優(yōu)化思想在解決烙餅問題教學(xué)中的滲透

□ 錢雅琴

優(yōu)化思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一。烙餅問題的教學(xué)目標是讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究的過程，體驗解決問題策略的多樣性，并在尋求解決問題最優(yōu)方案的過程中積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)的優(yōu)化思想。同時，在教學(xué)活動中要突出數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，使學(xué)生初步形成從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出問題的能力以及分析、解決問題的能力，增強應(yīng)用意識和實踐能力。但是，烙餅問題對于學(xué)生來說其實并沒有經(jīng)驗可言，而且“烙3張餅”的最優(yōu)方法與實際生活中的做法完全不同，如何突破這一難點，讓學(xué)生的認識實現(xiàn)同化與順應(yīng)，充分感受到數(shù)學(xué)優(yōu)化思想方法呢？根據(jù)“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)”這一理念，筆者在教學(xué)中設(shè)計了很多實踐活動，讓學(xué)生在動手操作過程中經(jīng)歷優(yōu)化過程，尋找解決問題的最優(yōu)方案，提高學(xué)生解決問題的能力。

一、收集解決烙餅問題的數(shù)據(jù)信息，初步感知最優(yōu)方案的關(guān)鍵因素

筆者在仔細研讀教材后，發(fā)現(xiàn)一個共同點，即教材中對“烙餅問題”的數(shù)學(xué)信息描述過于提煉、集中而有意義，主動摒棄了一些多余信息，要解決的問題也是奔著“最優(yōu)化”目標直接提出來的，學(xué)生只要套用最優(yōu)方案就能順利解決問題。這種以“學(xué)生學(xué)會做書本上的數(shù)學(xué)問題”為教學(xué)目標，以“追求標準答案”為價值取向的傳統(tǒng)教學(xué)模式違背了新課程理念，不利于學(xué)生形成從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出問題的能力以及分析、解決問題的能力。為此，筆者對烙餅問題的引入做了一些改動。

筆者在課件出示“一家三口早餐吃烙餅”情境后，直接問學(xué)生：“從數(shù)學(xué)的角度，你認為必須收集哪些信息？”

生：如果每人1張餅，要烙3張餅；如果每人2張餅，要烙6張餅。

師：每人1張餅。

生：餅的反面要不要烙？

師：哪種烙法的餅更誘人？

生：兩面都要烙！

生：我沒有烙過餅，我想問烙一面要多長時間，既不會是生的又不會烤焦？（這個問題和烙餅時間的快慢有關(guān)，問得太好了）

師：每面大約3分鐘。

這時很多人舉手搶著說：“一共要幾分鐘？”

師：現(xiàn)在把這個任務(wù)交給你來完成，你需要幾分鐘？”

生：烙1張餅要6分鐘，3張餅就要18分鐘。

生：先2張餅一起烙用6分鐘，再烙1張餅用6分鐘，正好12分鐘。

生：3張餅一起烙的話只要6分鐘。

生：我知道2張餅一起烙的話也不用12分鐘，只要9分鐘。

同樣是烙3張餅，為什么有人需要的時間長一些，有人需要的時間短一些？

生：我每次只烙1張餅，他們每次烙2張餅、3張餅，他們肯定比我快了！

生：對啊，想要速度快，就要往鍋里多放幾張餅！

讓學(xué)生經(jīng)歷上面幾番交流與分享，促使學(xué)生主動思考、收集解決烙餅問題的各方面數(shù)據(jù)，初步體驗到影響烙餅速度的關(guān)鍵因素是每次最多烙幾張餅，這一因素也是突破“烙3張餅最優(yōu)方案”教學(xué)難點的關(guān)鍵因素。

二、體驗解決烙餅問題策略的多樣性，為尋找最優(yōu)方案搭架子

接著上面的話題，為了保證比賽的公平公正，老師規(guī)定每次最多只能烙2張餅。此時板書可見右圖。

賽前準備：用圓片表示餅，標出1、2、3號；自主選擇實驗單記錄烙餅方案。

比賽要求：模擬計時開始后，學(xué)生用圓片擺一擺，并在實驗單上寫一寫或者畫一畫，把自己的烙餅方案表達出來。

裁判口令：第一鍋開始——3分鐘到，第二鍋開始——3分鐘到，……

比賽結(jié)束后，比賽成績自然分成兩組，一組快，用時9分鐘；一組慢，用時12分鐘。比賽贏的一組學(xué)生在心理上獲得極大滿足，領(lǐng)悟到優(yōu)化思想的優(yōu)越性；比賽輸?shù)囊唤M學(xué)生自然很沮喪，經(jīng)歷那落后的3分鐘比實際的3分鐘更加漫長，他們的心理觸動并不亞于贏的同學(xué)，他們會在很長一段時間內(nèi)自發(fā)地警醒自己這一次的疏忽，更加自主地探究新問題。

