一類風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率的漸近性分析

嚴(yán) 鈞，楊澤偉

（揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002）

破產(chǎn)概率一直保險(xiǎn)精算領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題[1-7]。本文分析影響破產(chǎn)概率的影響因素，并且給出破產(chǎn)概率的一種漸近行為。假設(shè)賠付隨機(jī)變量X1,X2...Xn...獨(dú)立同分布，則保險(xiǎn)公司的盈余過程可以表示為

其中C＞0為保險(xiǎn)公司的初始資本，p＞0為保險(xiǎn)公司的費(fèi)率，n表示到T為止發(fā)生的索賠次數(shù)。

表示T時(shí)刻保險(xiǎn)公司破產(chǎn)的概率。記μ=E(X1)，保險(xiǎn)公司一般要求=nμ不妨設(shè)，其中δ＞0稱為安全負(fù)載。

1 破產(chǎn)概率的影響因素分析

由中心極限定理可知，如果Var(X1)＜+∞，則

即

依分布收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以當(dāng)n充分大時(shí)，（近似服從）。

由于正態(tài)分布的線性函數(shù)仍然是正態(tài)分布，所以有

所以當(dāng)n充分大時(shí)，

以下分析的是破產(chǎn)概率的影響因素：

對(duì)固定的n，

(1)初始資本C越大，破產(chǎn)概率越小。可見初始資本是衡量保險(xiǎn)公司實(shí)力的重要標(biāo)準(zhǔn)，所以對(duì)一個(gè)保險(xiǎn)公司來說，資本越雄厚，實(shí)力越強(qiáng)，其抵御風(fēng)險(xiǎn)的能力也就越強(qiáng)。

(2)安全負(fù)載δ越大，破產(chǎn)概率越小。另一方面，pT=(1+δ)nμ，所以安全負(fù)載越大，保險(xiǎn)費(fèi)率越高，也就是保險(xiǎn)越貴。

(3)σ越小，破產(chǎn)概率越小，σ所刻畫的是損失變量X1,X2,…Xn,…的波動(dòng)程度。損失波動(dòng)程度越小，面臨破產(chǎn)的概率就越小，這符合直觀認(rèn)識(shí)，即賠付量越穩(wěn)定，風(fēng)險(xiǎn)越小。例如，如果保險(xiǎn)公式遇到巨額索賠，可能直接導(dǎo)致其破產(chǎn)。

2 破產(chǎn)概率的漸近行為

為了證明定理1，需要下面的引理。

對(duì)上式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)并除以n，可得到

另一方面，再由引理1，有

類似地，有下式

所以，

也就是說，當(dāng)n充分大時(shí)，

3 小結(jié)

本文運(yùn)用中心極限定理分析一類風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率隨初始資本、安全負(fù)載和索賠的方差變化情況，給出了破產(chǎn)概率衰減到零的速度，這些結(jié)果可以指導(dǎo)金融保險(xiǎn)公司規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。

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