讓學(xué)生掌握哪些有效的“解決策略”呢？

一、找準(zhǔn)依據(jù)，是進(jìn)行有效列舉的前提

“水有源，樹有根，思無依據(jù)不成立。”在列舉前，讓學(xué)生找出進(jìn)行列舉的依據(jù)是進(jìn)行有序思考的前提。

比如，在例1“王大叔用22根1米長的木條圍成一個(gè)長方形花圃，怎樣圍面積最大”的教學(xué)中，要讓學(xué)生知道用22根1米長的木條圍成一個(gè)長方形花圃，也就是這個(gè)周長是不變的，都是22米，從而得出“長+寬=11米”，并且要根據(jù)“長+寬=11米”去列舉所有可能的情況，而“用12個(gè)邊長1厘米的正方形排成不同的長方形”則是面積不變，所以要根據(jù)“長×寬=12平方厘米”進(jìn)行列舉，在完成這兩個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)后，老師就要引導(dǎo)學(xué)生比較兩題列舉的不同依據(jù)，讓學(xué)生明白在列舉前先要明確進(jìn)行列舉的依據(jù)，再進(jìn)行列舉，才不會(huì)發(fā)生方向性的錯(cuò)誤。接著，再通過下面一道練習(xí)“一個(gè)音樂鐘，每隔一段相等的時(shí)間就發(fā)出鈴聲。已經(jīng)知道上午9:00、9:40、10：20和11：00發(fā)出鈴聲，那么下面哪些時(shí)間也會(huì)發(fā)出鈴聲？13：00 14：00 15：40 16：00”，讓學(xué)生明確要列舉出哪些時(shí)間會(huì)發(fā)出鈴聲，必須先找出“每隔40分鐘發(fā)出一次鈴聲”的規(guī)律，并以此規(guī)律為依據(jù)進(jìn)行列舉，才不會(huì)發(fā)生偏差。這樣，通過教師有意識(shí)的引導(dǎo)和強(qiáng)化，學(xué)生往后在進(jìn)行列舉的時(shí)候，也會(huì)主動(dòng)尋找列舉的依據(jù)，從而為列舉的正確性提供正確的保障。

二、借助分類，使列舉更有條理性

到了小學(xué)高年級(jí)，如果關(guān)注綜合知識(shí)的應(yīng)用和綜合思想方法的滲透，就能更好地解決問題。教師在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“一一列舉”的策略解決問題時(shí)，要讓他們借助分類的數(shù)學(xué)思想理清錯(cuò)綜復(fù)雜的問題，使其解題思路更為清晰明了，解題步驟更為簡潔有序。

比如在第一課時(shí)的鞏固練習(xí)中，可以安排如下題目：“2張面值100元和2張面值20元的人民幣，一共可以組成多少種不同的幣值？”并且引導(dǎo)學(xué)生按所選的張數(shù)先進(jìn)行分類再列舉，這樣就能按順序、有條理地列舉出，以下幾種幣值組合。

選1張的：100元 20元（2種）

選2張的：200元 40元 120元（3種）

選3張的：220元 140元（2種）

選4張的：240元（1種）

從而得出一共可以組成8種不同的幣值。

實(shí)際上，分類思想在一一列舉中的應(yīng)用非常廣泛，比如列舉用若干張數(shù)字卡片組成多位數(shù)時(shí)，可以按最高位、第二位……分別是不同的數(shù)字進(jìn)行分類，在“投中幾環(huán)”的練習(xí)中，也要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理的分類，按環(huán)數(shù)相同的和不同的分別列舉出投中環(huán)數(shù)的情況。這樣，先進(jìn)行分類，就使得列舉的過程更加嚴(yán)密、順暢，也更容易做到不重復(fù)、不遺漏。

三、巧用比較，幫助學(xué)生克服思維定勢(shì)

烏申斯基認(rèn)為：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)?！痹谝龑?dǎo)學(xué)生列舉的過程中，也要善于應(yīng)用比較，把相似的知識(shí)區(qū)分開，把看似不同的知識(shí)溝通、聯(lián)系起來。

