自主招生中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題

廣東省興寧市第一中學(xué)(514500) 藍云波

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線,是最重要的高頻知識點,在生活與科學(xué)中有極為廣泛的應(yīng)用,同時也是聯(lián)系中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的重要橋梁.這部分內(nèi)容,知識點多,題型多,方法多,蘊含的數(shù)學(xué)思想方法極為豐富,因此是自主招生中重點考察的內(nèi)容,成為不可忽視的熱點而備受矚目.

一、知識要點

除了課本的基礎(chǔ)知識外,還應(yīng)掌握以下知識點.

1.幾個重要的不等式

(1)ex≥x+1,x∈R,當且僅當x=0時等號成立.

(2)ln(x+1)≤x,x∈(?1,+∞),當且僅當x=0時等號成立.

2.洛必達法則

設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點a的某個去心鄰域內(nèi)有定義且可導(dǎo),且滿足:,則有.(其中A為常數(shù),或為∞)

3.高次方程的韋達定理

如果x1,x2,x3,···,xn(其中整數(shù)n≥2)是關(guān)于x的n次方程 anxn+an?1xn?1+···+a1x+a0=0(其中 an/=0)的n個根,則

注:定理中的n次方程的系數(shù)可以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值,其逆定理也成立.

二、命題規(guī)律揭示

題型一、函數(shù)的性質(zhì)

解析因為f(x)是上的奇函數(shù),所以f(0)=0.即arctan2+c=0,即c=?arctan2.

下面證明:當c=?arctan2時,f(x)是奇函數(shù).因為

即f(?x)= ?f(x),所以當c= ?arctan2時,f(x)是奇函數(shù).故c=?arctan2.

點評函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì),若奇函數(shù)的定義域包含元素0,則必有f(0)=0,本題可通過奇函數(shù)的這個必要條件先求出c,然后再作充分性論證,從而實現(xiàn)問題的求解.

題型二、二次函數(shù)問題

例2(2014年北約)已知實系數(shù)二次函數(shù)f(x)和g(x)滿足3f(x)+g(x)=0和f(x)?g(x)=0都有雙重實根,如果已知f(x)=0有兩個不同實根,求證g(x)=0沒有實根.

解析設(shè)f(x)=ax2+bx+c,g(x)=dx2+ex+f,其中ad/=0.由f(x)?g(x)=0得,(a?d)x2+(b?e)x+(c?f)=0.因為f(x)?g(x)=0有雙重實根,所以Δ1=(b?e)2?4(a?d)(c?f)=0.又由3f(x)+g(x)=0得,(3a+d)x2+(3b+e)x+(3c+f)=0.因為3f(x)+g(x)=0有雙重實根,所以Δ2=(3b+e)2?4(3a+d)(3c+f)=0.化簡得3b2+e2=12ac+4df.因為f(x)=0有兩個不同實根,所以b2?4ac＞0,所以Δg(x)=e2?4df=?3(b2?4ac)＜0,所以g(x)=0沒有實根.

點評本題通過設(shè)出兩個二次函數(shù)的解析式,根據(jù)根的情況得出對應(yīng)方程的判別式滿足的條件,字母繁多,對代數(shù)變現(xiàn)能力和運算能力有一定的要求.

題型三、對勾函數(shù)

例3(2014年哈爾濱工程大學(xué)自主招生)設(shè)常數(shù)a＞0,b＞0,函數(shù),則f(x)的最大值為____.

解析因為x＞0,所以

點評對勾函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中常遇到的函數(shù),應(yīng)對其圖像與性質(zhì)有一定的理解.本題的關(guān)鍵是通過代數(shù)變形轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)的最值問題.

題型四、函數(shù)方程

例4(2015年華中科技大學(xué)理科實驗班選拔考試)若對任意實數(shù)x,y,有,求f(x).

解析令y=x得到f(0)=[f(x)?x]2.再令x=0,得到f(0)=f2(0),解得f(0)=0或f(0)=1.當f(0)=0時,則f(0)=[f(x)?x]2得,[f(x)?x]2=0,所以f(x)?x=0,即 f(x)=x;當 f(0)=1時,則 f(0)=[f(x)?x]2得,[f(x)?x]2=1,所以f(x)?x=±1,所以f(x)=x±1.

綜上知,f(x)=x或f(x)=x+1或f(x)=x?1.

點評函數(shù)方程是數(shù)學(xué)競賽和自主招生的重要考點,本題是連續(xù)型函數(shù)方程,這類問題的常見的解題方法有賦值法、換元法、柯西法、遞推關(guān)系法、不動點法等法,本題使用了賦值法.

題型五、高次方程的韋達定理

例5(2008年南開大學(xué))方程x3+px2+qx+1=0有三個實根,且p＞0,q＞0.求證:pq≥9.

證明由p＞0,q＞0知,原方程不可能有正根,0也不是它的根,所以三個實根均小于0,可設(shè)為α,β,γ.由三次方程的韋達定理,(?α)+(?β)+(?γ)=p,(?α)(?β)+(?β)(?γ)+(?α)(?γ)=q,(?α)(?β)(?γ)=1.由基本不等式,有所以pq≥9.

點評本題從題面上看,應(yīng)用三次方程的韋達定理的提示比較明顯,但如何證明不等式才是難點所在.結(jié)合條件,通過分析得出三個實根的符號,再運用基本不等式,使得問題得到解決.

