數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探討

黃艷

摘 要：隨著數(shù)學(xué)建模比賽的開展和普及，越來越多的學(xué)校已經(jīng)認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模教育對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和解決實(shí)際問題的重要性。首先介紹一下什么是數(shù)學(xué)建模，分析其對高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重要性，結(jié)合一些實(shí)際情況來探討數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；應(yīng)用

隨著我國高等院校不斷的擴(kuò)大招生，學(xué)生的個(gè)體性差異和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的差別已經(jīng)越來越大，而作為高等學(xué)校的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程《高等數(shù)學(xué)》也在不斷地面向教學(xué)改革。與此同時(shí)，隨著數(shù)學(xué)建模比賽的開展和普及，越來越多的學(xué)校已經(jīng)認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模教育對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和解決實(shí)際問題的重要性。將數(shù)學(xué)建模思想融入到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，將理論與實(shí)際相結(jié)合，已儼然成了高校研究高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革等教研項(xiàng)目的一個(gè)十分重要的研究領(lǐng)域。

1 數(shù)學(xué)建模的方法與過程

數(shù)學(xué)建模的概念是針對一個(gè)具體的實(shí)際現(xiàn)象，依據(jù)其內(nèi)在的發(fā)展規(guī)律，給出一些理想性的假設(shè)，利用數(shù)學(xué)知識建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型的過程。即，數(shù)學(xué)建模簡單來說就是利用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決一些實(shí)際問題的過程。

建模的方法一般有兩種：（1）原理分析，這類方法主要是針對一些有具體實(shí)際意義或物理背景的模型，根據(jù)對研究對象的實(shí)際認(rèn)識，分析其內(nèi)部因果關(guān)系，找出其內(nèi)部的反應(yīng)原理。（2）系統(tǒng)辨識，將研究對象看成一個(gè)“黑箱”，我們并不知道其內(nèi)部反應(yīng)原理，只能通過測量得到一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，再利用這些數(shù)據(jù)，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)或統(tǒng)計(jì)的方法，擬合得出最好的模型，從而解決實(shí)際問題。一般在建模的過程中，我們既要用到原理分析，又要用系統(tǒng)辨別，首先利用原理分析建立數(shù)學(xué)模型的框架，然后利用系統(tǒng)辨識方法來計(jì)算出我們所建立模型的參數(shù)。

數(shù)學(xué)建模的步驟主要分為以下幾步：（1）問題分析；（2）模型假設(shè)；（3）符號說明；（4）數(shù)據(jù)處理；（5）模型建立與求解；（6）模型評價(jià)；（7）模型改進(jìn)與推廣等。

數(shù)學(xué)模型的類型主要有兩類：（1）依據(jù)研究對象與研究方法主要分為：邏輯模型、優(yōu)化模型、幾何模型、圖論模型、擴(kuò)散模型、微分方程模型等。（2）依據(jù)研究對象所屬學(xué)科主要分為：生態(tài)模型、人口模型、生態(tài)模型、交通模型、環(huán)境模型、社會(huì)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、生理模型、物理模型、經(jīng)濟(jì)模型等。

2 數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重要性

近年來，隨著目前高等學(xué)校辦學(xué)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，導(dǎo)致現(xiàn)在招生規(guī)模也進(jìn)一步擴(kuò)大，然而我們的生源質(zhì)量卻出現(xiàn)整體下滑趨勢，大部分高校學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)十分薄弱，數(shù)學(xué)水平參差不齊。其次，目前大多數(shù)高等學(xué)校教師的教學(xué)方法與手段比較傳統(tǒng)和單一，主要是講授法，授課內(nèi)容也比較枯燥，沒有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣不高，從而大部分學(xué)生帶有“數(shù)學(xué)無用”的主觀意識。另外，高校的考核方式也十分單一，主要采用平時(shí)成績與期末考試成績的雙評價(jià)方式，考試的內(nèi)容主要還是有關(guān)高等數(shù)學(xué)理論性知識的考核，導(dǎo)致很多同學(xué)考完高等數(shù)學(xué)就把數(shù)學(xué)知識丟掉了，完全不清楚學(xué)校開設(shè)這門學(xué)科的意義，也不清楚高等數(shù)學(xué)對自己專業(yè)學(xué)科的幫助。

