高等數(shù)學理論在高中數(shù)學教學中的滲透

唐 劍，王振新，李 群，孫娓娓

(1.阜陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 阜陽 236037；2.太和中學，安徽 阜陽 236600)

高等數(shù)學課程不但與其它學科聯(lián)系密切，而且亦是理科、工科及經(jīng)管等專業(yè)學習的基礎(chǔ)，是整個大學課程學習的開端。清晰的內(nèi)容結(jié)構(gòu)和作為數(shù)學應(yīng)用的基礎(chǔ)是高等數(shù)學課程的特點，使其成為大學數(shù)學的基礎(chǔ)課程之一[1]。高等數(shù)學課程是我們建立知識體系的主要奠基學科，也是高中數(shù)學的發(fā)展和延伸。高等數(shù)學課程作為學習后繼專業(yè)課程的基礎(chǔ)，其教學目的主要是為了讓學生了解基本的知識和方法，培養(yǎng)其數(shù)學思維方式。

高等數(shù)學課程包含了許多分支學科，我們在學習中可以發(fā)現(xiàn)，高等數(shù)學所研究的對象較高中數(shù)學來說有了更深層次的追求，涉及了很多新的概念，同時也強調(diào)了許多不同的量。我們不難發(fā)現(xiàn)，高等數(shù)學和高中數(shù)學的研究內(nèi)容及特點有很多相似之處，但是其研究和運算方法卻更加繁雜。正因如此，高等數(shù)學課程在知識內(nèi)容上是高中數(shù)學的繼續(xù)與拓展，在觀念上是高中數(shù)學的深化與發(fā)展，在思想方法上是高中數(shù)學的沿襲與擴張[2]。本文將從知識方面、思想方面、學科自身性質(zhì)方面及觀念方面探討高等數(shù)學課程與高中數(shù)學的聯(lián)系，同時分析并歸納高等數(shù)學理論在高中數(shù)學解題中的若干應(yīng)用，探索高等數(shù)學理論在高中數(shù)學教學中的滲透作用。

1 高等數(shù)學課程與高中數(shù)學的聯(lián)系

非數(shù)學專業(yè)的學生在進入大學校門后最先接觸的數(shù)學基礎(chǔ)課程就是高等數(shù)學，該課程為非數(shù)學專業(yè)的三大數(shù)學類公共基礎(chǔ)課程之一，這表明了它在數(shù)學基礎(chǔ)課程中的重要地位。在接觸高等數(shù)學課程后，我們不難發(fā)現(xiàn)它和高中數(shù)學聯(lián)系十分密切，該課程是聯(lián)系初等數(shù)學、大學數(shù)學的樞紐。有些知識由于局限性使得在高中數(shù)學中我們無法深入了解，但是到了高等數(shù)學課程中就很容易得到解決。下面我們主要探討高等數(shù)學課程與高中數(shù)學在知識方面、思想方面、學科自身性質(zhì)方面及觀念方面的聯(lián)系。

1.1 知識方面的聯(lián)系

高中數(shù)學課程中我們掌握了函數(shù)的概念、性質(zhì)以及相關(guān)運算法則。學習了高等數(shù)學課程之后，拓寬了我們對函數(shù)更多的認識，深入學習了函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性、有界性、連續(xù)性、凹凸性及函數(shù)的極值等性質(zhì)，相關(guān)的運算法則也有了較為嚴格的定義。同時，在高等數(shù)學課程中不僅對高中數(shù)學中所學習的函數(shù)導數(shù)給出了精確的定義，而且也拓寬了函數(shù)導數(shù)的性質(zhì)及相關(guān)應(yīng)用，尤其對函數(shù)導數(shù)的幾何意義做了深入剖析。另外，高中數(shù)學課程中所學習的各種初等函數(shù)、向量、參數(shù)方程、坐標系等知識為進一步學習高等數(shù)學課程奠定了理論基礎(chǔ)。

綜合以上，不難看出高等數(shù)學課程和高中數(shù)學課程有很多聯(lián)系。它不但讓我們了解了許多高中數(shù)學中未能理解清楚的問題，而且以各個知識點作為實例，由淺入深，為高等數(shù)學的學習打下了堅實的基礎(chǔ)。