數(shù)學(xué)課標要求，學(xué)生只要能從解決問題的多種方案中尋找出最優(yōu)的方案，初步體會優(yōu)化思想的應(yīng)用就可以了，并不要求學(xué)生一看到問題就能從優(yōu)化的角度給出最優(yōu)的方案。組織這次比賽，不僅很好地體現(xiàn)了新課程提出的“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這一理念，而且尋找解決烙餅問題最優(yōu)方案自然地成為了學(xué)生發(fā)自內(nèi)心的內(nèi)部需求。

三、分享方案，比較辨析，明確烙餅問題最優(yōu)方案的關(guān)鍵

烙餅問題的教學(xué)難點在于如何讓學(xué)生在具體問題的解決中感悟抽象的優(yōu)化思想，如何讓學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象的過程呢？筆者有目的地收集整理學(xué)生的實驗單（如下圖）：

先按上面布局展示學(xué)生的烙餅方案，請學(xué)生各自說一說自己的烙餅方法及所用時間。然后引導(dǎo)學(xué)生仔細觀察不同表現(xiàn)手法的圖表，比較左右兩列烙餅方案，快慢雙方派出學(xué)生代表組織辯論：為什么烙2張餅和烙1張餅都用6分鐘？每次總烙幾張餅最省時間？如何保證鍋里一定有2張餅？哪種方法比較合理？通過烙餅方案的直觀展示與學(xué)生之間的辯論分享，整理成表格如下：

餅數(shù)1 2 3每面時間3分鐘3分鐘3分鐘烙餅方法【① 】【① 】【①②】【①②】【①②】【②③】【③①】烙餅次數(shù)2次2次3次最少時間3×2=6（分鐘）3×2=6（分鐘）3×3=9（分鐘）

引導(dǎo)學(xué)生仔細觀察表格內(nèi)容，學(xué)生能夠輕而易舉地抽象概括出“只有保持鍋里始終有2張餅，不讓鍋空出來，這樣做最省時間”，而且要保證鍋里總是有2張餅，就是不能把①②兩張餅同時烙完，因為③號餅的正反面不可能同時放進一個鍋里。最后引導(dǎo)學(xué)生一起抽象概括出烙3張餅的最優(yōu)方案的數(shù)學(xué)模型：【①②】【②③】【③①】

教師指著上面的表達式，讓學(xué)生說一說：“【】”表示什么？數(shù)字①②③為什么都要出現(xiàn)兩次？使學(xué)生進一步理解烙餅問題的最優(yōu)方案及數(shù)學(xué)符號表示的意義，感受數(shù)學(xué)的簡潔美。

四、變式活動，類比歸納，對優(yōu)化思想的認識實現(xiàn)同化與順應(yīng)

滲透“優(yōu)化思想”一定要讓學(xué)生經(jīng)歷自主體驗和反思頓悟的過程。雖然學(xué)生經(jīng)歷了自主探索和合作交流的過程，初步體驗到了“優(yōu)化思想”在解決問題中的優(yōu)越地位，但是這種體驗是膚淺的，“優(yōu)化思想”在學(xué)生的思維中還是不穩(wěn)定的。因此，筆者添加了情境：上午，爸爸要復(fù)印一份有3張A4紙的文件，兩面都要復(fù)印，每面復(fù)印需要10秒，復(fù)印機一次最多能放2張A4紙，怎樣安排最省時間？最少需要多少秒？讓學(xué)生把復(fù)印方法最快的方案寫在白紙上面。交流時展示兩種簡單的記錄方案：

生1：【①②】【②③】【③①】

30×3=90（秒）

30×3=90（秒）

再一次請學(xué)生說一說“【】”表示什么，數(shù)字①②③為什么都要出現(xiàn)兩次？生2的方案中為什么沒有標出編號？需要40秒復(fù)印完的學(xué)生為什么慢了？通過學(xué)生之間的反思與交流，組織學(xué)生體驗在不同情境中抽象出相同的數(shù)學(xué)本質(zhì)，進一步理解烙餅問題的最優(yōu)方案，使學(xué)生對優(yōu)化思想的認識不斷地實現(xiàn)同化與順應(yīng)。

“去具體情境抽象數(shù)學(xué)本質(zhì)”對于很多學(xué)生來講有很大難度，但這恰恰是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容之一，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，一定要讓學(xué)生經(jīng)歷足夠數(shù)量的實踐應(yīng)用，活動經(jīng)驗積累到一定程度才能實現(xiàn)學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的重組與優(yōu)化，從而使烙餅問題中的優(yōu)化思想成為學(xué)生思想意識中固有的思維定勢。為此，筆者再一次增添情境：中午，一家三口來到一家小餐館，他們每人點了兩個菜，假設(shè)兩位廚師做每個菜的時間都是3分鐘，應(yīng)該按怎樣的順序炒菜？這個問題與前面兩個問題有所不同，同一個人的兩個菜是可以由兩位廚師同時分開炒的，所以學(xué)生的炒菜方案出現(xiàn)了爭議：

