基于優(yōu)先權(quán)排隊的顧客均衡行為

岳艷萍

（山西大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，太原030006）

一、模型描述

本文就是否具有強(qiáng)占優(yōu)先權(quán)的兩類客戶進(jìn)行討論。為了研究的方便，針對所研究的模型進(jìn)行了一些假設(shè)。

（一）模型假設(shè)

（1）假設(shè)系統(tǒng)中存在兩類潛在客戶，即客戶1和客戶2，客戶1是指具有優(yōu)先權(quán)的客戶，而客戶2是指不具有優(yōu)先權(quán)的客戶。

（2）兩類客戶的平均到達(dá)率為λ1和λ2，總的到達(dá)率為λ1+λ2=λ。

（3）該排隊模型為M/M/1模型。每個客戶的服務(wù)時間是隨機(jī)的，且都服從負(fù)指數(shù)分布。記每個客戶的服務(wù)時間為S，平均服務(wù)時間為μ-1。

（4）記有優(yōu)先權(quán)客戶在系統(tǒng)中的平均排隊等待時間為Wq1，平均逗留時間為Ws1；沒有優(yōu)先權(quán)的客戶在系統(tǒng)中的平均排隊等待時間為Wq2，平均逗留時間為Ws2。

（5）每類客戶在服務(wù)完成后所獲得的價值為vi，等待成本為di且d1＞d2；客戶為擁有優(yōu)先權(quán)所支付的價格為P，且P＜W1。

（二）模型分析

據(jù)上述假設(shè)可以求得有優(yōu)先權(quán)的顧客在系統(tǒng)中的逗留時間Ws1以及沒有優(yōu)先權(quán)的顧客在系統(tǒng)中的逗留時間Ws2。此外，還可以推斷出顧客選擇進(jìn)入系統(tǒng)的條件。

1.顧客的逗留時間

（1）當(dāng)有優(yōu)先權(quán)的顧客到達(dá)系統(tǒng)時，他所需的等待時間由兩部分構(gòu)成，一部分是正在排隊等待服務(wù)的有優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)時間，另一部分是等待正在服務(wù)的服務(wù)窗空出來的時間（有優(yōu)先權(quán)的顧客）。

(1)項目引導(dǎo)。本專業(yè)的人才培養(yǎng)通過三個遞進(jìn)式階段項目進(jìn)行貫穿。這三個階段項目能更好地保證學(xué)生獲得所需的專業(yè)基本能力、專業(yè)核心能力和專業(yè)綜合能力。將項目貫穿到課堂教學(xué)中，以項目實施的過程為主線，把知識點分散到項目的各個任務(wù)中進(jìn)行傳授，培養(yǎng)學(xué)生的崗位技能并具有可持續(xù)職業(yè)發(fā)展?jié)摿Α?/p>

（2）當(dāng)沒有優(yōu)先權(quán)的顧客到達(dá)系統(tǒng)時，若記Ws1～2表示有優(yōu)先權(quán)和沒有優(yōu)先權(quán)顧客在系統(tǒng)中時每一名顧客的平均逗留時間，則：

2.顧客進(jìn)入系統(tǒng)的條件

根據(jù)上述假設(shè)，我們可以得到兩類客戶的預(yù)期效用值分別為：

當(dāng)ui≥0時，顧客選擇進(jìn)入系統(tǒng)，且當(dāng)ui=0，顧客以任意概率進(jìn)入系統(tǒng)。令ui（λi，p）時，所求得的λi（P）為第i類客戶選擇進(jìn)入系統(tǒng)的最大到達(dá)率。因為第一類客戶為有優(yōu)先權(quán)的的客戶，所以第二類客戶是否選擇進(jìn)入系統(tǒng)受到第一類客戶的影響。

對λ1（P）求一階導(dǎo)數(shù)以及二階導(dǎo)數(shù)可得λ′1（P）＜0，λ″1（P）＜0。故λ1（P）是嚴(yán)格遞減的，且關(guān)于P是凹函數(shù)。

二、均衡客戶行為

在這一部分中，主要探討的問題是兩類客戶在不同的到達(dá)率以及效用情況下的進(jìn)入概率。首先我們可以依據(jù)兩類客戶效用值的大小分為兩種情況：u1＞u2和u1＜u2。本文中我們只考慮u1＞u2的情況。由于第一類客戶是具有優(yōu)先權(quán)的客戶，因此，第二類客戶是否選擇進(jìn)入與第一類客戶的選擇有很大的關(guān)系。