1.2 思想方面的聯(lián)系

1.2.1 抽象化思想

小學數(shù)學通過數(shù)具體物體的數(shù)量來學習數(shù)字，把我們引入了算術(shù)運算時期。中學數(shù)學通過未知數(shù)x，帶領(lǐng)我們走進研究簡單函數(shù)與方程的時期。高等數(shù)學課程開始研究抽象的函數(shù)問題，引入我們現(xiàn)在所常見的導數(shù)、積分、微分方程及多元函數(shù)等，使得數(shù)學的研究對象發(fā)生了巨大變化，這也是高等數(shù)學課程抽象化的原因。

1.2.2 類比推理思想

類比推理是數(shù)學教學中的一種常用思維方法。在數(shù)學學習及教學中，合理使用類比推理方法可以使抽象的數(shù)學知識變得具體而生動[3]。例如，在高中數(shù)學中，我們要得出兩平面的位置關(guān)系是通過兩直線的位置關(guān)系得到的。在高等數(shù)學課程中，由高中數(shù)學中直線、橢圓、雙曲線和拋物線的有關(guān)知識可類比推理出一些空間曲線及空間曲面的方程及其相關(guān)性質(zhì)；由高中數(shù)學中的平面上點到直線的距離公式可類比推出空間中點到平面的距離公式。

1.2.3 嚴格的邏輯推理方法

由于理解能力有限，高中數(shù)學中很少遇到嚴格的定義，一些推理過程也很簡單易懂，即使像幾何問題，由于圖形較單一，通?？梢杂弥庇^圖形來展示。從記憶中搜索高中時接觸到的證明方法，大概也只有反證法和數(shù)學歸納法，像這樣的也并不是詳細了解，當初學習時只學到了部分皮毛，或者說只是照搬硬套老師教的，并不是自己真正理解了其中的含義。學習了高等數(shù)學課程之后會有明顯的感覺，它與高中數(shù)學的理論思想完全不同，與之相比較更加嚴謹，邏輯推理更加清晰，各個問題都有嚴格的定義，剛開始理解起來或許比較困難，但是時間久了，自然會發(fā)現(xiàn)其中的奧妙所在。

1.2.4 構(gòu)造性方法

構(gòu)造性方法對于我們來說最典型的是高中數(shù)學學習的二元一次方程組的求解方法。高等代數(shù)課程用到構(gòu)造性方法就更廣泛了，可以利用它來解題，也可以用來證明定理。例如，在高等代數(shù)課程中證明一個命題，我們可以通過構(gòu)造反例來解決，選擇特殊情形和極端情形作為反例，進而揭示判斷的虛假性；在證明某些不等式或方程有根的問題時，我們可通過構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，并利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、凹凸性、微分中值定理、積分中值定理等知識來證明相關(guān)問題。另外，構(gòu)造法在數(shù)列極限、函數(shù)的三角級數(shù)展開式及相關(guān)幾何問題中也有著極其廣泛地應(yīng)用。構(gòu)造法不僅方便解決問題，也使得我們對概念理解得更加透徹。

1.2.5 分類思想

數(shù)學分類思想是依據(jù)數(shù)學研究對象本質(zhì)屬性的差異性，將其分為不同類別的一種數(shù)學思想。它不僅是一種重要的數(shù)學思想，更是一種重要的數(shù)學研究方法[4]。分類思想，貫穿于整個高中數(shù)學的全部內(nèi)容中。高中數(shù)學中涉及的數(shù)學概念一般是對研究的對象進行分類來定義的，如對數(shù)集的分類，對三角形的分類及對方程的分類等。然而，分類思想在高等代數(shù)課程中也是屢見不鮮的。例如，將函數(shù)分為連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)兩類，將微分方程分為齊次的與非齊次的兩類，將級數(shù)分為收斂的與發(fā)散的兩類等。另外，在高等數(shù)學的解題過程中，分類討論的方法也是經(jīng)常用到。

實踐表明，對于具有一定綜合性和邏輯性的數(shù)學問題，一般都可采用分類思想加以討論。數(shù)學分類思想對于培養(yǎng)學生全面分析問題和解決問題的能力起到了較為重要的作用。因此，在高中數(shù)學及高等數(shù)學教學中我們要向?qū)W生不斷地滲透分類思想，時刻引導他們采用分類討論方法解決實際問題。

1.3 學科自身性質(zhì)方面的聯(lián)系

由于初等數(shù)學到高等數(shù)學在研究問題和處理方法上有著很大的區(qū)別，人們通常認為大學數(shù)學中所學的專業(yè)知識在高中數(shù)學中幾乎無用。其實這是一種錯誤的理解，正是因為有了這樣的區(qū)別，我們才能從高中數(shù)學的解題思維定式中走出來，通過一種更深遠的眼光，站在一個更高的角度來看待高中數(shù)學問題。

