高等數(shù)學教學中培養(yǎng)數(shù)學應用能力的策略研究

劉曉波

摘 要： 從高校高等數(shù)學教學實際出發(fā)，探索用新觀點、從新角度審視傳統(tǒng)的課程內(nèi)容，尋找突破口，更新陳舊的內(nèi)容；用新手段、新技術替代傳統(tǒng)的落后的教學方式，選好結(jié)合點，整合計算機技術和數(shù)學建模思想。提高教學效益，建立完備的能力培養(yǎng)體系。

關鍵詞： 高等數(shù)學教學；應用能力；策略研究

南京曉莊學院教改課題： 應用型人才培養(yǎng)目標下的“大學數(shù)學”實踐性教學研究。南京曉莊學院“十三五”重大課題： 地方本科院校應用型人才培養(yǎng)目標下的實踐性教學研究——以“大學數(shù)學”課程為例（2016XZGJ07）。南京曉莊學院課題：促進學生自主學習的實踐策略研究——以高等數(shù)學教學為例（2016XZJF17）階段性成果。

1、課程內(nèi)容改革策略

1.1 基本原則

改革與調(diào)整課程內(nèi)容所遵循的基本原則是：基礎性、實踐性、科學性和時代性?；A性是指高等數(shù)學中那些最具迀移性、適應性、概括性和對了解與掌握本門課程所必需的那些知識，不管知識怎么“爆炸”，都是最需要的。實踐性即理論聯(lián)系實際，指那些既來源于實踐又用于實踐，對解決實際問題有用的知識。科學性即“類似真理那樣的合理性”，符合數(shù)學自身發(fā)展規(guī)律。時代性是指那些反映當代科學技術發(fā)展和數(shù)學自身發(fā)展的新的數(shù)學思想和數(shù)學技術。

1.2 建立內(nèi)容體系

教學中深入了解學生學習高等數(shù)學的思維活動，繪制認知結(jié)構(gòu)圖，并進行分析。如一元函數(shù)微分概念的教學。選泰勒公式為同化點，引導學生在導數(shù)概念的基礎上，通過概念同化，獲得微分概念。這樣做，不但大大精減了相關教材內(nèi)容，減少了認知負荷，節(jié)省了教學時間，而且類屬清晰，教學順暢，學生容易接受。有助于培養(yǎng)學生積極地思維，自覺、主動地學習。循此繼進，揭示微分與定積分、不定積分的關系，促使認知結(jié)構(gòu)重新整合，按層次結(jié)構(gòu)進行重組與建構(gòu)。在微分的基礎上講述定積分和不定積分，將它們合并做一章，接著討論微分方程。建立了一元函數(shù)微積分的新的教學內(nèi)容體系。多元函數(shù)的微積分部分，同樣以全微分為突破口，分析多元函數(shù)基本概念、定理、公式之間的關系，改革與調(diào)整教學內(nèi)容，建新的體系。調(diào)整后的內(nèi)容相對傳統(tǒng)的教學內(nèi)容，不但精簡了，概念、定理、公式之間的關系更為順暢，而且更開放了，更易于接收新的知識。從分析一元函數(shù)微分學的認知活動可知，學生在學習中遇到最難最煩瑣的問題是近似計算。在實際中，特別是工程實際中，所遇到的大量問題幾乎都只能作近似處理，或者是簡化計算。微分中值定理進行近似計算是高等數(shù)學教學與現(xiàn)代計算技術的一個很好的結(jié)合點，實際中相關的近似計算幾乎都是用計算機處理的，有強大的計算機軟件，所以在進行這一部分教學時，能較好地與計算機技術結(jié)合，用計算機求解，既學習了新技術，又提高了學生學習數(shù)學的興趣，增強學生用計算機解決實際問題的意識和能力。

