從概念到素養(yǎng)

馮回祥

前不久，我閱讀了華東師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所所長(zhǎng)崔允漷教授“試論核心素養(yǎng)的課程意義”這篇文章。崔教授以學(xué)習(xí)開(kāi)車為例，深入淺出地闡述了什么是知識(shí)、技能、能力、素養(yǎng)以及它們之間的關(guān)系，讓人深受啟發(fā)。

對(duì)于一個(gè)駕駛員來(lái)說(shuō)，學(xué)會(huì)交規(guī)、掌握駕駛技術(shù)，是上路開(kāi)車的基本能力；良好的文明、安全駕駛意識(shí)，尊重人生命的意識(shí)則是學(xué)習(xí)開(kāi)車的核心素養(yǎng)。聯(lián)想到課堂教學(xué)，傳授給學(xué)生扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生過(guò)硬的解題技能，是每一個(gè)教師都高度重視的問(wèn)題，而且都做得很好。但實(shí)事求是地講，我們?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)等方面做得還不夠好，這會(huì)影響到學(xué)生的終身發(fā)展。猶如司機(jī)只會(huì)開(kāi)車，沒(méi)有安全意識(shí)，那是非?？膳碌氖?。

筆者認(rèn)為：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其實(shí)也不是難事，只要我們有意識(shí)地把數(shù)學(xué)課標(biāo)中提出的“10個(gè)核心概念”落實(shí)到課堂教學(xué)中去，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的基本思想，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，就能有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。下面結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談幾點(diǎn)有關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的路徑和思考。

數(shù)形結(jié)合：培養(yǎng)數(shù)感、幾何直觀的綜合體現(xiàn)

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟，良好的數(shù)感有利于形成科學(xué)的直覺(jué)。具備良好數(shù)感的人應(yīng)該具有對(duì)數(shù)和數(shù)運(yùn)算的敏銳感受力和適應(yīng)性，能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、理解和表現(xiàn)客觀事物的數(shù)量關(guān)系、數(shù)據(jù)特征等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，它在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮著重要的作用。因此，這兩個(gè)核心概念在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)時(shí)是不可或缺的。

在教學(xué)實(shí)踐中，數(shù)形結(jié)合是打通數(shù)感和幾何直觀的有效方式，也是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，讓數(shù)的概念和關(guān)系直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化的方式。

例如，在教學(xué)《小數(shù)的意義》時(shí)，我們借助于幾何直觀，幫助學(xué)生理解小數(shù)的意義，建立數(shù)的概念。比如，通過(guò)米尺直觀圖引出十分之幾、百分之幾、千分之幾的數(shù)都可以用小數(shù)表示。在此基礎(chǔ)上，再借助米尺圖讓學(xué)生在圖中找出具體的小數(shù)，幫助學(xué)生抽象出小數(shù)的意義。

在教學(xué)《相鄰計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)制關(guān)系》時(shí)，教師一般是通過(guò)課件把一個(gè)正方體平均分成10份，再平均分成100份，再平均分成1000份，引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率是十，從而順利且有效地幫助學(xué)生理解相鄰計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)制關(guān)系。最后通過(guò)設(shè)計(jì)在數(shù)軸上找整數(shù)和小數(shù)這樣一道訓(xùn)練題，可以有效溝通整數(shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系。以上明確“意義”，弄清“進(jìn)率”以及溝通 “聯(lián)系”的過(guò)程，既是一個(gè)掌握概念的過(guò)程，更是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的過(guò)程。又如，教學(xué)《有余數(shù)的除法》時(shí)，借助于幾何直觀來(lái)理解抽象的算式中每個(gè)數(shù)與運(yùn)算符號(hào)的意義，如，13÷4=3……1，從而建立“形”與“有余數(shù)除法算式”之間的關(guān)系（如下圖）

以上兩例的教學(xué)過(guò)程中，教師都注重了運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和幾何直觀。我們平時(shí)要重視這樣的直觀教學(xué)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)抓住數(shù)與形之間的聯(lián)系，讓學(xué)生善于以“形”直觀地表達(dá)數(shù)，善于以“形”來(lái)理解數(shù)量關(guān)系和解決問(wèn)題。學(xué)生在“學(xué)會(huì)”且“善于”之中，建立了良好的“數(shù)與形對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)意識(shí)。

