淺談數(shù)學在經濟領域中的運用

文| 伍怡穎

（作者單位：廣東財經大學 統(tǒng)計與數(shù)學學院）

數(shù)學發(fā)展史是一門交叉性的學科，涵蓋的內容除了數(shù)學本身外，還涉及到了物理學、哲學、文學、宗教等內容。20世紀80年代的一批美國學者將數(shù)學定義為：數(shù)學這個領域已被稱為模式的科學，其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學本身的抽象世界中所觀察到的結構和對稱性。數(shù)學的發(fā)展經歷了四個階段，第一階段是萌芽階段，第二階段是形成階段，第三階段是近代數(shù)學階段，第四階段是現(xiàn)代數(shù)學階段?？v觀數(shù)學的發(fā)展史，數(shù)學從產生到曲折成長再到今日在各個行業(yè)與領域大放異彩，數(shù)學在科學界中始終占有一席重要之地，在一定程度上推動著社會的發(fā)展。從19世紀30年代，數(shù)學的思想開始滲透到經濟領域中，經濟學家在經濟研究中開始大量使用數(shù)學方法，其中的代表人物是法國的古諾，19世紀70年代，出現(xiàn)了經濟學數(shù)學化的趨勢。當今世界許多國家都認可數(shù)學對經濟增長有關鍵作用，作為國家經濟競爭力在學術范圍的有力支持，當代經濟學的數(shù)學化已是一個普遍趨勢。經濟學的數(shù)學化的現(xiàn)象也符合馬克思的一句名言：“一門學科只有在成功地運用數(shù)學時，才算達到了真正完善的地步”。

數(shù)學在經濟研究中發(fā)揮著基礎性工具的作用，我們可以將經濟學中的某些問題用數(shù)學語言去描述,使得推理邏輯嚴密起來。早期數(shù)學、近代數(shù)學、現(xiàn)代數(shù)學對經濟的發(fā)展與推動都有著重要作用。早期數(shù)學作為論證經濟學理論的重要工具，在一定程度上保證了經濟理論不出現(xiàn)邏輯性錯誤。近代數(shù)學與經濟發(fā)展有了更進一步的結合，如在構建農業(yè)經濟理論框架、設計大型企業(yè)、開發(fā)能源與保護環(huán)境、創(chuàng)新科技技術等方面，數(shù)學都有不可磨滅的功勞。在大數(shù)據(jù)時代，經濟發(fā)展更是與數(shù)學息息相關，越來越多數(shù)學技術興起，如數(shù)據(jù)挖掘，數(shù)據(jù)分析，量化投資等，經濟學研究不再定性地局限于對經濟現(xiàn)象的描述上，而是定量分析經濟現(xiàn)象質的研究，并深刻闡述社會經濟現(xiàn)象的內在規(guī)律和運行狀態(tài)。

數(shù)學作為經濟研究中的重要工具并在經濟領域取得了巨大的成功，這顯然是數(shù)學的極大生命力并顯示了數(shù)學在經濟研究中的可行之處。用數(shù)學方法解決經濟領域中的問題，要利用數(shù)學邏輯的嚴謹性與數(shù)學符號的簡明性為解決經濟問題解釋經濟現(xiàn)象做好鋪墊。以下討論數(shù)學在經濟領域的一些應用。

經濟分析中導數(shù)的作用。經濟學中很多問題都與數(shù)學中的導數(shù)有著息息相關的聯(lián)系，邊際觀念建立之后，導數(shù)成功進入了金融經濟方面的學說之中，推動經濟學的發(fā)展歷程。邊際成本函數(shù)，邊際收益函數(shù)，邊際需求函數(shù)等都是與導數(shù)有關的經濟方面的函數(shù)。此外，根據(jù)函數(shù)極值解決經濟中最優(yōu)化選擇也是經濟分析中常見的問題。例如，某企業(yè)生產某商品的成本C與產量x（kg）的函數(shù)關系式為：C（x）=500+2x，商品單價p與產量x的函數(shù)關系式為：p（x）=242-（1/5）x^2，求使利潤最大時的產量x。收入總價P=px=[242-（1/5）x^2]x=242x-(1/5)x^3,利潤L=P-C=-(1/5)x^3+244x+500,對利潤求導得L’=-(3/5)x^2+244,令L’=0，計算得x=20.17，即當該商品產量為20.17kg時，企業(yè)可獲得的利潤最大。

常微分方程在經濟研究中的運用。常微分方程在經濟領域有著廣泛的應用，涉及的經濟問題有價格均衡模型，新產品的推廣模型，價格與庫存模型，成本問題等。以下簡要分析常微分方程在成本問題中的應用。已知某產品的生產總成本C由可變成本與固定成本構成，假設可變成本y是關于產量x的函數(shù)，且y關于x的變化率等于產量與可變成本之間的平方和（x^2+y^2）除以產量與可變成本之積的2倍（2xy），固定成本為1，當x＝1時，y＝3，求總成本函數(shù)。總成本函數(shù)C（x）＝1+y（x），由題意有dy/dx＝（x^2+y^2）/2xy，令u＝y(tǒng)/x，有dy/dx=u+xdu/dx，用變量分離法解得[2u/（1－u^2）]du=1/xdx，兩邊同時積分得，lnc=lnx+ln（1－u^2），整理得，x（1－u^2）=c，得通解，y=（x^2－cx）^1/2（y≥0），由x=1時y=3，得c=-8，即y=(x^2+8x)^1/2，故總成本函數(shù)C(x)=1+(x^2+8x)^1/2。

運用數(shù)學方法解決經濟問題這一思想在經濟領域中是非?；A和廣泛的，我們要掌握好高等數(shù)學的知識并能熟悉運用，把數(shù)學和現(xiàn)實生活結合起來應用到經濟問題的研究中，使經濟學從定性化走向定量化和精準化。