1.3 結(jié)合型認知結(jié)構(gòu)。

認知心理學家認為，專家之所以能夠迅速、準確地解決實際問題，是由于他們在不斷的學習和實踐中存儲了大量相關的知識經(jīng)驗。在頭腦中構(gòu)成了一個高度抽象與概括的知識網(wǎng)絡與動作程序，能夠?qū)π碌闹R和信息進行辨識、推理與評價。如同電腦已建立了某個函數(shù)庫，要進行相關方面的計算，就只要輸入規(guī)定的程序，很快就可以得出結(jié)果一樣?？梢?，要實現(xiàn)培養(yǎng)目標，使學生具有應用高等數(shù)學解決與專業(yè)相關的實際問題的能力，就要求在學習的時候，就要加強與相關專業(yè)的有機結(jié)合，逐步建構(gòu)結(jié)合型認知結(jié)構(gòu)。

物理學是一門嚴謹?shù)亩康目茖W。物理學中的理論與實驗的相互作用是基于數(shù)量的測量與抽象、推理的。通過科學實驗和生產(chǎn)實踐總結(jié)出來的知識經(jīng)驗需要用嚴謹而簡潔的數(shù)學語言表述出來。數(shù)理結(jié)合常為新的見解、新的理論假設指出途徑，做出預言，推動物理學不斷創(chuàng)新、不斷發(fā)展?？梢姡瑪?shù)學是物理學的基礎和學習物理學必備的基本工具。高等數(shù)學教學，對物理專業(yè)來說，應聯(lián)系物理學習，幫助學生理解、表述和掌握物理理論，建構(gòu)數(shù)理結(jié)合的認知結(jié)構(gòu)，解決物理實際問題。例如，速度是位置矢量對時間的導數(shù)，質(zhì)點運動的速度是導數(shù)的下位概念，是它的一個重要實例。不同的相關專業(yè)有不同的專業(yè)特點、知識，因此，對于不同專業(yè)，結(jié)合型認知結(jié)構(gòu)是有差異的。為提高學生解決實際問題的能力，應根據(jù)專業(yè)實際，在教學中增補相關專業(yè)的背景資料和應用實例，促進結(jié)合型認知結(jié)構(gòu)的形成。

1.4 數(shù)學建模

“數(shù)學模型是用數(shù)學概念、原理和思維方法描述現(xiàn)實世界中那些規(guī)律性的東西。數(shù)學模型使數(shù)學走出數(shù)學的世界，構(gòu)建了數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁?！薄皵?shù)學模型的出發(fā)點不僅是數(shù)學，還包括現(xiàn)實世界中的那些將要講述的東西?！盵1]在需要從定量的角度研究和解決現(xiàn)實世界中的實際問題時，往往需要作調(diào)查研究，詳細獲取和分析對象的信息，經(jīng)過去粗取精，由表及里，提出實體模型；分析變量之間的關系，根據(jù)相關科學規(guī)律建立數(shù)學表達式；再求解得出結(jié)果，進行實驗和檢驗。這個全過程稱為數(shù)學建模。從調(diào)查研究到模型建立，主要是抽象思維；從模型到數(shù)學表達式的建立，主要是邏輯推理。廣義地說，平常所說的解應用題，實質(zhì)上也包含數(shù)學建模的元素?？梢姡瑪?shù)學建模是用數(shù)學解決實際問題常用的一種很好的思想方法。在高等數(shù)學的課程內(nèi)容中，介紹數(shù)學建模；適當增加有關的應用題材；進行集中綜合訓練；在課堂教學和習題課中，滲透數(shù)學建模思想。以提高學生應用數(shù)學建模的意識和能力。

2、教學方法改革策略

2.1 營造良好的教學氛圍

大學新生因為對大學的教學模式、授課方法、教學內(nèi)容不適應而感到困難。情緒對認知起著定向、選擇、調(diào)整和啟動作用。所以，在學生開始學習高等數(shù)學的時候，從情感切入，建立和諧的師生關系，營造良好的教學情境，克服厭學、恐學等影響教學效果的心理障礙是至關重要的。課堂教學是教師和學生溝通的主渠道，不只是知識的傳遞，而且是感情的交流和轉(zhuǎn)換。教師熱誠的工作、深入淺出的講解、耐心細致的解答疑難，學生感受到愛的溫暖。學生心理上的障礙就會逐漸消失，學習的主動性就會逐步提高。學生的進步反過來激勵教師更加辛勤地工作，教學上更加精益求精，師生感情交融，教和學互相加強、和諧統(tǒng)一。

