簡(jiǎn)約·直觀·運(yùn)動(dòng)
——從“梯形的面積”教學(xué)中的一道練習(xí)題說起

□ 張偉明 劉琴霞

【教學(xué)回顧】

這是一節(jié)常態(tài)的練習(xí)課，內(nèi)容是“梯形的面積”。在回憶了梯形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程及計(jì)算方法之后，筆者給出了這樣一道題：

計(jì)算以下三個(gè)圖形的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生很快就算出三個(gè)圖形的面積是“31.5”，并發(fā)現(xiàn)“雖然形狀不同，但上底下底相同，高也相等，所以面積也相等”。還有幾個(gè)在自言自語(yǔ)：“老師，你出的題也太簡(jiǎn)單了！”

師：“那么我來提高一點(diǎn)難度怎么樣？”

“好！”全班幾乎異口同聲。

“請(qǐng)觀察最后一個(gè)梯形，如果上底增加1，下底減少1，請(qǐng)計(jì)算出新的梯形面積。”

學(xué)生很快就計(jì)算出了新圖形的面積是“（4+5）×7÷2=31.5”“還是簡(jiǎn)單！”

“那么上底減少2，下底增加2，面積是多少？”

“（1+8）×7÷2=31.5”

“怎么回事，上底和下底變來變?nèi)サ模娣e怎么都沒有改變??？”

“因?yàn)樯系缀拖碌自黾雍蜏p少的剛好抵消了嘛！”學(xué)生小A說。

“因?yàn)槔蠋煶龅纳系缀拖碌椎暮鸵恢笔?，高一直是7，梯形面積當(dāng)然不會(huì)變?！毙補(bǔ)充說。

“哦，原來是這樣，”學(xué)生“恍然大悟”，“那么你能不能照樣子來設(shè)計(jì)一道題，使圖形面積還是31.5呢？”學(xué)生紛紛發(fā)表意見，重新設(shè)計(jì)了好幾組上、下底的數(shù)量，其中包括一組是8.5和0.5的，“這位同學(xué)設(shè)計(jì)得比較有新意，別人的數(shù)據(jù)都是整數(shù)，他卻是小數(shù)，不知道對(duì)不對(duì)？”“對(duì)的，上下底之和只要還是9就是對(duì)的?！薄澳敲瓷舷碌子邢嗖罡蟮膯?？”

一個(gè)學(xué)生迫不及待地說：“有的，上底是0.0000001，下底是8.9999999。還有更小的。”

“上底能不能繼續(xù)小下去，直到……”我一邊說一邊把手指到沿著梯形的兩腰向一端靠近直到并攏。

“直到上底變成0，下底就是9，”一個(gè)學(xué)生順著我的意思說，“這樣行不行？”

學(xué)生顯然愣住了，過了一會(huì)，小A大聲叫起來：“可以的！”

小B接著說：“對(duì)的，這樣就是一個(gè)三角形啦！”

“可是這是梯形呀！”小C反對(duì)著，大聲反駁前兩位同學(xué)。

“唉呀，我來說，”小B不等我同意，自顧自地跑到屏幕前指著圖說，“這時(shí)候梯形的面積是（9+0）×7÷2=31.5，而三角形的面積是這樣算的，9×7÷2=31.5，面積還是相等的，三角形是一個(gè)上底為0的特殊的梯形！”

筆者觀察其他學(xué)生的反應(yīng)，直到大部分學(xué)生認(rèn)同了，“對(duì)他的看法，其他同學(xué)有沒有意見？”學(xué)生都表示沒有意見，于是筆者表?yè)P(yáng)了小B同學(xué)能動(dòng)腦動(dòng)手，能把前后知識(shí)聯(lián)系起來思考。

這時(shí)平時(shí)數(shù)學(xué)課較沉默的小D在下面猶豫著舉起了手，筆者請(qǐng)她來發(fā)表意見，小D走到黑板上，自顧自地畫起來，先畫了一個(gè)梯形，在梯形上又畫了一個(gè)長(zhǎng)方形，然后指著梯形說：“如果這個(gè)梯形的上底和下底變成一樣長(zhǎng)，都是4.5了，就變成這個(gè)長(zhǎng)方形的樣子，面積是4.5×7=31.5，按梯形的方法算是（4.5+4.5）×7÷2=31.5，面積也是一樣的?！?/p>

這是筆者沒有想到的問題，于是在腦子里飛快地思索著，想著怎么來回應(yīng)她，小E和同桌商量了一下，也舉手了，“老師，我們覺得小D也是對(duì)的，但是如果不是長(zhǎng)方形的話，是平行四邊形也是一樣的?！?/p>

