培養(yǎng)邏輯推理意識(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)說(shuō)理

肖寶瑩 蔣曉云 楊起群 徐瑩姿

【摘要】本文敘述“三角形穩(wěn)定性的再認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生根據(jù)“全等三角形判定定理”，用數(shù)學(xué)證明的方法重新得到“三角形具有穩(wěn)定性”的結(jié)論，從理性的角度指導(dǎo)學(xué)生研究三角形的穩(wěn)定性，提出教師在教學(xué)中應(yīng)向?qū)W生“說(shuō)理”并鼓勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成良好的“說(shuō)理”習(xí)慣的教學(xué)策略，以發(fā)展學(xué)生理性思維，培養(yǎng)其邏輯推理意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】三角形穩(wěn)定性 邏輯推理意識(shí) 理性精神

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）12A-0036-04

在以“基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)課例研究”為主題的教學(xué)研討和展示平臺(tái)“寶賢課堂”上，廣西師范大學(xué)漓江學(xué)院2015級(jí)的學(xué)生徐瑩姿展示了《三角形穩(wěn)定性的再認(rèn)識(shí)》這一節(jié)課，并在桂林師范高等?？茖W(xué)校專業(yè)教師團(tuán)隊(duì)的指導(dǎo)下進(jìn)一步優(yōu)化了教學(xué)設(shè)計(jì)。

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)教材中，對(duì)《三角形穩(wěn)定性》的內(nèi)容設(shè)計(jì)為：讓學(xué)生通過(guò)對(duì)木條釘成的三角形和四邊形“拉一拉”的實(shí)驗(yàn)方法，發(fā)現(xiàn)“三角形木架的形狀不發(fā)生改變，而四邊形木架的形狀會(huì)改變”，從而得出“三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性”。然而，實(shí)驗(yàn)歸納的方法會(huì)受到環(huán)境、材料等因素影響，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果不可靠。隨著學(xué)生知識(shí)的增長(zhǎng)和邏輯推理能力的增強(qiáng)，我們選擇在學(xué)生學(xué)習(xí)了“三角形全等判定”等知識(shí)后，安排“三角形穩(wěn)定性的再認(rèn)識(shí)”一課，讓學(xué)生用“數(shù)學(xué)證明”的方法重新認(rèn)識(shí)“三角形具有穩(wěn)定性”，培養(yǎng)邏輯推理能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)與設(shè)計(jì)意圖

（一）沖突重現(xiàn)，感悟推理必要

師：在八年級(jí)的學(xué)習(xí)中，我們用實(shí)驗(yàn)的方法得出“三角形具有穩(wěn)定性”的結(jié)論。如圖1，將三根木條用釘子釘成一個(gè)三角形木架，然后拉動(dòng)它，它的形狀不會(huì)發(fā)生改變。如圖2，將四根木條用釘子釘成一個(gè)四邊形木架，然后拉動(dòng)它，形狀可以發(fā)生改變。于是我們得出“三角形具有穩(wěn)性，而四邊形不具有穩(wěn)定性”的結(jié)論。

師：有一名同學(xué)在學(xué)習(xí)過(guò)程中不認(rèn)可教材中的做法。他也做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)。他拿的是這樣的金屬四邊形框架（如圖3），拉動(dòng)它，發(fā)現(xiàn)也“拉不動(dòng)”，所以他得到的結(jié)論是“四邊形也是有穩(wěn)定性的”。你同意這位同學(xué)的觀點(diǎn)嗎？這個(gè)四邊形金屬框具有穩(wěn)定性嗎？

（學(xué)生陷入迷茫，有的認(rèn)同，有的不認(rèn)同。）

師（提出問(wèn)題一）：做同樣的實(shí)驗(yàn)探究同一個(gè)問(wèn)題，為什么得到的結(jié)論卻不同？實(shí)驗(yàn)會(huì)受測(cè)量?jī)x器精度、環(huán)境、材料等各種因素的影響，導(dǎo)致結(jié)果不一定可靠。如水的沸點(diǎn)會(huì)因?yàn)榄h(huán)境壓強(qiáng)的不同而不同，在化學(xué)實(shí)驗(yàn)中可能會(huì)因?yàn)闇囟葪l件的不同發(fā)生不同的化學(xué)反應(yīng)。我們的實(shí)驗(yàn)會(huì)因三角形或四邊形的材料不同而得到不同的結(jié)論。因此，今天我們用理性的方法來(lái)重新認(rèn)識(shí)一下三角形的穩(wěn)定性。