比如在教學(xué)：“小強(qiáng)、小華和小麗是好朋友。如果他們每兩人之間通一次電話，一共要通多少次電話？如果他們互相寄一次賀卡，一共要寄多少張賀卡”時(shí)，就要引導(dǎo)學(xué)生理解這是同一情境中的既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個(gè)問題，其中“一共要通多少次電話”的實(shí)質(zhì)就是從三名同學(xué)中選出兩名，看一共有幾種不同的組合，無須區(qū)分誰是主叫，誰在接聽，所以一共要通3次電話；而“一共要寄多少張賀卡”，則要在上述每一種組合中區(qū)分寄出賀卡的人與接收賀卡的人，所以一共要寄6張賀卡。

再如前面提到的列舉的依據(jù)，是根據(jù)“周長不變”，還是根據(jù)“面積不變”，是借助“列表”“文字方式”，還是“畫圖”的輔助手段等，都應(yīng)用到了比較。通過比較，有利于學(xué)生克服思維定勢(shì)，進(jìn)一步掌握列舉的思考過程和方法，學(xué)會(huì)具體問題具體分析，根據(jù)實(shí)際需要靈活選擇方法，從而提高運(yùn)用策略的水平。

四、以簡馭繁，讓學(xué)生完成數(shù)學(xué)模型化

在進(jìn)行列舉的時(shí)候，我們難免會(huì)碰到一些復(fù)雜、煩瑣的問題，使學(xué)生無從下手，這時(shí)候我們要引領(lǐng)學(xué)生另辟蹊徑，化難為易，以簡馭繁，先從簡單的問題入手，找到規(guī)律，再用規(guī)律去解決更復(fù)雜的問題。

在第二課時(shí)的教學(xué)里，可以安排如下的練習(xí)：

右圖中一共有多少個(gè)正方形？

如果讓學(xué)生直接去數(shù)，可能大部分學(xué)生都摸不著門道，不能完整地?cái)?shù)出正方形的個(gè)數(shù)，即使有些程度比較好的學(xué)生能夠得出正確的答案，也難以做到有“序”思考，更無法完成數(shù)學(xué)的模型化。這時(shí)候，我們應(yīng)該設(shè)計(jì)如下的表格，引導(dǎo)學(xué)生由易到難、有序地進(jìn)行思考和尋找。

邊長為“1”的正方形個(gè)數(shù)邊長為“2”的正方形個(gè)數(shù)邊長為“3”的方形個(gè)數(shù)邊長為“4”的方形個(gè)數(shù)正方形的總個(gè)數(shù)2×2=4 1×1=1 4+1=5 3×3=9 2×2=4 1×1=1 9+4+1=14 16+9+4+1=30 4×4=16 3×3=9 2×2=4 1×1=1

從最簡單的“四格”入手，深入淺出地讓學(xué)生明白邊長分別為“1”“2”“3”“4”……的正方形的個(gè)數(shù)是怎么來的？分別有多少個(gè)？可以用怎樣的公式來概括？學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然，深刻地理解了其中蘊(yùn)含的規(guī)律，能夠應(yīng)用規(guī)律去解決這一類問題，輕而易舉地算出25格、36格……正方形的個(gè)數(shù)，完成了數(shù)學(xué)的模型化，并且能夠應(yīng)用這樣的策略和模型，去解決“幾點(diǎn)之間一共可以連接幾條線段”和“幾條射線一共組成幾個(gè)角”等類似的問題。這樣，學(xué)生解決的就不是一道題，而是通過這道題學(xué)會(huì)了怎么思考，這才是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的。

總之，在這一內(nèi)容前兩課時(shí)的新課教學(xué)中，教師要充分考慮到應(yīng)用“一一列舉”的策略解決問題時(shí)，所牽涉到的各種思考方法和“解決策略”，并把它們滲透到各個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)中，使學(xué)生獲得豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，這樣，才有利于學(xué)生正確靈活地應(yīng)用列舉的策略解決問題。