解決問題教學(xué)中數(shù)量關(guān)系運(yùn)用的實(shí)踐研究

羅白春

[摘 要]“問題解決”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一。多數(shù)教師在解決問題教學(xué)中過多關(guān)注對(duì)問題信息的收集和整理，而忽視對(duì)數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，從而導(dǎo)致學(xué)生無法進(jìn)行有效思考，缺乏過程與方法的體驗(yàn)，不能正確形成解題策略。在解決問題教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，從構(gòu)建數(shù)量關(guān)系到活用數(shù)量關(guān)系，不斷提升學(xué)生的思維能力。

[關(guān)鍵詞]解決問題；數(shù)量關(guān)系；小學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）08-0059-02

隨著課程改革的不斷推進(jìn)，教師對(duì)解決問題教學(xué)也隨之產(chǎn)生了許多困惑，其中如何運(yùn)用數(shù)量關(guān)系便是數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中最大的困惑。數(shù)量關(guān)系是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，首先需要讓學(xué)生了解題意，明確題目給出的條件與要解決的問題，明確條件與條件之間存在的關(guān)系，這樣才能有效解決問題，提高解題效率。對(duì)此，在教學(xué)中教師應(yīng)加強(qiáng)數(shù)量關(guān)系運(yùn)用的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行歸納和總結(jié)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)量關(guān)系，從而不斷培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建數(shù)量關(guān)系的能力，提升學(xué)生的思維能力。

一、明確解決問題的結(jié)構(gòu)，鞏固數(shù)量關(guān)系知識(shí)

兩步解決問題教學(xué)是解決問題體系的關(guān)鍵，明確兩步解決問題的結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生在解決問題的過程中厘清數(shù)量關(guān)系，為解決更復(fù)雜的問題與解決策略的多樣化打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。加強(qiáng)兩步解決問題的訓(xùn)練，能使學(xué)生在掌握兩步解決問題的結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

首先，出示兩道具有聯(lián)系的一步問題，在學(xué)生一一解決后再要求他們將兩道題合并為一道題，然后觀察兩組題型之間的聯(lián)系與區(qū)別。

例如，對(duì)于題目“李老師帶來了18個(gè)蘋果分給3個(gè)學(xué)生，已經(jīng)分了6個(gè)，剩下的每人還能分到幾個(gè)？”，教師可以采取兩步解決問題的方法，先給學(xué)生出示一步問題“李老師帶來了18個(gè)蘋果分給3個(gè)學(xué)生，分了6個(gè)，還剩幾個(gè)？”，再為學(xué)生出示“蘋果還剩下12個(gè)，分給3個(gè)學(xué)生，每人還能分到幾個(gè)？”，將一個(gè)數(shù)學(xué)問題分為兩道題，降低了原題的難度，有助于學(xué)生厘清解題思路，更好地掌握解決問題的方法。

其次，在學(xué)生認(rèn)識(shí)兩步解決問題的方法的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練學(xué)生將一步解決問題中的一個(gè)信息擴(kuò)展改編為兩個(gè)信息，指導(dǎo)學(xué)生將問題的直接條件轉(zhuǎn)變?yōu)殚g接條件，這樣不僅能使學(xué)生了解兩步解決問題的方法是由一步解決問題的直接條件轉(zhuǎn)變而來的，而且能為學(xué)生分析更復(fù)雜的問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

例如，在教學(xué)加法問題時(shí)，對(duì)于題目“班上男生人數(shù)為24人，女生人數(shù)為72人，求班上一共有多少人？”，教師可將題目的信息擴(kuò)展為“班上男生人數(shù)為24人，女生人數(shù)是男生人數(shù)的2倍，求班上一共有多少人？”。通過將一步問題改編為兩步問題，并在學(xué)生理解的范圍內(nèi)設(shè)置問題，可使學(xué)生了解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。

最后，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行縮題改編，讓其找到中間問題，并將中間問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將兩步問題轉(zhuǎn)化為一步問題。教師可對(duì)學(xué)生提出要求：題目的條件不變，改變問題內(nèi)容，將兩步問題縮題改編為一步問題；題目條件改變，問題內(nèi)容不變，將兩步問題縮題改編為一步問題。之后，讓學(xué)生對(duì)題目的不同點(diǎn)與相同點(diǎn)進(jìn)行表述。通過該訓(xùn)練，能讓學(xué)生學(xué)會(huì)將間接條件變?yōu)橹苯訔l件，將兩步問題變?yōu)橐徊絾栴}，讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到中間問題的鋪墊作用。

