兩個面垂直的幾何體的外接球模型

廣東省佛山市實驗中學(528061) 謝偉帆

一、試題呈現(xiàn)

題目1正三角形ABC 的邊長為2,將它沿高AD翻折,使點B與點C間的距離為,求此時四面體ABCD外接球表面積.

題目2(2018年廣州市高三年級調研測試題)如圖1,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1,圖中粗線畫出的是某三棱錐的三視圖,求該三棱錐的外接球的表面積．

題目3(2018年佛山市一模文科)平面四邊形ABCD中,,AC=4,沿直線AC將ACD翻折成ACD′,當三棱錐D′?ABC的體積取到最大值時,求該三棱錐的外接球表面積.

二、分析

根據(jù)題目1,題目2,題目3畫出的立體圖分別為圖2,圖3,圖4,其中圖4中面ACD′⊥面ABC.不難看出,三題都有一個共同的特點,均有兩個面相互垂直,在高考及各地模擬卷中,這種情況經常出現(xiàn),筆者思考能否建立一個模型來解決這類問題.

圖2

圖3

圖4

三、建立模型

建立如圖5模型,球O為幾何體的外接球,面O1⊥面O2,面O1∩ 面O2=MN,取MN 中點為 P.易證 OO1⊥ 面 O1,OO2⊥面 O2,O1P⊥MN,O2P⊥MN,四邊形OO1PO2為矩形.由于幾何體有兩個面相互垂直,因此頂點分別在圓O1,O2上.外接球半徑

圖5

|O2M|為圓O2的半徑長,

代入①得到r的第二種表示

四、模型的應用

下面用這個模型來解釋上述題目.

題目1的解析易證AD⊥面BCD,則面ABD⊥面BCD,△BCD的外接圓為O2,△ABD的外接圓為O1.△BCD中已知三邊,利用余弦定理求出任意一角余弦值,并求出正弦值,再利用正弦定理求得圓O2的半徑,即|O2M|=1,由于AD⊥面BCD,所以AB為圓O1的直徑,圓心O1為AB中點,|O1P|表示圓心O1到面O2的距離,,利用①式,外接球半徑.這比文[1]的解法簡潔,也解釋了側棱垂直底面時,高必然為側棱一半這個結論.

題目2的解析因為CD⊥面ABD,可證面ABD⊥面BCD,△ABD的外接圓為O2,△BCD的外接圓為O1,圓O2的半徑可以利用正弦定理求得,圓心O1為BC中點E,類似題1的做法,利用①式,外接球半徑

題1,題2可以歸類為側棱垂直底面的情況,當然,題2需要轉化一下,將面ABD作為底面,事實上,上述兩題也可以利用公式③進行求解,這里不再贅述.

題目3的解析面ABC⊥面ACD′,并不存在側棱垂直底面,這時候利用公式③會比較簡潔.△ABC的外接圓為O2,△ACD′的外接圓為O1,面ABC∩面ACD′=AC,即AC為模型中的MN,|MN|=|AC|=4,因為△ABC =△AD′C,利用正弦定理求得外接圓半徑|O1M|=|O2M|=,利用③式,

注記當幾何體有兩個面相互垂直,如果有側棱垂直底面時,利用第一種表示,即公式①會更加簡潔,否則利用第二種表示,即公式③,事實上,公式③的適用范圍更廣,更具有一般性.

[1]謝偉帆.一道立體幾何題的思考[J].中學數(shù)學研究2017,(3):42-43.