雖然，加入大量的數(shù)學(xué)建模案例，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中是不太現(xiàn)實(shí)的，但是數(shù)學(xué)建模思想，我們可以可以嘗試融入到高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的，融入數(shù)學(xué)建模思想到高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)十分重要的研究領(lǐng)域。

數(shù)學(xué)建模的思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的作用主要有以下幾個(gè)方面：

（1） 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，如分析和解決實(shí)際問題的能力、創(chuàng)新能力、論文寫作能力和團(tuán)隊(duì)合作精神等。如：一次數(shù)學(xué)建模的過程需要我們利用各種數(shù)學(xué)理論知識與方法以及對研究對象的實(shí)際認(rèn)識去分析和解決實(shí)際問題，建立理想的數(shù)學(xué)模型，并利用計(jì)算機(jī)軟件和統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行處理和計(jì)算，反復(fù)驗(yàn)證，得到該模型最優(yōu)的解，這些對培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力是有利的。另外，一次數(shù)學(xué)建模的完成是依據(jù)一個(gè)團(tuán)隊(duì)的力量來完成的，需要融合各個(gè)學(xué)科的綜合知識，一般三個(gè)人，通力協(xié)作來完成的，另外在整個(gè)建模的過程中包含建模、編程、寫論文等工作，所以要求學(xué)生具有較強(qiáng)的分析問題能力、寫作能力、合作精神等。

（2） 培養(yǎng)教師的創(chuàng)造性思維，從而有助于提高教師的教育教學(xué)能力。教師只有不斷的加強(qiáng)自己的創(chuàng)造性思維，在教學(xué)過程中慢慢滲透建模思想，在日常實(shí)際教學(xué)過程中慢慢增加一些實(shí)踐環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生掌握“自發(fā)式”的學(xué)習(xí)方法，從而也達(dá)到了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的。

（3） 推動(dòng)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)的改革，包括教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段等多方面的改革。

（4）為大學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模比賽創(chuàng)造了基礎(chǔ)。融入數(shù)學(xué)建模思想到高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以使學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中受到數(shù)學(xué)建模思想的一些熏陶，督促學(xué)生自覺的去查閱相關(guān)信息，掌握相關(guān)知識，為學(xué)生參加一些全國性的數(shù)學(xué)建模比賽創(chuàng)造了良好的條件。近年來，已經(jīng)越來越多的學(xué)校比較關(guān)注數(shù)學(xué)建模的教育以及建模比賽的參與。

3 數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用

3.1 建模思想在理論教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生主要是根據(jù)實(shí)際需要而提煉的，所以在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，我們教師應(yīng)該重視數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中抽離出數(shù)學(xué)概念，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。高等數(shù)學(xué)中有幾個(gè)核心的概念始終貫穿在整個(gè)教學(xué)過程中，如函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、向量、級數(shù)等。教師在講解這些概念后可以補(bǔ)充具有代表性的案例，融入建模思想，從而使學(xué)生加深對抽象概念的理解。比如：在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)的概念是從物理問題中的變速直線運(yùn)動(dòng)求瞬時(shí)速度，幾何問題中的求切線斜率等實(shí)際應(yīng)用問題抽象出來的，這就足以已經(jīng)說明導(dǎo)數(shù)的概念其實(shí)具有十分廣泛的應(yīng)用的，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要是解決一些變化率的問題，以此為依據(jù)，可以針對導(dǎo)數(shù)的定義，引入邊際成本、化學(xué)反應(yīng)速度、最優(yōu)價(jià)格等實(shí)際問題；在學(xué)習(xí)定積分的概念時(shí)，概念的提出主要是從幾何問題求曲邊梯形面積和物理問題求變力做功抽象出來的，定積分的基本思想是“化整為零”，基本過程有四步“分割、近似、求和、取極限”，概念的建立關(guān)鍵是以局部代替整體，以常量代替變量，以具體代替抽象。在所有的定積分的應(yīng)用問題中，分析每一個(gè)局部是關(guān)鍵，因此提出了“微元”的思想。