高等數(shù)學課程是高中數(shù)學的延伸和提高，只有對其基礎(chǔ)知識充分掌握，才能適應(yīng)數(shù)學的發(fā)展和教材的改革[5]。高等數(shù)學知識不僅可以提高學生的學習興趣，還可以拓寬視野，同時也能應(yīng)用到中學數(shù)學題的解法中去，使復雜問題趨于簡便化。

1.4 觀念方面的聯(lián)系

我們起初在高中數(shù)學中所產(chǎn)生的對于相關(guān)概念的理解，通過高等數(shù)學的學習都將對我們之前所學習的知識形成系統(tǒng)的概括，使我們認識地更加深入和透徹。我們通過對比二者之間的區(qū)別與聯(lián)系，不難看出我們所要研究的對象一是數(shù)量之間的關(guān)系，另一個則是空間的形式。

2 課程內(nèi)容在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用

眾所周知，高等數(shù)學課程是理學、工學、經(jīng)濟學、金融學、計算機科學、管理學、教育學、心理學等學科專業(yè)課程教育的開始，是高等學校理、工、經(jīng)、管等專業(yè)的入門數(shù)學公共課程之一，也是從高中數(shù)學到大學數(shù)學過渡的橋梁[6]。因此，高等數(shù)學研究的內(nèi)容與高中數(shù)學內(nèi)容有著緊密的聯(lián)系。例如，一些在高中數(shù)學教學與學習中因為受到所學知識的局限而沒辦法深入討論的問題在高等數(shù)學課程中得到了圓滿的解決；一些在高中數(shù)學中無法深入講解的基本概念、方法，在學習了高等數(shù)學這門課程以后，居高臨下，使人心中豁然開朗，進而拓寬了高中數(shù)學教師的視野，為他們選擇適當?shù)慕虒W方法指明了方向。下面我們將根據(jù)高等數(shù)學課程內(nèi)容的特點，主要分析、歸納該課程中導數(shù)理論、極限理論、向量理論及積分理論在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用。

2.1 導數(shù)理論在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用

導數(shù)理論是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，但在高中數(shù)學中主要側(cè)重于學習導數(shù)的基本運算，對導數(shù)的嚴格定義、理論證明和重要應(yīng)用沒有深入講解。另一方面，導數(shù)理論也是高等數(shù)學課程研究的主要內(nèi)容之一，它使各個章節(jié)的內(nèi)容聯(lián)系得更加緊密，為高等數(shù)學的基本內(nèi)容提供了理論基礎(chǔ)。導數(shù)理論與高中數(shù)學有著密切的聯(lián)系，該理論在初等數(shù)學中有著非常重要的應(yīng)用，對高中數(shù)學解題起到了“居高臨下”的作用。相比高中數(shù)學內(nèi)容，高等數(shù)學的導數(shù)理論無論是深度、廣度還是規(guī)范化程度都明顯增強了。在目前的高中數(shù)學教材中，導數(shù)理論處于一種特殊的地位。為使學生能夠更好地理解函數(shù)的性態(tài)以及掌握函數(shù)思想在數(shù)學上的應(yīng)用,對于一些不能采用或者難以采用初等數(shù)學方法解決的問題，一般可通過建立函數(shù)關(guān)系式，運用函數(shù)思想，并借助于導數(shù)這個有力工具來研究其性質(zhì)，輕松簡捷地獲得問題的解決，這充分體現(xiàn)了導數(shù)工具性和應(yīng)用性的重要作用。在高中數(shù)學課程改革背景下,導數(shù)知識已經(jīng)作為高中數(shù)學的重要模塊之一，這為高等數(shù)學課程教學奠定了堅實的基礎(chǔ)。反過來，高等數(shù)學課程中的導數(shù)理論是高中數(shù)學中相關(guān)內(nèi)容的發(fā)展與深化，其應(yīng)用非常廣泛，幾乎涉及到高中數(shù)學內(nèi)容的各個方面，對高中數(shù)學的教學與競賽具有理論指導意義。

例 1 設(shè)函數(shù)f(x)=axn(1-x)+b(x＞0)，其中n為正整數(shù)，a,b為常數(shù)。又曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為x+y=1。

