一類有關(guān)函數(shù)對(duì)稱性問(wèn)題的研究

廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 趙煒

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)性質(zhì)這一章的學(xué)習(xí)過(guò)程中,奇偶性無(wú)疑是最為重要的性質(zhì)之一.當(dāng)然,奇函數(shù)是中心對(duì)稱函數(shù)的特殊情況,偶函數(shù)是軸對(duì)稱函數(shù)的特殊情形.一般地,我們可以利用函數(shù)對(duì)稱性解決很多問(wèn)題.通常來(lái)說(shuō),學(xué)生只要找到這類問(wèn)題的切入點(diǎn),并不會(huì)覺(jué)得此類問(wèn)題特別困難.但是筆者在最近一段時(shí)間的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)這類問(wèn)題變化多端,大部分學(xué)生并不能舉一反三,類比發(fā)散.本文將通過(guò)數(shù)例對(duì)這一類問(wèn)題進(jìn)行一番抽絲剝繭,探本尋源.

一.一般函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題

例1(2012全國(guó)文科第16題)設(shè)函數(shù)的最大值為M,最小值為m,則M+m=___.

解法一

解法二,x∈R,故f(x)+f(?x)=2.即 f(x)關(guān)于 (0,1)對(duì)稱,由圖像性質(zhì)知f(x)max+f(x)min=2.

評(píng)注本題先將原函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),然后利用到定義在R上的奇函數(shù)最大值與最小值之和為0這一重要性質(zhì),并未真正求得M與m.一部分同學(xué)并未看到這一點(diǎn),而嘗試用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)分別去求M 和m的具體數(shù)字,就會(huì)深陷泥沼,無(wú)法自拔了.

例2若函數(shù)在區(qū)間[?k,k](k＞0)上的值域?yàn)閇m,n],則m+n等于( )

A.0 B.1 C.2 D.4

解析

所以f(x)關(guān)于(0,2)對(duì)稱.所以f(x)max+f(x)min=4,即m+n=4.故選D.

評(píng)析1.例1中奇函數(shù)最大值與最小值之和為0這一結(jié)論只對(duì)形如[?k,k]型的定義區(qū)間成立.

2.例1中的解法二仍然適用于本題,但是解法一就不適用于本題了,因?yàn)椴⒉皇瞧婧瘮?shù).所以解法二才是本質(zhì)的,解法一只是表面的,并不適于一般情況.那些通過(guò)死記硬背記住解法一結(jié)論的同學(xué)在本題中不經(jīng)過(guò)變通就會(huì)遇到很大的困難.

例3(第八屆陳省身杯浙江賽區(qū)復(fù)賽)已知函數(shù),其中a,b,c為實(shí)數(shù).若f(lnlog521)=17,則f(lnlog215)=___.

解析,所以lnlog21 =5?lnlog215.又 f(x)+f(?x)=40,所以 f(lnlog215)=40?f(lnlog521)=23.

評(píng)析本題除了考察正切函數(shù),冪函數(shù)的奇偶性,還考察了對(duì)數(shù)的換底公式和函數(shù)的奇偶性,綜合性較高.

二.有關(guān)三次函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題

例4設(shè)實(shí)數(shù)α,β分別滿足方程α3?3α2+5α?4=0,β3?3β2+5β ?2=0,則α+β =___.

方法一整理得(α?1)3+2(α?1)?1=0,(1?β)3+2(1?β)?1=0,即α?1,1?β為方程x3+2x?1=0的解.而x3+2x?1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則α?1=1?β,所以α+β=2.

方法二整理得(α?1)3+2(α?1)=1,(β?1)3+2(β?1)= ?1,即對(duì)于函數(shù)f(x)=x3+2x,滿足f(α?1)=1,f(β?1)=?1.又f(x)為奇函數(shù),所以α?1=?(β?1),所以α+β=2.

評(píng)析方法一的變形很有技巧性,需要很強(qiáng)的觀察能力與代數(shù)變形能力.方法二利用奇偶性來(lái)解決問(wèn)題,相對(duì)來(lái)說(shuō)比較容易想到.但是不論方法一還是方法二,都間接用到了“三次函數(shù)是中心對(duì)稱的”這一性質(zhì).

一般的三次(函數(shù))f(x)=ax3+bx2+cx+d都有對(duì)稱中心(見(jiàn)[1]),這是隱藏在這類題目下的本質(zhì)原因.因此解題時(shí)只要向此方向上化歸,本類題目一般都可迎刃而解.

例5設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+6x+14,且f(a)=1,f(b)=19,則a+b=___.

解析經(jīng)變形得f(x)=(x+1)3+3(x+1)+10,故f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(?1,10)對(duì)稱.由于,故點(diǎn)(a,f(a))與(b,f(b))關(guān)于點(diǎn)(?1,10)對(duì)稱,所以a+b=?2.

評(píng)析此題又與上題的問(wèn)法不同,而且從題干很難直接看出f(x)的對(duì)稱中心.如果沒(méi)想到從對(duì)稱性來(lái)入手,則很難下手解出a,b的具體數(shù)值.

例6(河南省鄲城縣第一高級(jí)中學(xué)2016-2017高一上學(xué)期第二次月考)已知函數(shù)f(x)= ?x?x3,α,β,γ∈R且α+β＞0,β+γ＞0,γ+α＞0,則f(α)+f(β)+f(γ)的值( )

A.恒為正數(shù) B.恒為負(fù)數(shù)

C.恒等于零 D.可能大于零,也可能小于零

解析由題意得f(x)為奇函數(shù)且f(x)單調(diào)遞減.α+β＞0?α＞?β?f(α)＜f(?β)?f(α)＜?f(β),從而有f(α)+f(β)＜0,同理可得 f(β)+f(γ)＜0,f(γ)+f(α)＜0.三式相加得2(f(α)+f(β)+f(γ))＜0,故選B.

三.總結(jié)

此類有關(guān)函數(shù)對(duì)稱性的問(wèn)題難度頗大,在高考經(jīng)常出現(xiàn)在選擇填空的壓軸題部分,在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也時(shí)有出現(xiàn).透過(guò)以上幾例可以看出,盡管此類對(duì)稱性問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)是基礎(chǔ)的、熟悉的,但是它的變化卻是豐富的,巧妙的,甚至有些時(shí)候出題的方式很怪,導(dǎo)致大部分學(xué)生并不能識(shí)破出題者的“套路”.另外,三次函數(shù)是一類比較特殊的對(duì)稱函數(shù),命題者常常從此角度出發(fā)編出新題.因此,只有把握這類問(wèn)題的對(duì)稱本質(zhì),并通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)掌握一般的出題套路,才能有的放失,達(dá)到以不變應(yīng)萬(wàn)變的境界.

強(qiáng)化練習(xí)題

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+6x2+13x+13,且f(a)=1,f(b)=5,則a+b=____.

2. 設(shè)函數(shù)f(x)= sinπx+x3?6x2+12x+,若f(lg5)= 5,則f(lg2000)=____.

(答案:1.?4;2.4050.)

[1]管宏斌.三次函數(shù)對(duì)稱中心初探[J].數(shù)學(xué)通訊,2004(15):25-26.