3.2 建模思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，盡可能選用一些與生活實(shí)際相結(jié)合的數(shù)學(xué)建模案例，使學(xué)生充分感受到，數(shù)學(xué)應(yīng)用就在身邊。通過對應(yīng)用問題的分析和教材上已有模型的講解，介紹數(shù)學(xué)建模思想方法，融入建模思想，從而使學(xué)生學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中篩選出有用的信息與數(shù)據(jù)，建立模型，提供學(xué)生的理解能力、計(jì)算機(jī)能力、解決實(shí)際問題等能力。應(yīng)用意識的融入，主要是通過一些具體的實(shí)際問題，讓學(xué)生明確什么類型的問題可以用什么樣的方法。例如：“存款問題”與極限方法、“貸款購房”與函數(shù)的應(yīng)用、“投資費(fèi)用問題”、“助學(xué)基金問題”與級數(shù)的應(yīng)用、“電學(xué)問題”與微分方程、“倒酒問題”與向量代數(shù)等。高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問題有很多，下面主要從以下兩個(gè)問題來分析：（1）最值問題。在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中，尤為重要的部分就是求已知函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值和凹凸性與拐點(diǎn)了。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中可以歸納出求最值的基本解題步驟，可以適當(dāng)?shù)脑黾右恍?shí)際問題來開拓學(xué)生的思路，如“平臺(tái)的設(shè)置與調(diào)度問題”，通過練習(xí)使學(xué)生掌握求最值問題的方法，讓學(xué)生體會(huì)到廣泛性的應(yīng)用。（2）微分方程問題。高數(shù)中微分方程這一章以計(jì)算為主，分別介紹了幾種特殊的微分方程并給出相應(yīng)的求解方法與過程。學(xué)習(xí)微分方程的計(jì)算實(shí)際就是為了解決一些應(yīng)用問題的。一般的過程是，首先確定一些變量，分析這些變量之間的關(guān)系，然后依照數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物等理論知識或?qū)嵺`建立微分方程，并給出初始條件，利用高等數(shù)學(xué)中所學(xué)的微分方程求解方法得出結(jié)果，并分析和驗(yàn)證所得到的結(jié)果。微分方程概念的建立是從具體的實(shí)際問題抽離出來的，因此可以解決很多實(shí)際問題，如“期權(quán)問題”。

數(shù)學(xué)建模思想在什么時(shí)候融入最合適呢？當(dāng)所學(xué)內(nèi)容與已有經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系時(shí)，才是最有意義、最有效的，也是最能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性的。引進(jìn)數(shù)學(xué)的模型是應(yīng)借助已知的概念與定義，在解決模型的過程中，引入新的定義方法，這個(gè)時(shí)候融入數(shù)學(xué)建模思想是最合適的，效果也是最理想的。

4 加強(qiáng)培養(yǎng)教師的數(shù)學(xué)建模思想和創(chuàng)造性思維

作為學(xué)生學(xué)習(xí)道路的領(lǐng)航人，我們教師應(yīng)該自覺加強(qiáng)自身的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新意識，突破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，利用數(shù)學(xué)建模這個(gè)強(qiáng)有力的工具，引導(dǎo)學(xué)生掌握“自發(fā)式”的學(xué)習(xí)方法，在教學(xué)過程中融合數(shù)學(xué)建模思想。此外，還可以引導(dǎo)學(xué)生多積極參加數(shù)學(xué)建模比賽，還可以在大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論課程中增加一些應(yīng)用型的課程，如“數(shù)學(xué)建?！?、“運(yùn)籌學(xué)”、“統(tǒng)計(jì)學(xué)”、“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”、“計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)”等，在其余與數(shù)學(xué)相關(guān)的專業(yè)課程教學(xué)中，也可以慢慢滲透數(shù)學(xué)理論以及建模思想，增加實(shí)際應(yīng)用方面的內(nèi)容，從而達(dá)到使教學(xué)內(nèi)容不斷更新的目的。

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想是目前高等學(xué)校推動(dòng)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一種有效途徑和重要方向，也有利于全面提高學(xué)生綜合素質(zhì)。通過融入數(shù)學(xué)建模思想到高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以使學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力。

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