2.2 改革基本理論的教學

2.2.1 激勵興趣

學習興趣是自覺的內(nèi)在的激勵學習的動力，是較高的學習境界。如何培養(yǎng)學生學習高等數(shù)學的興趣？數(shù)學理論抽象難學，教學最容易使學生枯燥無味，所以改革理論課教學非常重要，首先在教學內(nèi)容的選取、起點的確定、教學方式和教學程序的設計上貫徹深入淺出的基本原則。如果講授過于深奧，學生無法理解，喪失學習信心，降低學習興趣。所謂深入，就是要深刻闡述數(shù)學基本概念、定理和公式的意義、內(nèi)在聯(lián)系、嚴密的邏輯關系，使學生達到深刻理解，獲得清晰的概念，掌握基本的理論和方法，能進行準確的運算，合乎邏輯的推理。淺出，是指對抽象的概念、深邃的理論和繁瑣的推證，能利用相對淺顯的內(nèi)容為起點，采取通俗易懂的方法，使學生理解掌握。深入的要求是基本的。只有深入，學生才能消化吸收所學的知識，才能舉一反三，觸類旁通，產(chǎn)生興趣。有效的淺出與應有的深入相配合，才可能形成相對持久的興趣。理解的深入與興趣的加深相伴而行。

其次是根據(jù)教學內(nèi)容和認知規(guī)律，精心設計教學方案，運用多變的教學方式進行教學，營造寬松的教學環(huán)境。對每堂課的教學內(nèi)容，教師要清楚教學內(nèi)容的性質(zhì)、內(nèi)在聯(lián)系、相關知識、難易程度、重點難點等。對于不同性質(zhì)的教學內(nèi)容，宜選用不同的教學方法，包括講述、討論、問題探索、類比、多媒體演示等。按照由具體到抽象，由已知到未知，由易到難組織教學?；怆y點，抓住關鍵重點突破，啟迪思路重理性，簡化冗長推導和計算。要關注學生情緒的變化，有緊有松。教學語言簡明、親切、富有啟發(fā)性。這樣，課堂教學就有點藝術品味了，學生會把上課看作是一種藝術享受。

2.2.2 加強啟發(fā)

現(xiàn)代認知心理學認為，人的知識是通過人本身內(nèi)部的建構(gòu)獲得的。傳播與交流的知識，只有在被接受者內(nèi)化，即與學習者頭腦中已有的知識聯(lián)系起來，重新建構(gòu)之后，而得到理解與掌握，并加以運用。高等數(shù)學基本理論的教學。概念的形成、定理的證明、公式的推導和法則的導出都必須經(jīng)過學生本人的積極的思維活動。與已有的知識聯(lián)系起來，經(jīng)過抽象、推理，建立起新的關系，重新建構(gòu)自己頭腦中的認知結(jié)構(gòu)。教師的主導作用就在于加強啟發(fā)性，引導學生自己努力完成這一認知活動。

如果是陳述性的基本概念，可用“共同的本質(zhì)屬性是什么？為什么？”“與哪些概念有聯(lián)系？是什么關系？”引導學生分析比較，辯別異同。抽象出共同的本質(zhì)特性，理解與把握概念。如果是定理、公式、法則，則用“條件是什么？目的是什么？依據(jù)是什么？如果操作？”引導學生從條件出發(fā)，進行邏輯推理，得到結(jié)果。這既是獲取知識的過程，也是運用和提高能力的過程。