題型六、導(dǎo)數(shù)的定義

例6(2000年上海交通大學(xué))已知函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),則

解析因為函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),所以f(x)在x0處也連續(xù),所以

點評本題考查了可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo),導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量Δy與自變量的增量Δx之比,在Δx→ 0時的極限值.對代數(shù)變形能力有一定的要求.

題型七、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

例7(2016年北京大學(xué)博雅計劃自主招生)直線y=?x+2與曲線y=?ex+a相切,則a的值為()

A.?3 B.?2 C.?1 D.前三個答案都不對

解析設(shè)直線y=?x+2與曲線y=?ex+a相切于點P(x0,y0).因為y′= ?ex+a,由于導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,?ex0+a= ?1,所以x0= ?a,所以y0=?x0+2=2+a.即P(?a,2+a),因為點P(x0,y0)在y= ?ex+a上,所以?e?a+a=2+a,解得a=?3,故選A.

點評 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決切線問題的最重要的工具,一般而言若題意沒有切點坐標,要進行自主設(shè)點,并通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義,結(jié)合切點是直線與曲線的公共點,往往就能實現(xiàn)問題的解決.

題型八、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值

例8(2007年清華大學(xué)自主招生)求f的單調(diào)區(qū)間及極值.

解析函數(shù)f(x)的定義域為(?∞,0)∪(0,+∞).求導(dǎo)得

點評導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性態(tài)的重要利器,通過導(dǎo)數(shù)的符號可研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,在解題中特別要注意定義域優(yōu)先的原則,從而避免錯漏.

題型九、利用導(dǎo)數(shù)求最值

例9(2015年清華大學(xué)領(lǐng)軍計劃)設(shè)非負實數(shù)x,y滿足2x+y=1,則的( )

C.最大值為1

解析由2x+y=1得y=1?2x,代入得.故可設(shè)

則

點評本題是雙變量最值問題,但在通過消元后,轉(zhuǎn)化為常規(guī)的單變量最值問題,此時導(dǎo)數(shù)可派上用場,導(dǎo)數(shù)是解決最值問題的一大利器.

題型十、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

例10(2014年南開大學(xué)數(shù)學(xué)試點班自主招生)在區(qū)間(0,+∞)上,若方程有唯一解,則a的值為___.

解析由可得因為所以所以方程有唯一解,等價于函數(shù)與的圖像有且只有一個交點.因為

設(shè)g(x)=1?2lnx?x,顯然g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,又因為g(1)=0,所以當x∈(0,1)時,g(x)＞0,即當x∈(1,+∞)時,g(x)＜ 0,即所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.所以當x=1時,f(x)有最大值f(1)=1.顯然當x→0時,f(x)→?∞,由洛必達法則

點評本題通過變量分離后,轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點的個數(shù)問題,在通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像時,使用了非常重要的洛必達法則,使得函數(shù)的圖像得到較為準確的確定,從而得出正確的答案.

題型十一、定積分的計算

例11(2016年清華大學(xué)領(lǐng)軍計劃)

解析設(shè)函數(shù)向左平移π個單位可得到函數(shù)g(x),則因為,所以g(x)為奇函數(shù).由定積分的幾何意義知∫

點評本題考查了定積分的幾何意義.利用函數(shù)的左右平移后與x軸圍成的面積相等,再利用奇函數(shù)的對稱性結(jié)合定積分的幾何意義實現(xiàn)問題的求解.

題型十二、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例12(2013年華約)已知f(x)=(1?x)ex?1.

(1)證明:當x＞0時,f(x)＜0;

(2)數(shù)列{xn}滿足,求證:{xn}遞減,且

解析(1)當 x＞ 0時,.故 f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)＜f(0)=0,命題得證.

點評本題是經(jīng)典的導(dǎo)數(shù)不等式問題,借助導(dǎo)數(shù),結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法實現(xiàn)問題的證明,在解題過程中,構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵,對綜合能力具有較高的要求.

題型十三、導(dǎo)數(shù)綜合問題

例13(2015年華中科技大學(xué)理科實驗班)若關(guān)于x的三次方程x3+ax2+bx+c=0有三個實數(shù)根.

(1)若三個實數(shù)根為x1,x2,x3,且x1≤x2≤x3,a,b為常數(shù),求c變化時,x3?x1的取值范圍;

(2)若三個實數(shù)根為a,b,c,求a,b,c.

解析(1)設(shè) f(x)=x3+ax2+bx+c,則依題意,三次方程有三個實根,所以Δ =4a2?12b＞0,即a2?3b＞ 0.由三次方程的韋達定理,得x1+x2+x3=?a,x1x2+x2x3+x3x1=b,所以

(2)依題意可知x3+ax2+bx+c=(x?a)(x?b)(x?c),由得c=0或ab=?1.

②當ab=?1時,c=?2a?b,?1+(a+b)c=b,消去c,得ab4+b3?2b2+2=0,所以(b+1)(b3?2b+2)=0,所以b+1=0或b3?2b+2=0.

(i)b+1=0時,a=1,c=?1.

(ii)b3?2b+2=0時,設(shè),則

點評本題綜合考察了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,在解題的過程中借助三次方程的韋達定理.對運算求解能力,分類討論的思想考察較為深入,是一道兼具知識與能力的好題.