生1：【①②】【②③】【③①】

生2：【①②】【①②】【③③】

生3：【①①】【②②】【③③】

筆者合理利用學(xué)生的生成資源，引導(dǎo)學(xué)生進行比較辨析：這三種炒菜方案所用時間相等，如果你是這三個人中的③號，你會要求廚師采用哪種方案的順序炒菜？說說你的理由。設(shè)計這個問題，目的是引導(dǎo)學(xué)生進行換位思考，是讓學(xué)生跳出“最省時間”的思考角度，站在“等候時間”的角度再度審視炒菜方案，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)第一個方案是最優(yōu)方案，理由是第一個方案中第三個人等到第一個菜的時間最短。

生1：

①②③等候第一個菜等候第二個菜3分鐘9分鐘3分鐘6分鐘6分鐘9分鐘

生2：

①③3分鐘6分鐘等候第一個菜等候第二個菜②3分鐘6分鐘9分鐘9分鐘

生3：

①②③等候第一個菜等候第二個菜3分鐘3分鐘6分鐘6分鐘9分鐘9分鐘

解決炒菜問題，不僅需要考慮炒菜時間最省模式，還要考慮等候時間最短模式，作為店主還可以關(guān)注飯店的客流量等，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的引領(lǐng)下，我們不僅要幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，更應(yīng)該幫助他們逐步學(xué)會更全面、更深入地去進行思考，由理性思維逐步走向理性精神。

五、情境拓展，了解優(yōu)化思想具有相對性，初步體驗具體問題具體分析的方法

有意義的學(xué)習(xí)都是遵循“從實踐中來，到實踐中去”，想讓數(shù)學(xué)優(yōu)化思想根植于學(xué)生的思想深處，就必須讓學(xué)生經(jīng)歷實踐的檢驗。因此，筆者再一次返回早餐情境：“如果烙4張餅、5張餅、6張餅、7張餅……呢？”“你發(fā)現(xiàn)了什么？”在組織學(xué)生同伴合作探究，充分地猜想、推理、驗證后，把表格填寫完整：

每面時間3分鐘3分鐘【① 】【① 】3分鐘烙餅次數(shù)2次3分鐘3分鐘【①②】【①②】餅數(shù) 1 2 3 4 5 6 7烙餅方法3分鐘3次4次2次5次最少時間3×2=6（分鐘）3×2=6（分鐘）3×3=9（分鐘）3×4=12（分鐘）3×5=15（分鐘）3分鐘【①②】【②③】【③①】【①②】【①②】【③④】【③④】【①②】【①②】【③④】【④⑤】【⑤③】【①②】【①②】【③④】【③④】【⑤⑥】【⑤⑥】【①②】【①②】【③④】【③④】【⑤⑥】【⑥⑦】【⑦⑤】6次3×6=18（分鐘）7次3×7=21（分鐘）

在學(xué)生交流自己的方案中，出現(xiàn)了下面這些亮點：

“4張餅輪流烙與2張2張地烙，都是12分鐘完成?！?/p>

“餅數(shù)是雙數(shù)的時候，2張2張地烙餅，鍋里總是有2張餅，一定是最省時間的。”

“餅數(shù)是單數(shù)時，為了保證鍋里總是有2張餅，一定要有3張餅輪流烙?！?/p>

“如果輪流烙餅，從第6分鐘起，每隔3分鐘完成1張餅；如果2張2張地烙餅，每隔6分鐘完成2張餅，間隔時間比較長?！睂W(xué)生發(fā)現(xiàn)的這點非常重要，因為在實際等候過程中，每隔3分鐘吃到餅與每隔6分鐘吃到餅是完全不同的兩個時間概念，不僅等候時間比較長，而且等候的人心里會特別著急。因此，在實際生活中，我們除了考慮烙餅人的最少時間以外，還可以考慮排隊等候、吃餅速度等其他因素，多方面考慮問題選擇烙餅的最優(yōu)方案。

在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上，筆者逐步引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出烙餅時間最省的方案：

當(dāng)餅數(shù)是雙數(shù)時，可以2張2張地烙；當(dāng)餅數(shù)是單數(shù)時，先2張2張地烙，最后3張餅輪流烙；最省時間=每面時間×（最少烙餅次數(shù)）。

臨近下課，筆者用課件呈現(xiàn)兩個更大一些的鍋，話鋒一轉(zhuǎn)：“如果鍋里最多能放3張餅或4張餅，要烙7張餅，怎樣才能盡快吃上餅？”學(xué)生一下子炸開了窩，各種方案搶著說，并且為了證明自己的烙餅方案最優(yōu)，不停地尋找理由舉證，力圖說服對手，好一番濃厚的數(shù)學(xué)研究氛圍……課堂探究用的情境是老師為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維精心設(shè)計的，實際生活卻是變幻無常的，只有讓學(xué)生體驗到更復(fù)雜的情境，才能讓學(xué)生逐步養(yǎng)成具體問題具體分析的思考習(xí)慣，才能體驗到數(shù)學(xué)優(yōu)化思想運用的關(guān)鍵因素，更加全面地、深入地進行思考，設(shè)計出最優(yōu)方案。