【設(shè)計(jì)意圖】

之所以要再認(rèn)識(shí)“穩(wěn)定性”，是因?yàn)椤袄粍?dòng)=穩(wěn)定性”這個(gè)論斷是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，?gòu)成三角形或四邊形的不同材質(zhì)會(huì)成為干擾判斷的因素之一。通過(guò)拉“金屬四邊形”實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生感知通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察得到的結(jié)論可能不同，由此引發(fā)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可靠性的審視，體會(huì)理性思考的必要性。

（二）明確概念，謹(jǐn)立推理前提

師：既然“拉不動(dòng)≠穩(wěn)定性”，我們要研究圖形的穩(wěn)定性，就必須先弄明白“什么是圖形的穩(wěn)定性”。

師：通過(guò)查閱文獻(xiàn)資料可知，幾何圖形的穩(wěn)定性指的是圖形結(jié)構(gòu)、形狀和大小不會(huì)改變。

師（提出問(wèn)題二）：回顧一下，什么是三角形？什么是四邊形？如何理解它們的結(jié)構(gòu)、形狀和大??？

（三條線段首尾相連所圍成的圖形稱為三角形;四條線段首尾相連所圍成的圖形稱為四邊形。三角形和四邊形的形狀、大小由組成圖形的線段決定。）

【設(shè)計(jì)意圖】

要追求永恒的、確定的、可靠的知識(shí)，即數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的可靠性，就要明確概念。教師通過(guò)問(wèn)題“什么是三角形？什么是四邊形？如何理解它們的結(jié)構(gòu)、形狀和大?。俊币龑?dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)鋪墊。

（三）活動(dòng)探究，尋求推理思路

師（講解活動(dòng)一）：每四個(gè)人一組，每組成員用四根木棍或可看作“線段”的其他材料去圍四邊形，即四條木棍首尾相連圍成的圖形，同小組的觀察看看“四根棍子能圍出多少個(gè)四邊形”，思考“四條線段能構(gòu)造出多少個(gè)四邊形”。

（預(yù)設(shè)回答：很多個(gè)四邊形。）

師（總結(jié)發(fā)現(xiàn)）：給定四條線段可以擺出兩個(gè)或者多個(gè)四邊形，擺出的不同圖形，它們的形狀、大小發(fā)生了改變。所以，可以說(shuō)這四條線段組成的四邊形不具有穩(wěn)定性。

師：找到一個(gè)四邊形不具有穩(wěn)定性的例子，我們就可以下結(jié)論“四邊形不具有穩(wěn)定性”。

（活動(dòng)二：同樣的分組，每組成員都用三根木棍或可看作“線段”的其他材料去圍三角形，即將三條線段首尾相連圍成一個(gè)圖形，同小組的觀察看看三根棍子能圍出多少個(gè)三角形。）

（預(yù)設(shè)：一個(gè)或多個(gè)。）

師（提示學(xué)生）：將擺出來(lái)的三角形畫在紙上。因?yàn)槭怯眯“魯[著去畫，小棒會(huì)移動(dòng)，那么擺好后確定三個(gè)頂點(diǎn)的位置，用直尺連接起來(lái)就可以了。

師（提出問(wèn)題三）：這些用同樣三根棍子圍成的三角形之間有什么關(guān)系？

（預(yù)設(shè)：畫出的這些三角形可以重合。也就是說(shuō)，它們只是擺的位置不同，實(shí)際上是全等的，所以它們的形狀、大小都一樣。）

師（提出問(wèn)題四）：你能肯定任意三根棍子都只能擺出一個(gè)三角形嗎？

（教師用“從特殊到一般的歸納不一定完全”的例子告訴學(xué)生：實(shí)驗(yàn)歸納的結(jié)果不一定靠譜，需要證明或者證否。）

師（提出問(wèn)題五）：能證明嗎？從實(shí)驗(yàn)過(guò)程，你有什么證明思路？

（預(yù)設(shè)：證明全等。）

【設(shè)計(jì)意圖】

實(shí)驗(yàn)結(jié)果雖然不可靠，卻為發(fā)現(xiàn)證明思路提供“土壤”，尤其在課堂教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動(dòng)有益于學(xué)生尋求思路、激發(fā)興趣。通過(guò)兩個(gè)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生思維火花被點(diǎn)燃，為接下來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)證明創(chuàng)造條件。

（四）理性思考，推理證明過(guò)程

師：我們假設(shè)給定1、2、3三條線段可以圍成兩個(gè)或者兩個(gè)以上三角形，只要證明得到的這兩個(gè)三角形完全相同就可以了。

師：兩個(gè)三角形怎樣才稱得上完全相同？（三角形全等）那又該怎樣判定這些由給定的三條線段圍成的三角形是全等的？（“SSS判定定理”）現(xiàn)在我們來(lái)一起寫一下證明過(guò)程。