在以上策略的引導(dǎo)下，及在學(xué)生積累了一定的基礎(chǔ)數(shù)量關(guān)系后，教師可對(duì)某個(gè)專題進(jìn)行跟蹤研究，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用方程法解決問題。在專題研究的過程中，學(xué)生能夠更好地選取相應(yīng)的策略方法，并運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題。

例如，在教學(xué)購票的相關(guān)知識(shí)后，教師可為學(xué)生出示兩種購票方案“方案一，成人票120元/人，兒童票50元/人；方案二，團(tuán)體6人以上（含6人），票價(jià)100元/人?！辈閷W(xué)生出示問題：成人有5人，兒童有3人，怎樣購票比較省錢？或成人有3人，兒童有5人，怎樣購票比較省錢？學(xué)生在思考問題時(shí)，需要針對(duì)人數(shù)的變化選取相應(yīng)的解題方案，在這一過程中，學(xué)生的發(fā)散性思維得到了很好的培養(yǎng)。

二、整合與構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，活用數(shù)量關(guān)系

學(xué)生在了解與認(rèn)識(shí)兩步解決問題的結(jié)構(gòu)后，也積累了許多常見的基本數(shù)量關(guān)系，在此基礎(chǔ)上教師可引導(dǎo)學(xué)生將這些數(shù)量關(guān)系整合為一組數(shù)量關(guān)系，再由此拓展為結(jié)構(gòu)相似的多組數(shù)量關(guān)系，形成數(shù)量關(guān)系群。在構(gòu)建好數(shù)量關(guān)系群的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)幫助學(xué)生通過比較、整合等方法構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。這樣，不僅能讓學(xué)生了解數(shù)量關(guān)系群的本質(zhì)，并且還能讓學(xué)生抓住數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方法，真正實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)量關(guān)系的靈活運(yùn)用。

例如，在教學(xué)“速度、時(shí)間和路程”的相關(guān)知識(shí)后，教師可針對(duì)數(shù)量、總量和單價(jià)的數(shù)量關(guān)系與工作時(shí)間、效率和總量的數(shù)量關(guān)系，為學(xué)生設(shè)計(jì)兩種類型的問題，讓學(xué)生自主解決。因?yàn)閷W(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系有一定的了解，所以他們能夠輕易地歸納出兩組數(shù)量的關(guān)系，之后再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三組數(shù)量關(guān)系進(jìn)行歸納與總結(jié)，學(xué)生就能在表述與比較中概括出：?jiǎn)蝺r(jià)、速度以及工作效率為“每份數(shù)”，數(shù)量、時(shí)間以及工作時(shí)間為“份數(shù)”，而總價(jià)、工作總量以及路程為“總數(shù)”，這三組數(shù)量關(guān)系為份總關(guān)系。這樣，在延伸與分析中，學(xué)生完整構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型。在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生從掌握一個(gè)數(shù)量關(guān)系到掌握一群數(shù)量關(guān)系，并從中找到數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)內(nèi)涵。

在上述教學(xué)的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)讓學(xué)生通過對(duì)比、分析解法的練習(xí)，防止學(xué)生在解決問題中形成定式思維，幫助學(xué)生正確運(yùn)用數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，掌握多樣化的解決策略。

例如，教師可出示問題“甲學(xué)生有4支鉛筆，乙學(xué)生的鉛筆比甲學(xué)生的2倍少2支，那么乙學(xué)生有多少支鉛筆？”和“甲學(xué)生有4支鉛筆，比乙學(xué)生的鉛筆的2倍少2支，那么乙學(xué)生有多少支鉛筆？”，小學(xué)生較容易形成定式思維，他們往往看到題目有“少”就減，有“多”就加，對(duì)此教師應(yīng)該采取有效的方法，打破學(xué)生的定式思維，讓學(xué)生正確理解數(shù)量關(guān)系，并通過畫圖的方法整理信息，對(duì)關(guān)鍵句進(jìn)行詳細(xì)的分析，通過對(duì)比線段圖表述與文字表述方法的異同，在數(shù)形結(jié)合的方法中真正掌握數(shù)量關(guān)系。最后，讓學(xué)生對(duì)兩組題目的解法與結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較，體會(huì)該問題運(yùn)用列方程的方法更佳。

三、表述解題思路，培養(yǎng)思維能力

在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題的思考過程進(jìn)行表述，也就是讓學(xué)生表述解題思路，學(xué)生表述的過程就是形成抽象數(shù)量關(guān)系的過程。學(xué)生在表述過程中可以采用畫線段圖、口述、文字表述等手段，分析問題的數(shù)量關(guān)系，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，有效解決問題。