自主探究：培養(yǎng)空間觀念、滲透推理的有效手段

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程是探究、創(chuàng)造并應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程。核心素養(yǎng)更加注重學(xué)生的“自主發(fā)展，合作參與，創(chuàng)新實(shí)踐”?，F(xiàn)在越來(lái)越多的教師在教學(xué)中注重創(chuàng)設(shè)豐富多彩的問(wèn)題情境，特別是現(xiàn)實(shí)情境，設(shè)計(jì)形式多樣的探索活動(dòng)，讓學(xué)生面對(duì)有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，自主思考，合作交流，提出個(gè)性化的解決方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，滲透推理的能力。

空間觀念指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體，想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系，描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化，依據(jù)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形等。建立空間概念，有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的形象思維。

例如，教學(xué)《長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)》一課，我們要注重培養(yǎng)學(xué)生的自主探究及合作學(xué)習(xí)的能力。教師先讓學(xué)生拿出長(zhǎng)方體看一看、摸一摸，加深對(duì)長(zhǎng)方體的感性認(rèn)識(shí)，然后再分組合作探究：長(zhǎng)方體的面、棱、頂點(diǎn)各有怎樣的特征？接下來(lái)，學(xué)生通過(guò)“量一量”“比一比”發(fā)現(xiàn)了相對(duì)的棱的長(zhǎng)度相等；通過(guò)“算一算”又發(fā)現(xiàn)了相對(duì)的面的面積相等。整個(gè)探究過(guò)程，是一個(gè)邊操作，邊思考，邊討論的過(guò)程。在大家共同的努力下，他們分別探究出了長(zhǎng)方體面、棱、頂點(diǎn)的特征。這樣的探究過(guò)程，不僅加深了學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)，而且培養(yǎng)了學(xué)生合作交流的意識(shí)，極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)生的空間觀念也自然得到了培養(yǎng)和發(fā)展。

在給學(xué)生建立千米、公頃、立方米等概念時(shí)，由于這幾個(gè)概念比較抽象，難于形成深刻印象。因此，在教學(xué)之前，我們可以安排前置作業(yè)：讓家長(zhǎng)帶孩子去走一走大約1千米長(zhǎng)的路，去看一看大約1公頃的地方（一般來(lái)說(shuō)，一所小學(xué)大約在1-2公頃）。教師在課堂上用1米長(zhǎng)的三維尺，借助墻面圍一個(gè)1立方米的空間，讓學(xué)生去“鉆一鉆”，并引導(dǎo)學(xué)生觀察思考1立方米空間大約可以容納多少個(gè)小學(xué)生？從而體會(huì)到1立方米空間的大小。多年的實(shí)踐表明，只要是讓學(xué)生去“走過(guò)”“看過(guò)”“鉆過(guò)”，學(xué)生不僅能順利地掌握所學(xué)概念，而且“刻”在頭腦中的這些“長(zhǎng)度”“面積”以及“體積”應(yīng)該說(shuō)是一輩子也不會(huì)忘記的。如此教學(xué)，學(xué)生的空間概念可以真正地得到培養(yǎng)和發(fā)展。

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)——猜想”。杜威曾說(shuō)：“科學(xué)的每一項(xiàng)巨大成就，都是以大膽的幻想為出發(fā)點(diǎn)的?！睂?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的猜想，實(shí)際是一種數(shù)學(xué)想象，是一種創(chuàng)新精神的體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要鼓勵(lì)學(xué)生大膽提出猜想，富有創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，分享自己的想法，鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維。

例如，在教學(xué)《平行四邊形的面積》時(shí)，在探索平行四邊形面積公式的環(huán)節(jié)中，教師可以先讓學(xué)生將平行四邊形不滿一格的遷移合成一格，再經(jīng)過(guò)數(shù)方格的方法求出平行四邊形的面積。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧長(zhǎng)方形面積公式，讓學(xué)生猜一猜，平行四邊形的面積公式會(huì)是怎樣的？最后引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)操作，剪一剪，移一移，拼一拼，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形，從而推出平行四邊形面積計(jì)算公式并驗(yàn)證猜想的結(jié)果。當(dāng)然，我們還可以先讓學(xué)生回顧長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，然后再讓學(xué)生大膽猜想平行四邊形的面積計(jì)算公式，并說(shuō)明猜想的理由。課堂上，有學(xué)生猜想它的面積計(jì)算是鄰邊相乘，理由是長(zhǎng)方形面積是相鄰的兩條邊相乘。顯然，學(xué)生這樣的猜想是一種“負(fù)遷移”，屬于正常認(rèn)識(shí)。當(dāng)這種猜想出現(xiàn)時(shí)，立馬引起了很多孩子的反駁，而且反駁的理由相當(dāng)充分。最后通過(guò)操作活動(dòng)，從長(zhǎng)方形拉成平行四邊形提出猜想：平行四邊形的面積可能是底乘高，接著再讓學(xué)生去驗(yàn)證。