師：給定三條線段所圍成的所有三角形都是全等的。全等意味著能重合，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角、面積……都相等。所以，它們的結(jié)構(gòu)、形狀和大小都不變，從而三角形具有穩(wěn)定性。

師：給定一個(gè)三角形，意味著給定了構(gòu)成這個(gè)三角形的三條線段（三條邊），這樣的三角形就唯一確定了，因此三角形具有穩(wěn)定性。于是，我們通過(guò)數(shù)學(xué)證明的方法得到了“三角形是具有穩(wěn)定性的”。

【設(shè)計(jì)意圖】

教師帶領(lǐng)學(xué)生根據(jù)“SSS判定定理”證明了給定三條邊長(zhǎng)的兩個(gè)三角形全等，讓學(xué)生用理性的眼光重新審視已知結(jié)論，明確結(jié)論成立的原因，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，發(fā)展理性精神。

（五）小結(jié)反思，鑄就理性精神

師（提出問(wèn)題六）：我們?cè)ㄟ^(guò)實(shí)驗(yàn)歸納的方法得到“三角形具有穩(wěn)定性”，請(qǐng)同學(xué)們分組討論，通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)一說(shuō)“實(shí)驗(yàn)歸納”存在哪些缺陷？重溫我們前面學(xué)習(xí)過(guò)的一篇數(shù)學(xué)課文《為什么要證明》，談一談為什么我們今天還要從理性的角度重新認(rèn)識(shí)“三角形具有穩(wěn)定性”。

1.受實(shí)驗(yàn)的環(huán)境、實(shí)驗(yàn)的器材等影響，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能不一致，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不可靠

生1：在本節(jié)課中，將四根木條用釘子釘成一個(gè)四邊形木架，然后拉動(dòng)它，形狀可以發(fā)生改變，從而得出“四邊形不具有穩(wěn)定性”的結(jié)論。而將四根鋼條焊成一個(gè)四邊形框架，然后拉動(dòng)它，形狀不容易發(fā)生改變，得出“四邊形具有穩(wěn)定性”的結(jié)論。

生2：我們?cè)谛W(xué)六年級(jí)時(shí)，老師讓我們畫圓的半徑，有的同學(xué)的鉛筆比較粗，他得到的結(jié)論是“圓的半徑只有有限條”，這顯然是錯(cuò)誤的。

2.受測(cè)量?jī)x器的精確度、測(cè)量操作規(guī)范程度和技術(shù)等影響，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能不一致，結(jié)論不可靠

生1：我們?cè)趯W(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和”時(shí)進(jìn)行了“量一量”“算一算”實(shí)驗(yàn)操作，多數(shù)測(cè)量和計(jì)算的結(jié)果不是剛好180°，而是在180°左右，測(cè)量結(jié)果不一致。實(shí)驗(yàn)操作時(shí)，受測(cè)量?jī)x器的精確度的影響而出現(xiàn)誤差是實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中不可避免的現(xiàn)象，如果事先不知道“三角形內(nèi)角和是180°，通過(guò)“量一量”“算一算”實(shí)驗(yàn)是很難發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理的。

生2：在小學(xué)六年級(jí)通過(guò)測(cè)量圓形實(shí)物的周長(zhǎng)和直徑并計(jì)算它們的比值來(lái)計(jì)算圓周率，我們得到的圓周率只是“三倍多一些”，我們當(dāng)時(shí)每一次的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都不一樣。用實(shí)驗(yàn)的方法得不到“圓周率是一個(gè)固定不變的數(shù)”這個(gè)結(jié)論。

3.“眼見(jiàn)未必為實(shí)”，而實(shí)驗(yàn)結(jié)果往往依靠觀察，因此結(jié)果未必靠譜

師：同學(xué)們觀察圖6這兩個(gè)角，判斷它們是否是平角。（多數(shù)學(xué)生認(rèn)為它們是平角）實(shí)際上∠AOB=179.5°，∠COD=181°?！把垡?jiàn)未必為實(shí)”，通過(guò)觀察得到的結(jié)論是不可靠、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