認知心理學通過構(gòu)建認知模型來說明個體內(nèi)部的知識組織或呈現(xiàn)的方式。適時地向?qū)W生揭示所學知識的結(jié)構(gòu)，有助于教師引導學生去發(fā)現(xiàn)相聯(lián)、相似、相近，從而增強遷移能力、聯(lián)想能力、推理能力；有助于學生通過主動學習，接收、內(nèi)化，改善自己的認知結(jié)構(gòu)。拿微積分教學來說，它研究的對象是變量與變量的關系及其規(guī)律性，基本思想方法是：無限分小，取極限。在無限分小的情況下，變趨向不變，變速趨向勻速，不均勻趨向均勻，因而使變量問題簡單化，精確化。所以極限運算是微積分的運算基礎。在無限分小的情況下，變量增量之比的極限就是導數(shù)，變量增量就是微分，變量增量求和的極限就是定積分。“無限分小，取極限”是微積分的基本思想方法，是貫穿整個微積分的主線，極限、導數(shù)、積分是微積分學關系全局性的基本概念，相關的計算法則是微積分學的基本運算。微分中值定理是溝通無限分小到實際應用的橋梁。這一切都可以用微積分學的認知結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出來。

2.2.3 加強應用

教學中，不僅講解知識，還盡可能講解知識的背景；不僅講發(fā)現(xiàn)，而且講如何發(fā)現(xiàn)的。鑒于現(xiàn)行的高等數(shù)學教材習題中大多數(shù)是計算題，應用題很少，所以必須進行調(diào)整，適當減少練習技巧的計算題，增補聯(lián)系實際，特別是聯(lián)系專業(yè)實際和當前經(jīng)濟發(fā)展的實際的應用題。

2.3 引導學生按現(xiàn)代方式學習

在高等數(shù)學教學中，應盡可能符合學生的認知規(guī)律，促進學生主動的按照現(xiàn)代方式學習，積極思維，建構(gòu)良好的認知結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)代學習方式有多種，在高等數(shù)學的學習中，比較合適的是奧蘇伯爾的同化理論。引導學生尋找一個同化點。然后根據(jù)類屬關系，將新知識納入到認知結(jié)構(gòu)的合適位置上去，與原有觀念建立相應的聯(lián)系。最后，構(gòu)成新的知識結(jié)構(gòu)。這樣，對新知識的理解才能達到融會貫通。學生原有的認知結(jié)構(gòu)也會不斷因新知識的納入和不斷分化、重建而更知完整和豐富。

3、教學模式改革策略

3.1 改革單一的教學模式

改革單一的課堂教學模式。習題課單獨開設。同時，新開數(shù)學實驗課，進行計算機技術和數(shù)學建模技能訓練。習題課、實驗課統(tǒng)稱實踐課。這樣，就由原來單一的理論課教學模式分成理論課、習題課和實驗課三種形式，促使知識、能力協(xié)調(diào)發(fā)展。

3.2 合理分配、安排時間

高等數(shù)學是進入高校最早開的一門課，在學習方式、思想方法等諸多方面不適應，所以，在時間的分配上、具體安排上要從實際出發(fā)，盡量合理。譬如，實驗課宜安排后一點，次數(shù)不能太多，數(shù)學建模集中訓練。計算機技能訓練，主要在如何使用軟件進行近似計算、數(shù)值積分、符號微積分、積分變換、函數(shù)作圖等，次數(shù)也不宜太多，視理論課教學需要和進度而定。

3.3 精心準備、指導

如何提高解題的效率？一靠精心選題；二靠精心指導。（1）指導學生如何表征問題。表征問題也叫分析和理解問題。任何問題都包含條件和要求的答案或結(jié)論兩個方面，表征問題就是要分析條件和答案，找出它們的關聯(lián)，把思維活動引向問題解決。（2）啟發(fā)學生如何選擇解題的方法和步驟。從問題條件到答案，選擇什么方法、什么途徑，這是問題解決的策略問題。（3）營造良好的學習環(huán)境。關心學生，激勵學生樹立克服困難的自信心。鼓勵學生創(chuàng)新思維，一題多解。遇到許多學生不會做的難題時，有效的組織集體討論，集思廣益。

計算機技術和數(shù)學建模技能訓練，更需要教師精心準備和指導。題材的選擇、資料的搜集、調(diào)究、教學方案的設計，需要那些預備知識、實驗室的準備等，都要提前準備好，提前布置。

參考文獻

[1]李遠華，劉恒，關于數(shù)學建模的創(chuàng)新思維教學模式的探討[J]大學數(shù)學。2011（5）.