如果說(shuō)這是一個(gè)猜想、探究、活動(dòng)的課堂，那么它也是一個(gè)創(chuàng)新的課堂。因?yàn)閷W(xué)生的思維火花在這里得到了碰撞和綻放，學(xué)生追求真理的精神也得到了充分體現(xiàn)。

合理提煉：培養(yǎng)模型思想和應(yīng)用意識(shí)的重要方法

模型思想是三個(gè)數(shù)學(xué)基本思想之一。模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的。它不僅可以為數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)和交流搭建橋梁，而且是解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要工具。數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)有兩個(gè)方面的含義：一方面有意識(shí)利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題；另一方面，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題，這些問(wèn)題可以抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。由此不難得知，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該是通過(guò)具體的問(wèn)題來(lái)傳授抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)該從學(xué)習(xí)者所經(jīng)歷、所接觸的客觀實(shí)際中合理提煉問(wèn)題，然后升華為數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則或數(shù)學(xué)思想。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)必須加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，才能顯露數(shù)學(xué)教育的本色。

例如，教學(xué)《乘法的分配律》一課，教師首先讓學(xué)生分組，根據(jù)不同的算式編數(shù)學(xué)問(wèn)題。幾個(gè)組編“（3+8）×4”的問(wèn)題，另幾組編“3×4+8×4”的問(wèn)題，通過(guò)辨析編寫(xiě)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，溝通兩個(gè)數(shù)學(xué)算式間的聯(lián)系。接著引導(dǎo)學(xué)生觀察等式的特點(diǎn)，再寫(xiě)出符合這個(gè)特點(diǎn)的等式。如，學(xué)生寫(xiě)出（10+25）×8和10×8+25×8等算式后，讓學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣的式子寫(xiě)不完時(shí)，教師可順勢(shì)提問(wèn)：“能不能用一道等式把這個(gè)規(guī)律表示出來(lái)呢？”

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生想到了用字母來(lái)表示定律，即（a+b）×c=a×c+b×c，從而建立了“乘法分配律”的模型。接下來(lái)學(xué)生就可以運(yùn)用模型去進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算及解決問(wèn)題。這樣的教學(xué)過(guò)程，不僅關(guān)注了運(yùn)算定律的形式化表達(dá)，還培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力和模型思想。當(dāng)然，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，概念的形成、公式的推導(dǎo)以及方法的歸納等過(guò)程也是數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程。通過(guò)建模教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和自主、合作、探索、創(chuàng)新的精神，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想，形成學(xué)生良好的思維習(xí)慣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

培養(yǎng)學(xué)生從小用數(shù)學(xué)的意識(shí)，就是要用數(shù)學(xué)的眼光，從數(shù)學(xué)的角度觀察事物、闡釋現(xiàn)象、分析問(wèn)題。意識(shí)是一個(gè)思想認(rèn)識(shí)，也是一種心理傾向，其重在自覺(jué)性、自主選擇性，它需要在較長(zhǎng)時(shí)間中通過(guò)一定量的實(shí)踐才能形成。平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，只要我們注重用數(shù)學(xué)解決學(xué)生身邊的問(wèn)題，注重用學(xué)生容易接受的方式展開(kāi)數(shù)學(xué)教學(xué)，注重學(xué)生的親身實(shí)踐，重視在應(yīng)用數(shù)學(xué)中傳授數(shù)學(xué)思想和方法，把培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力作為教學(xué)內(nèi)容的主線，通過(guò)“問(wèn)題情境——建立模型——解釋與應(yīng)用”的基本體系，多角度、多層次地編排數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)容，使自己的教學(xué)藝術(shù)達(dá)到引人入勝、至臻完善的境界，就能更有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

當(dāng)然，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)并非一朝一夕之事，而是一個(gè)長(zhǎng)期的潛移默化的過(guò)程。教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中要不斷去探索和總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，既要關(guān)注“四基”“四能”的教學(xué)，又要重視數(shù)學(xué)思想方法，特別是“核心概念”的培養(yǎng)，這樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力就接了地氣。

（作者單位：華中科技大學(xué)附屬小學(xué)）