一類分數(shù)階微分方程邊值問題解的存在性

王文倩，馬凡婷，孫 芮

（蘭州交通大學 數(shù)理學院，甘肅 蘭州730070）

分數(shù)階微積分是處理任意階微積分研究及應用的數(shù)學分析領(lǐng)域，其微分與積分不再局限于整數(shù)，可以是任意的實數(shù)或者復數(shù)。1832年Liouville提出了分數(shù)階微分定義，并用該定義成功解決了勢理論問題。1847年Riemann對分數(shù)階微積分定義做了進一步修正和補充。研究和應用比較多的兩種定義是Caputo定義和Riemann-Liouville定義。目前對分數(shù)階微分方程研究主要集中在初值問題、邊值問題、周期解、分數(shù)階微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性以及微分包含問題等方面[1-9]。

2010年Zhou等考慮如下邊界值問題[10]

2012年Bashir Ahmad等討論了分布邊界值條件的分數(shù)階微分方程的邊值問題[11]

受到上述文獻的啟發(fā)，主要研究下述分數(shù)階微分方程邊值問題

1 預備知識

引理 1[12]設α＞0,若x∈C(0,1)?L[0,1],α＞0,則分數(shù)階微分方程的唯一解可表示為

其中，n-1＜α≤n,ci∈R,i=1,2,…,n∈N。

引理 2[12]設α＞0,若x∈C(0,1)?L[0,1]有α階導數(shù)，且∈C(0,1)?L(0,1),則

其中，n-1＜α≤n,ci∈R,i=1,2,…,n,n∈N。

引理3 設h(t)∈C[0,1],則下述問題

其中

證明 假定x(t)滿足（1），由引理1可得

從而

可知c2,c3=0。再利用及 (1)得

由邊界條件可得

從而得出

故

2 主要成果

為了得出所要的結(jié)論，給出如下的假定：

(H1)函數(shù)f:J×R→R為連續(xù)函數(shù)，且存在非負常數(shù)L,使得|f(t,u)-f(t,v)|≤L‖u-v‖,L＜1,對任意t∈J,u∈R都成立。

(H2)存在常數(shù)μ使得λ≤μ＜1,t∈J,其中

定理 1 假設(H1)和(H2)成立，則方程(1)在C(0,1)上有唯一解。

證明 由引理3，方程(1)有解當且僅當算子方程Tx=x有不動點。

第一步，定義算子如下

則

因為f為連續(xù)函數(shù)，所以當n→∞時有‖(Tun)(t)-(Tu)(t)‖ →0,所以T:C[0,1]→C[0,1]連續(xù)。

第二步，考慮集合DM={y∈C[0,1]:‖y‖≤M},且存在正常數(shù)M＞0使得|f(t,u)|≤M，顯然DM是C[0,1]的閉凸有界集。下面證明T(DM)?DM,對?u∈DM,有

因此，‖(Tu)(t)‖≤M。

第三步，證明T為壓縮映射，對于u,v∈C[0,1]和對每一個t∈[0,1]，由(H1)可以得到

由于L＜1,因此T是一個壓縮映射。由壓縮映像原理，可以得出T有唯一不動點也即是方程(1)的唯一解。

3 舉例

例1 考慮分數(shù)階微分方程邊值問題

解 顯然，

滿足定理1的條件，此邊值問題有唯一解。

4 小結(jié)

文章給出了Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)的基本理論，研究了在Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)2＜q≤3的前提下，與經(jīng)典分析類似，通過定義合適的線性空間以及范數(shù)，設定合適的算子，在滿足一定的條件下，利用壓縮映像原理得出了分數(shù)階微分方程解的存在性和唯一性的條件。

參考文獻：

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