引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖表述解題思路，呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。在學(xué)生畫線段圖表述解題思路時(shí)，教師需要積極幫助學(xué)生梳理信息，為其做好畫線段圖示范，幫助學(xué)生了解畫線段圖與梳理?xiàng)l件的方法，并體會(huì)線段圖對(duì)表述解題思路的好處。經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的訓(xùn)練后，學(xué)生能夠利用畫線段圖的方法整合條件，將解決問題的本質(zhì)直觀呈現(xiàn)出來，此時(shí)，教師需要及時(shí)讓學(xué)生厘清是運(yùn)用哪兩個(gè)數(shù)量畫出線段圖的，能夠求出什么數(shù)量。

例如，在教學(xué)運(yùn)用乘法解決問題的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師可為學(xué)生出示題目“小明買5個(gè)蛋糕，花了20元，買10個(gè)這樣的蛋糕，一共需要多少錢？”然后讓學(xué)生畫線段圖表述題目的意思。學(xué)生通過自主表達(dá)題意，更好地梳理了題目中的數(shù)量關(guān)系，為理解數(shù)量關(guān)系奠定了基礎(chǔ)。

有了畫圖的基礎(chǔ)，學(xué)生在寫解題思路時(shí)能更好地梳理數(shù)量關(guān)系。在開始階段，為幫助有困難的學(xué)生找到數(shù)量關(guān)系，需要引導(dǎo)他們找到數(shù)量關(guān)系的關(guān)系句，將關(guān)系句劃分清楚，在明確兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系后，再將其轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系式，為構(gòu)建數(shù)量關(guān)系打下基礎(chǔ)。表述解題思路對(duì)于學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題十分重要，通過寫解題思路可讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通，并為解決問題清掃障礙。

例如，在低年級(jí)的學(xué)習(xí)過程中，教師可要求學(xué)生通過畫圖的方法寫出問題“男生人數(shù)比女生人數(shù)多5人”的數(shù)量關(guān)系式，再到高年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題“男生人數(shù)比女生人數(shù)多1/4”時(shí)寫出關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上學(xué)生就能聯(lián)想到“男生人數(shù)是女生人數(shù)的5/4”“女生人數(shù)是男生人數(shù)的4/5”等數(shù)量關(guān)系，根據(jù)此信息能讓學(xué)生更好地寫出解題思路，提升學(xué)生的解題效率。

讓學(xué)生口述題目中的已知條件，檢查學(xué)生是否弄懂相關(guān)的條件，是梳理問題與條件之間關(guān)系的重要過程。學(xué)生在教師的引導(dǎo)中能說出解題思路，通過一段時(shí)間的訓(xùn)練后能流暢地運(yùn)用分析法說明解題思路。

例如，在教學(xué)歸總問題時(shí)，教師可根據(jù)學(xué)生已有的歸總問題基礎(chǔ)，幫助學(xué)生搭建有效思考問題的橋梁，為學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系與解決問題打下基礎(chǔ)。

綜上，教師需要積極引導(dǎo)學(xué)生回顧自身解題的思路與過程，并加強(qiáng)反思訓(xùn)練，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

例如，在教學(xué)“梯形的面積”后，教師給學(xué)生出示問題“現(xiàn)在要對(duì)合唱表演的隊(duì)形進(jìn)行設(shè)計(jì)，第一排站6個(gè)人，每排人數(shù)多2人，一共排成5排，那么這個(gè)合唱隊(duì)的人數(shù)一共有幾人？”學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行自主思考后，對(duì)這個(gè)合唱隊(duì)形與算式有怎樣的發(fā)現(xiàn)呢？學(xué)生通過對(duì)梯形面積的知識(shí)進(jìn)行反思，發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題能夠運(yùn)用梯形面積公式的原理得出，有效鞏固了梯形面積的數(shù)量關(guān)系與計(jì)算公式。解決問題的方式與數(shù)量關(guān)系有著密不可分的聯(lián)系，教師需要采取多樣化的策略進(jìn)行有機(jī)滲透，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行構(gòu)建，不斷提升學(xué)生的思維能力。

總之，對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解與運(yùn)用是小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，教師在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)解決問題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性，并且還要重視學(xué)生構(gòu)建數(shù)量關(guān)系的過程，不斷提升學(xué)生的解決問題能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

（責(zé)編 黃春香）