4.實(shí)驗(yàn)操作后還需歸納概括才能總結(jié)出“一般”的具有普遍性的結(jié)論，“從特殊到一般的歸納”并不完全，結(jié)論未必可靠

師：從前有一個(gè)人想吃李子，于是打發(fā)他兒子到果園去買，“要甜的，好吃的，你才買?！眱鹤拥搅斯麍@，園主說(shuō)，“我這里樹上的李子個(gè)個(gè)都是甜的，你嘗幾個(gè)看?！眱鹤舆x了三棵樹上的3個(gè)李子品嘗，果然都是甜的，從而認(rèn)為“樹上的李子個(gè)個(gè)都是甜的”，于是他就買了一筐李子回去?；氐郊页缘臅r(shí)候，他發(fā)現(xiàn)有部分李子是酸的。

師：雖然歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的一個(gè)重要方法，我們一定要意識(shí)到“歸納推理所得的結(jié)論并不可靠，仍需演繹推理來(lái)論證”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要養(yǎng)成用理性思維去思考問(wèn)題的習(xí)慣，鑄就理性精神，崇尚理性、數(shù)學(xué)證明。

【設(shè)計(jì)意圖】

數(shù)學(xué)教學(xué)要給學(xué)生“說(shuō)理”，鼓勵(lì)學(xué)生用理性的思維去思考問(wèn)題，鑄就理性的精神，讓學(xué)生從“顯然正確，不用驗(yàn)證”轉(zhuǎn)變?yōu)椤俺缟欣硇?、?shù)學(xué)證明”，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中經(jīng)歷一次思想上的飛躍。

師（提出問(wèn)題七）：今天的課，我們做了實(shí)驗(yàn)嗎？為什么我們還要做實(shí)驗(yàn)？

生：做了，“圍一圍”的實(shí)驗(yàn)過(guò)程讓我們找到了證明的思路。

生：在證明結(jié)論之前，我們做了“拉一拉”的實(shí)驗(yàn)，猜測(cè)哪些圖形可能具有穩(wěn)定性，哪些圖形可能不具有穩(wěn)定性。

師：在解決問(wèn)題的過(guò)程中，“實(shí)驗(yàn)歸納”與“邏輯推理”功能不同，相輔相成?！皩?shí)驗(yàn)歸納”用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;“邏輯推理”用于證明結(jié)論。在提煉與獲得數(shù)學(xué)結(jié)論過(guò)程中，猜想與證明是兩大基本支柱，數(shù)學(xué)結(jié)論的孕育有賴于猜想，數(shù)學(xué)結(jié)論的確立離不開(kāi)證明。

【設(shè)計(jì)意圖】

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求：初中階段應(yīng)該明確地告訴學(xué)生，實(shí)驗(yàn)歸納對(duì)于探索規(guī)律和發(fā)現(xiàn)結(jié)論是不可或缺的。但是，實(shí)驗(yàn)歸納的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，還需要依靠邏輯推理去證明或者證否，要讓學(xué)生對(duì)此有清醒的認(rèn)識(shí)。

師（提出問(wèn)題八）：在一場(chǎng)答辯中，要求參加答辯的數(shù)學(xué)教師用理性方法證明三角形具有穩(wěn)定性，一些教師居然沒(méi)能給出證明。導(dǎo)致這些教師回答不出來(lái)的原因是什么？給我們的啟示是什么？

……

師：青取之于藍(lán)而勝于藍(lán)，同學(xué)們想要避免這些教師答辯時(shí)碰到的尷尬，平時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要養(yǎng)成良好的“說(shuō)理”習(xí)慣。

【設(shè)計(jì)意圖】

教師通過(guò)實(shí)例鼓勵(lì)學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)養(yǎng)成良好的“說(shuō)理”習(xí)慣，對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感滲透，進(jìn)一步完善課堂。

二、課后反思

教材中的短短的一段話是否值得教師花費(fèi)一個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)？事實(shí)上，本課立足于學(xué)生對(duì)三角形的穩(wěn)定性產(chǎn)生懷疑，進(jìn)而明確數(shù)學(xué)中穩(wěn)定性的概念，并對(duì)實(shí)驗(yàn)歸納得到的結(jié)論不一定正確產(chǎn)生直觀的認(rèn)知，用初中階段學(xué)過(guò)的三角形全等知識(shí)和邏輯推理方法證明“三角形具有穩(wěn)定性”，解決了學(xué)生的疑惑，在一定程度上鼓勵(lì)學(xué)生“存疑求真”。另一方面，隨著學(xué)生知識(shí)的增長(zhǎng)和邏輯推理能力的增強(qiáng)，用數(shù)學(xué)證明的方法引導(dǎo)學(xué)生重新認(rèn)識(shí)“三角形具有穩(wěn)定性”，能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理意識(shí)、鑄就理性精神，對(duì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要的意義。

（責(zé)編 劉小瑗）