令 u1=u2，則：

構(gòu)造函數(shù)F（λ）=u1-u2，對F（λ）求導(dǎo)，可得F′（λ）＞0，由于λ＜λ?且 F（λ?）=0；又因為 F（λ）為增函數(shù)，因此可得 F（λ）＜0，也即u1＜u2。根據(jù)u1，u2之間的相對大小，可以判定兩類客戶選擇進(jìn)入系統(tǒng)的意愿的強(qiáng)弱。若u1＜u2，那么不具有優(yōu)先權(quán)的顧客選擇進(jìn)入系統(tǒng)的意愿更強(qiáng)；反之，具有優(yōu)先權(quán)的顧客選擇進(jìn)入的意愿更強(qiáng)。

因為u1（λ1，P）關(guān)于λ1遞減且u1=0時，λ1=λ1（P）。根據(jù)u1和0之間的相對大小，我們可以判定λ1和λ1（P）之間的相對大小。當(dāng)0＜λ1＜λ1（P）時，具有優(yōu)先權(quán)的客戶選擇進(jìn)入系統(tǒng)；反之，則不進(jìn)入系統(tǒng)。

定理 當(dāng) λ＞λ?，也即u1＞u2時，可以將兩類客戶的效用值大小分為三種情況：

（a）當(dāng) u1＜0，u2＜0 時，兩類客戶都不進(jìn)入系統(tǒng)。

（b）當(dāng) u1＞0，u2＞0 時，第二類客戶選擇不進(jìn)入系統(tǒng)，且當(dāng)λ1≥λ1（P）時，客戶的均衡進(jìn)入率為（θEQ1（P），θEQ2（P））=（λ1（P）/λ1，0）；

當(dāng)λ1＜λ1（P），客戶的均衡進(jìn)入率為（θEQ1（P），θEQ2（P））=（1，0）。

（c）當(dāng) u1＞0，u2≥0 時，第一類和第二類客戶都可以選擇進(jìn)入，但第二類客戶進(jìn)入概率取決于第一類客戶的進(jìn)入率。

I.當(dāng)λ1＜λmax＜λ1（P）或λ1＜λ1（P）＜λmax時，客戶的均衡進(jìn)入率為（θEQ1（P），θEQ2（P））=（1，（λmax-λ1）/λ2）。

II.當(dāng)λmax＜λ1＜λ1（P）時，客戶的均衡進(jìn)入率為（θEQ1（P），θEQ2（P））=（λmax/λ1，0）。

當(dāng)某類客戶在完成服務(wù)后所得的效益值小于零時，該類客戶沒有進(jìn)入系統(tǒng)的意愿。故（a）情況下兩類客戶都選擇不進(jìn)入系統(tǒng)。因為u1＞u2，故相較于第二類客戶來說，第一類客戶進(jìn)入系統(tǒng)的意愿更強(qiáng)，所以應(yīng)該首先考慮讓第一類客戶進(jìn)入。在（b）情況下，因為第二類客戶沒有進(jìn)入系統(tǒng)的意愿，故只需要考慮第一類客戶的情況。當(dāng)?shù)谝活惪蛻舻倪M(jìn)入率大于系統(tǒng)可容納的該類客戶的最大進(jìn)入率時，第一類客戶部分進(jìn)入；反之，則全部進(jìn)入。在（c）情況下，第一類和第二類客戶都有選擇進(jìn)入的意愿。當(dāng)?shù)谝活惪蛻舻牡竭_(dá)率沒達(dá)到系統(tǒng)可容納的該類客戶的最大進(jìn)入率時，或已到達(dá)系統(tǒng)可容納的該類客戶最大進(jìn)入率，但未達(dá)到總的最大進(jìn)入率時，也即系統(tǒng)仍有能力服務(wù)第二類客戶時，再考慮讓第二類客戶進(jìn)入。（c）I情況下，由于第一類客戶的到達(dá)率既未達(dá)到系統(tǒng)可容納的該類客戶的最大進(jìn)入率，又未達(dá)到總的最大進(jìn)入率，所以第一類客戶全部進(jìn)入，第二類客戶部分進(jìn)入。（c）II情況下，第一類客戶的到達(dá)率小于第一類客戶進(jìn)入的臨界值而大于總的最大進(jìn)入率，所以第一類客戶部分進(jìn)入而第二類客戶不進(jìn)入。

三、結(jié)論與擴(kuò)展

從這項研究中所獲取的信息是：潛在的市場結(jié)構(gòu)對顧客的決定都起著關(guān)鍵的作用。因此，顧客在做出決定之前必須要充分研究潛在的市場結(jié)構(gòu)。這是由于不同類別的消費者對于價格、等待時間、服務(wù)預(yù)期收益等的不同而導(dǎo)致的。

參考文獻(xiàn)：

[1]Wenhui Zhou，Xiuli Chao，Xiting Gong．Optimal Uniform Pricing Strategy of a Service Firm WhenFacing Two Classes of Customers[J]．Productionand Operations Management，2014，（4）：676-688．

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