“平行四邊形的樣子，同學(xué)們能想象出來嗎？”筆者把長(zhǎng)方形的形狀向右邊傾斜了一下，學(xué)生紛紛點(diǎn)頭表示贊同。

【教學(xué)思考】

課后，學(xué)生還在紛紛交流課堂上的這道題。細(xì)細(xì)想來，當(dāng)天在課堂練習(xí)構(gòu)建上，亮點(diǎn)頗多，主要有以下三點(diǎn)。

（一）構(gòu)建支架，于簡(jiǎn)約處激發(fā)認(rèn)知

隨著新課改的持續(xù)推進(jìn)，數(shù)據(jù)的層次性越發(fā)凸顯，過度強(qiáng)調(diào)的計(jì)算化也牽絆了學(xué)生的思考，往往不能直指問題的核心，缺少對(duì)問題延伸的思考。

基于對(duì)“梯形的面積”一課的常態(tài)思考，以及對(duì)梯形面積計(jì)算方法的定位，筆者刪減了對(duì)數(shù)據(jù)的人為障礙，以極簡(jiǎn)數(shù)據(jù)構(gòu)建圖形支架。同時(shí)，通過對(duì)圖形的類比，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)了圖形共同之處在于面積的相同，正是這組不“尋常”的簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)，自然而然就激發(fā)了對(duì)更高層次學(xué)習(xí)任務(wù)的需求，為進(jìn)入情境、獨(dú)立思考、協(xié)作學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。好的練習(xí)也應(yīng)如此，通過對(duì)數(shù)據(jù)、形式的簡(jiǎn)單刻畫，勾勒助推學(xué)生思考的畫作，激發(fā)學(xué)生高水平的認(rèn)知。

（二）凸顯本質(zhì)，于直觀處達(dá)成認(rèn)知

這一組題的設(shè)置，遵循了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，從直觀圖形、簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的介入到變化圖形的認(rèn)識(shí)，又因?yàn)閷W(xué)生在平行四邊形、三角形的學(xué)習(xí)中均對(duì)等底等高圖形面積相等有了較為深刻的認(rèn)知，因此上下底相同的梯形納入平行線間進(jìn)行觀察比較是順理成章的，也是學(xué)生喜聞樂見的，在比較中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，其實(shí)真正對(duì)梯形的面積起決定性作用的不是別的，而是梯形的上、下底的和以及高，把等底等高遷移到梯形中來，凸顯梯形本質(zhì)的同時(shí)也是為學(xué)生多樣化思考、層次化認(rèn)知，抽象出相關(guān)結(jié)論搭建了平臺(tái)，學(xué)生的課堂參與度、學(xué)習(xí)效果自然也是非?？捎^的。

（三）溝通聯(lián)系，于運(yùn)動(dòng)處升華認(rèn)知

本題的精妙之處還在于，不僅關(guān)注了知識(shí)的形成，還構(gòu)建了知識(shí)的聯(lián)系。學(xué)生在觀察、對(duì)比后，已經(jīng)對(duì)梯形的上下底和的認(rèn)識(shí)異常深刻，筆者適時(shí)以言語(yǔ)激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流的內(nèi)需，同時(shí)從整數(shù)到小數(shù)的有序反饋，無(wú)限逼近學(xué)生頭腦中蘊(yùn)含著的那個(gè)梯形，筆者最后以“上底能不能繼續(xù)小下去，直到……”這樣的問題打破了梯形面積公式只能計(jì)算梯形面積的模型，溝通梯形與三角形的內(nèi)在聯(lián)系，豐富了梯形的內(nèi)涵。學(xué)生在這種無(wú)形的運(yùn)動(dòng)中，打破固有枷鎖，收獲成功喜悅。配合特定板書，學(xué)生很快又繼續(xù)運(yùn)動(dòng)想象，溝通了梯形與平行四邊形的聯(lián)系，然而這并不是結(jié)束，在學(xué)生運(yùn)動(dòng)到倒三角形后驚喜發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=0時(shí)梯形的面積公式就變成了ah÷2，這就是三角形的面積公式。順理成章，他們又發(fā)現(xiàn)a=b也可以推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式，就是ah。盡管梯形面積計(jì)算公式來源于平行四邊形和三角形，但是反過來它又能用于平行四邊形和三角形的面積計(jì)算！

如俞正強(qiáng)老師在《種子課》一書中所言，“種子的力量在于生長(zhǎng)，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，每一塊知識(shí)都可以描述為從生活中來、到生活中去的一個(gè)過程，這個(gè)過程具有內(nèi)在聯(lián)系，如果將這種內(nèi)在聯(lián)系的延續(xù)性視為生命過程……”這道練習(xí)題就具備了這樣的力量，長(zhǎng)于梯形，延于平行四邊形、三角形，最終又成于梯形。試問，這樣的練習(xí)怎能不扣動(dòng)學(xué)生的心弦？