數(shù)形結(jié)合思想在高中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

張芳華

[摘 要]數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一.通過數(shù)形結(jié)合能夠?qū)?shù)與形相互轉(zhuǎn)換，使數(shù)學(xué)問題得到簡化，能幫助學(xué)生厘清解題思路，找到解題方法.

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合思想；高中數(shù)學(xué)；函數(shù)教學(xué)

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2018）02002502

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，以函數(shù)知識(shí)與函數(shù)問題作為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合通過數(shù)與形之間的關(guān)系，使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，以此來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，幫助學(xué)生更好地解決問題.

一、數(shù)形結(jié)合的含義

1.數(shù)字轉(zhuǎn)為圖形

相比于數(shù)字而言，圖像具有較強(qiáng)的直觀性，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式正是基于這一點(diǎn)，將復(fù)雜的數(shù)字內(nèi)容轉(zhuǎn)化為更為直觀的圖像，以此讓學(xué)生直觀地了解問題，從而厘清解題思路.

2.圖形轉(zhuǎn)為數(shù)字

雖然圖形具有直觀性，但是圖形因其自身特點(diǎn)，特別是面對(duì)較難的數(shù)學(xué)問題時(shí)缺乏推理的邏輯性與計(jì)算的精準(zhǔn)性，使得單純利用圖形來解題，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.而數(shù)形結(jié)合的方法，不僅能夠?qū)?shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，使解題思路更加清晰，同時(shí)還能夠?qū)D形轉(zhuǎn)化為數(shù)字，減少解題中的錯(cuò)誤.

數(shù)形結(jié)合思想主要是指通過合理的方法，將數(shù)學(xué)題目在數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到簡化數(shù)學(xué)問題，厘清解題思路的目的.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題時(shí)，要著重注意以下幾點(diǎn)：（1）需要幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)題目中的數(shù)學(xué)概念與運(yùn)算方法，同時(shí)還需要掌握數(shù)學(xué)曲線中的代數(shù)特征；（2）需要科學(xué)設(shè)置參數(shù)、合理利用參數(shù)，并建立兩組參數(shù)之間的關(guān)系，將數(shù)與形進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換；（3）需要正確掌握參數(shù)中的取值范圍.

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

1.在求方程的根類問題中的應(yīng)用

在進(jìn)行方程解題時(shí)，可以將方程轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)問題，以此來將數(shù)與形進(jìn)行有機(jī)結(jié)合.

【例1】 方程式中x2-4x+3=m有4個(gè)根，求m值的取值范圍.

分析：在這一道題目中，其問題主要是求得m值范圍.而對(duì)于求根的問題，則能夠?qū)的取值范圍轉(zhuǎn)化為圖像形式，通過觀察圖形中的范圍來進(jìn)行解題.

解：可以將這個(gè)問題看作是求y=x2-4x+3和y=m兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)數(shù)目.可以將函數(shù)變?yōu)閳D像的拋物線，將x軸下方的圖

像沿x軸翻折上去，通過這樣的方法能夠得到y(tǒng)=x2-4x+3的圖像，再作直線y=m，如圖1所示.在圖像中能夠清晰地看到，當(dāng)0

【點(diǎn)評(píng)】由上述例題可以看出，我們?cè)谧鲱}的過程中，有時(shí)會(huì)遇到運(yùn)算到某一步后，無法再以統(tǒng)一式子進(jìn)行求解.而通過數(shù)形結(jié)合的方式，能夠?qū)⒑瘮?shù)清楚地轉(zhuǎn)化為圖像，根據(jù)圖像中x與y軸的范圍，便能夠清楚地得到結(jié)果.通過這種方式，能夠有效幫助學(xué)生厘清解題思路，降低學(xué)生解題的難度，增加學(xué)生的解題信心.

2.在函數(shù)單調(diào)性類問題中的應(yīng)用

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最為重要的內(nèi)容之一.在高中數(shù)學(xué)中也有著大量關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的題目.而在解決這些問題時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)了解函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，隨后采用數(shù)形結(jié)合的方法.

根據(jù)題目中的函數(shù)畫出草圖，根據(jù)圖像可以看出，該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0]，[1，+∞），其單調(diào)遞減區(qū)間為[0，1].

【點(diǎn)評(píng)】通過數(shù)形結(jié)合的方式，能夠直觀看出函數(shù)值的變量關(guān)系，使抽象的問題變得具體，使學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由局部轉(zhuǎn)化為整體，由感性轉(zhuǎn)化為理性，能夠幫助學(xué)生快速解題.

3.在比較數(shù)值大小類問題中的應(yīng)用

【例3】 已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足以下三種條件：①對(duì)任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）；②對(duì)任意的0≤x1

解：由①得T=4；由②知f（x）在[0，2]上是增函數(shù)；由③知f（-x-2）=f（x+2），所以f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱.因此，在畫出與函數(shù)相關(guān)的示意圖后，便能夠直接通過圖像看出其中數(shù)值的大小關(guān)系.

【點(diǎn)評(píng)】通過數(shù)形結(jié)合的方式，能夠?qū)?shù)值的大小通過函數(shù)的形式，清晰地展現(xiàn)在圖像中，使數(shù)值的大小能夠更直觀地展現(xiàn)，能提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確度.

4.在三角函數(shù)類問題中的應(yīng)用

三角函數(shù)的一些題目，通過合理利用數(shù)形結(jié)合也能夠有效解決.

【例4】 函數(shù)f（x）=sinx+2sinx，x∈[0，2π]的圖像與直線y=k的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖像中的交點(diǎn)，確定k的取值范圍.

分析：通過對(duì)于題中函數(shù)的了解，在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖像，再通過觀察圖像，便能夠很清楚地看出k的取值范圍.

【點(diǎn)評(píng)】通過數(shù)形結(jié)合，不但能夠直觀地發(fā)現(xiàn)解題途徑，同時(shí)還能夠避免復(fù)雜的計(jì)算與推理.

5.在解析幾何問題中的應(yīng)用

【例5】 求y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2的最大值與最小值.

分析：這道題目主要內(nèi)容便是需要將函數(shù)轉(zhuǎn)為圖像中的兩個(gè)點(diǎn)，即P（cosθ，sinθ）與Q（cosα-3，sinα+2）兩點(diǎn)之間最大距離與最小距離的問題.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答與距離有關(guān)的問題時(shí)，通過將公式轉(zhuǎn)變?yōu)閳D像能夠讓學(xué)生清晰地看出圖像中所表示的距離長度.

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，其不但在數(shù)學(xué)的解題中有著強(qiáng)大的功能，同時(shí)也在數(shù)學(xué)的教學(xué)中發(fā)揮了巨大的作用.在數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)中，通過數(shù)形結(jié)合的方式，能夠使“形”的直觀與“數(shù)”的精確相輔相成，從而優(yōu)化解題方法，化解知識(shí)難點(diǎn)，讓學(xué)生更加容易接受與理解.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）