（1）求a,b的值；

（2）求函數(shù)f(x)的最大值。

解 （1）由于f(1)=b,從而由點(1,b)再直線x+y=1上 可 得 ：1+b=1,即b=0。因 為f′(x)=anxn-1-a(n+1)xn,所以f′(1)=-a。又因為切線x+y=1的斜率為-1，所以-a=-1,即a=1。故a=1,b=0。

（2）由（1）知，f(x)=xn(1-x)=xn-xn+1。于是，有

令f′(x)=0，解得即f′(x)在 (0,+∞)上有唯一零點又在上，f′(x)＞0，故f(x)單調(diào)遞增；而在上，，故f(x)單調(diào)遞減。因此，f(x)在(0,+∞)上存在最大值，且最大值為

一直以來，函數(shù)值域的求解問題是高中數(shù)學中的重點與難點，其求解方法因題而異，難以掌握。有的題目用常規(guī)方法很難求解，但若采用導數(shù)來求解，則較為方便。下面舉例說明之。

解 顯然，函數(shù)f(x)的定義域為，由于

又由于

注1 對于有些函數(shù)值域的求解問題，可首先求出函數(shù)的定義域，然后再根據(jù)定義域判斷該函數(shù)的導函數(shù)的正負，進而求出函數(shù)的值域。此方法具有一定普遍性和推廣價值。

2.2 極限理論在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用

極限是高等數(shù)學課程內(nèi)容中的基本概念，是研究微積分學的重要工具。極限理論在高中數(shù)學與高等數(shù)學中起著承上啟下的作用，下面通過舉例闡述極限思想在高中數(shù)學里的體現(xiàn)。通過這些例題學習與分析來提高對極限思想方法的理解力，進一步揭示用極限思想方法解決問題的簡捷性和優(yōu)越性。

問是否存在實數(shù)a,b使得對于任意正整數(shù)n恒成立？若存在，給出證明；若不存在，說明理由。

證明 假設(shè)存在實數(shù)a,b使得

對于任意正整數(shù)n恒成立，則

若a=0，則將a1=1代入，可得，此時，則數(shù)列{an}是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，顯然，，不符合題意，故舍去。

若a=3，則將a1=1代入，可得b=-3，此時同樣通過驗證a1,a2也可得出矛盾。

綜上可知，滿足題意的a,b不存在。

例4 證明：所有雙曲線與它們的漸近線只能無限靠近，但絕不會相交。

圖1 例4的示意圖

因此，當點M遠離原點時，該點到漸近線的距離也趨近于0，但無論x有多大，這個距離都不可能為0。

2.3 向量理論在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用

向量不僅是高等數(shù)學中最重要、最基本的概念之一，也是研究高中數(shù)學的重要工具和手段。在高等數(shù)學課程中，引入了空間向量的長度、數(shù)量積、距離等概念，并給出了向量夾角的坐標計算公式,這些正是中學數(shù)學中平面向量的直接推廣。而且高等數(shù)學課程中的向量理論，有助于我們對高中數(shù)學幾何空間中向量長度、距離、夾角等度量概念的更深刻理解。例如，利用數(shù)量積的相關(guān)性質(zhì)，我們可得出著名的余弦定理、勾股定理、柯西不等式等重要結(jié)論。因此，高等數(shù)學課程中的向量理論為高中數(shù)學的一些基本內(nèi)容提供了理論依據(jù)。在普通高中數(shù)學新課改中“,向量”是必修模塊之一[7],是高中數(shù)學教學內(nèi)容中非常重要的組成部分，相對于課本中的其它知識，向量比較抽象難懂，再加上很多學生對向量在具體解題過程中的應(yīng)用了解甚少，使得向量理論在高中數(shù)學整體的解題方式上顯得比較少而且較難。但是，在真正掌握了向量的解題規(guī)律之后，我們能夠發(fā)現(xiàn)運用向量進行解題，一般步驟較少，只要找出訣竅就可以在短時間內(nèi)完成解題。因此，掌握向量在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用備受重視。由于向量是溝通代數(shù)、幾何及三角函數(shù)等內(nèi)容的橋梁，因此，向量在高中數(shù)學解題中具有較為廣泛的應(yīng)用。下面舉例加以說明。

