直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷方法

周雪穎

摘 要：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷是歷年來高考考察的重難點(diǎn)，長以解答題的形式進(jìn)行考查，以直線與圓錐曲線方程為基礎(chǔ)，結(jié)合有關(guān)概念及計(jì)算，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程或方程組進(jìn)行求解，由于涉及的知識(shí)點(diǎn)范圍廣、運(yùn)算十分繁冗復(fù)雜，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)邏輯思維，導(dǎo)致很多高中生對(duì)該部分內(nèi)容學(xué)習(xí)望而生畏，為此，本文對(duì)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法進(jìn)行重點(diǎn)討論，并在學(xué)習(xí)過程中總結(jié)了一些學(xué)習(xí)心得體會(huì)，以期能夠?yàn)橥瑢W(xué)們的學(xué)習(xí)提供一定參考。

關(guān)鍵詞：直線；圓錐曲線；位置關(guān)系；判斷方法；學(xué)習(xí)重難點(diǎn)

直線與圓錐位置關(guān)系問題是高考解析幾何重點(diǎn)考查內(nèi)容，由于這部分知識(shí)不僅需要運(yùn)用豐富的數(shù)學(xué)思想方法，而且涉及面廣、運(yùn)算量大、計(jì)算復(fù)雜，很多同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中普遍感覺比較困難，為此，我們有必要對(duì)直線與圓錐曲線關(guān)系問題進(jìn)行深入的研究，掌握一些常用的判斷方法，理清問題求解思路，提高學(xué)習(xí)效率，從而為高考奠定良好的基礎(chǔ)。

一、直線與圓錐曲線位置關(guān)系判斷常用方法

在初中數(shù)學(xué)中我們學(xué)過，探討直線與圓的位置關(guān)系，主要通過圓心到直線的距離d和半徑r的大小關(guān)系進(jìn)行判斷，當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何的角度來分析，可以看做是直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)的問題，而從代數(shù)的角度來分析，可以聯(lián)立直線l與橢圓曲線C的方程，將直線l的方程Ax+By+C=0帶入曲線方程F（x，y）=0中，即：

消去變量y（或x）得到關(guān)于變量x（或y）的一元二次方程：

這樣通過判斷一元二次根的情況，討論直線與圓錐曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，進(jìn)而根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。值得注意的是，當(dāng)題目中沒有給出直線l的方程時(shí)，我們?cè)谶M(jìn)行分類討論時(shí)不要忽略直線斜率不存在的情況。

（1）當(dāng)a=0，b=0時(shí)，直線l與圓錐曲線C沒有公共點(diǎn)；

當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，直線l與圓錐曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；

其中，值得注意的是，當(dāng)直線l和圓錐曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，兩者不一定相切。

（2）當(dāng)a≠0，Δ>0時(shí)，直線l與圓錐曲線C相交，且有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a≠0，Δ=0時(shí)，直線l與圓錐曲線C相切，有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)a≠0，Δ<0時(shí)，直線l與圓錐曲線C相離，沒有交點(diǎn)。

二、直線與圓錐曲線位置關(guān)系相關(guān)問題總結(jié)分析

在學(xué)習(xí)直線與圓錐曲線位置關(guān)系這部分內(nèi)容時(shí)，我們首先需要牢牢把握兩者位置關(guān)系判斷一些比較常用的方法，并在此基礎(chǔ)上將直線與圓錐曲線位置關(guān)系題目中涉及的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行合理的分類，認(rèn)真做好學(xué)習(xí)筆記和錯(cuò)題記錄，并學(xué)會(huì)分析題目中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，積累一些常用的化簡、變形的技巧和方法，進(jìn)而提高自己的解題效率和正確率。

（一）直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)的問題

1.直線與橢圓曲線相切時(shí)，判斷參數(shù)取值范圍

例1：已知直線y=kx-1與橢圓 相切，則k，a之間的關(guān)系式？

解：由 ，得 。

因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以： ，即

2.直線與拋物線對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；直線與雙曲線漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。

（二）直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的問題

1、弦長問題

直線與圓錐曲線相交，一個(gè)重要的問題就是求弦長的問題，我們?cè)诮忸}過程中的一般思路是利用韋達(dá)定理法，將直線方程l帶入圓錐曲線方程，消去y或x后，得到x或y的一元二次方程 ，再根據(jù)弦長公式 。其中， 可以直接利用公式 進(jìn)行計(jì)算。而當(dāng)斜率不存在時(shí)，可以求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用軸上兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行計(jì)算。

2、中點(diǎn)弦問題

涉及弦的中點(diǎn)及直線的斜率問題時(shí)，假設(shè)直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），弦AB的中點(diǎn)為P（x0，y0），然后可以考慮點(diǎn)差法，構(gòu)造出x1+x2，y1+y2和斜率 ，運(yùn)用整體帶入的方法，求中點(diǎn)或斜率，從而體現(xiàn)設(shè)而不求的思想。重視中點(diǎn)坐標(biāo)公式和韋達(dá)定理。

三、結(jié)語

綜上所述，在判斷直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí)，我們首先考慮是的將其轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線方程組的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，然后對(duì)一元二次方程的根的情況進(jìn)行判定，進(jìn)而判斷兩者的位置關(guān)系。靈活的運(yùn)用判別式和韋達(dá)定理，可以幫助我們快速的求解參數(shù)范圍、幾何極值、弦長等相關(guān)問題，同時(shí)還要巧妙的運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想、類比等數(shù)學(xué)思想，這樣就可以有效的克服學(xué)習(xí)該內(nèi)容的障礙，有利于提高解題效率和正確率。

參考文獻(xiàn)：

[1]施貴軍.直線與橢圓位置關(guān)系的三角判斷法及應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2016（15）：4-5.