例5 已知定點F(1,0)，動點P在y軸上運動，過點P作PM交x軸于點M，并延長MP到點N，且。

（1）求點N的軌跡；

（2）直線l與N的軌跡交于A、B兩點，若，且，求直線l的斜率k的取值范圍。

解 （1）設(shè)P(0,b),M(a,0)，則kPF=-b,。由于，從而k·k=-1,即PFPMa=-b2，故M(-b2,0)。又，即P為MN的中點，從而N(b2,2b)。因此，N的軌跡方程為：y2=4x，其軌跡為以F(1,0)為焦點的拋物線。

（2）設(shè)l:y=kx+b，與y2=4x聯(lián)立，得

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1,y2是（*）式的兩根，且。由，得：xx+yy=-4，1212即從而

故b=-2k。因此，直線方程為

綜上可見，向量是一種常用的解題工具，其在高中數(shù)學問題中應(yīng)用廣泛。因此，我們應(yīng)該有意識地將已知問題轉(zhuǎn)化為向量問題，進而借助于向量的知識加以解決。這就要求高中數(shù)學課堂教學中不僅要求學生掌握向量的相關(guān)知識，還要靈活應(yīng)用，強化學生對向量的運用能力，提高學生的解題效率，進而幫助學生減輕解題的負擔。

2.4 積分理論在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用

定積分與重積分是高等數(shù)學課程中的重要內(nèi)容，其概念的引入主要是借助于極限這一工具。高等數(shù)學中的積分理論把高中數(shù)學中處理“不變”問題的方法應(yīng)用于處理“變”的問題；把高中數(shù)學中處理“直”的問題的方法應(yīng)用于處理“曲”的問題；把高中數(shù)學中處理“有限”問題的方法應(yīng)用于處理“無限”的問題。鑒于此,對于高中數(shù)學中無法解決的很多問題,如任意曲線所圍成的面積、變力沿曲線所作的功等,積分思想給出了對高中數(shù)學的一些指導,從而使得相關(guān)問題較容易地獲得解決。另外，積分理論也是高中數(shù)學中一些熟知結(jié)果的證明依據(jù)，例如球的體積為，圓的面積為πR2，橢圓的面積為πab等,這些結(jié)果在高中數(shù)學教材中基本上沒有給出嚴格證明,即使給出了證明,其方法也很復雜，難以理解。實際上，以上結(jié)果運用高等數(shù)學中的定積分和重積分的知識是很容易求得的，這里不再詳述，讀者可參見文[8]。

從以上分析,足以看出高等數(shù)學課程內(nèi)容在高中數(shù)學中具有廣泛的應(yīng)用。作為高師院校的數(shù)學教師，我們不但要清醒地認識到，更重要的是我們應(yīng)該在日常教學中不斷地向?qū)W生講述“這些應(yīng)用”，灌輸這種思想，使他們能夠深刻地領(lǐng)會這些思想，進一步開拓他們的視野，使他們更好地掌握用高等數(shù)學解決初等數(shù)學的方法，為高等數(shù)學教學建立起形象的數(shù)學模型[3]，從而為學生們在將來的教學實踐中充分發(fā)揮這種“居高臨下”的作用提供了理論基礎(chǔ)。

3 小結(jié)

高等數(shù)學課程與高中數(shù)學課程在思想方法方面的聯(lián)系非常緊密，其主要體現(xiàn)在抽象化思想、分類思想、類比推理思想、構(gòu)造化思想與方法等方面。因此，充分意識到高等數(shù)學課程與高中數(shù)學的聯(lián)系對比，不僅可以增強高等數(shù)學課程對培養(yǎng)高中數(shù)學教師的指導作用，同時也可以降低該門

課程的學習難度。學生通過對高等數(shù)學這門課程的學習，不僅加深了他們對高中數(shù)學內(nèi)容的理解，同時還拓寬了他們的知識視野，進一步培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。因此，對于師范類專業(yè)的學生而言，在他們畢業(yè)之后的教學工作中，不能僅僅將視野局限于高中數(shù)學，應(yīng)有效利用高等數(shù)學的思想、觀點和方法，從更深層次、多角度、全方位地掌握高中數(shù)學的教學體系，深刻地領(lǐng)會高中數(shù)學課程的教學內(nèi)容，深刻理解高中數(shù)學問題的實質(zhì)與背景，全面掌握利用高等數(shù)學的知識、思想和方法來分析、處理和解決高中數(shù)學問題的能力,揭示高中數(shù)學的解題方法。只有這樣，才能更有利于提高學生的數(shù)學思維能力，拓寬解題思路，加強學生對數(shù)學問題的解題技巧。

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