數(shù)學化活動：培育學生的“準代數(shù)素養(yǎng)”

謝紅

摘 要：“準代數(shù)素養(yǎng)”是學生數(shù)學素養(yǎng)的重要確證與表征。在數(shù)學教學中，教師可以引領學生展開數(shù)學化活動，激發(fā)學生的關系思維，引發(fā)學生的符號思考，積淀學生的代數(shù)思想，從而精準把握算術思維、準變量思維與代數(shù)思維之間的動態(tài)關聯(lián)。

關鍵詞：數(shù)學教學；數(shù)學活動；準代數(shù)素養(yǎng)

眾所周知，小學階段的數(shù)學學習主要是“算術”，初中階段的數(shù)學學習主要是“代數(shù)”?！八阈g”側重于對“數(shù)”和“數(shù)量”的理解，而代數(shù)則側重于對“符號”和“關系”的理解。從這個層面上說，“算術”主要依賴于程序思維，著重利用數(shù)、數(shù)量計算求出答案；而“代數(shù)”主要依賴于關系思維，著重于發(fā)現(xiàn)關系和結構。因此，“算術”和“代數(shù)”天然地存在著鴻溝。如何引導學生實現(xiàn)從“算術思維”到“代數(shù)思維”的過渡，幫助學生做好知識和思維的準備？筆者認為，可以借助數(shù)學活動，培育學生的“準代數(shù)素養(yǎng)”。

一、數(shù)學化活動，激發(fā)學生的“關系思維”

從對“數(shù)”“數(shù)量”本身的思考過渡到對“數(shù)與數(shù)”“數(shù)量與數(shù)量”之間關系的思考，是學生“準代數(shù)素養(yǎng)”生成的重要標識。數(shù)學活動能夠讓學生實現(xiàn)從對“數(shù)”“數(shù)量”的關注到對“數(shù)與數(shù)”“數(shù)量與數(shù)量”之間的結構轉化。脫離了學生的數(shù)學活動，學生的關系思維就容易蛻變成一種機械模仿，學生遇到復雜的數(shù)量關系就會手忙腳亂甚至手足無措。通過數(shù)學活動，學生能夠積淀經(jīng)驗，形成對“關系”的深度思考。

例如對于這樣一道文字題——“比一個數(shù)的3倍少3是156，這個數(shù)是多少？”不少學生依據(jù)固有的解題經(jīng)驗，運用“算術方法”，看到了“少”字就毫不猶豫地用上了“減法”，列式為“（156-3）÷3=51”，結果發(fā)生錯誤。顯然，學生沒有展開數(shù)學化活動，而是基于自己對算式的感性直覺，結果發(fā)生了錯誤。如何讓學生體驗到算術思維和代數(shù)思維的差異？筆者在教學中引導學生展開數(shù)學化活動。從算術角度來說，要求學生畫出線段圖，在畫的過程中，理解“1份數(shù)、3份數(shù)和156”。指導學生先畫出線段表示“1份數(shù)”，再畫出線段表示“3份數(shù)”，然后畫出線段表示“156”。只有通過畫線段圖的實踐活動，學生才能夠理解它們之間的復雜關系。從代數(shù)角度說，要求學生擺正已知數(shù)和未知數(shù)之間的關系，讓未知數(shù)量和已知數(shù)量具有平等的地位，重點是讓學生建立數(shù)量之間的相等關系，然后列方程求解。通過數(shù)學化活動，學生對于算術和方程之間的差異形成明晰的認知，比如算術解法講究因果關系、邏輯推理、逆推求解；而代數(shù)解法從關系、結構入手，步驟較多，過程冗長，順向求解。通過數(shù)學化活動，學生鍛煉了關系思維，形成了代數(shù)求解經(jīng)驗，發(fā)展了“準代數(shù)素養(yǎng)”！

在數(shù)學教學中，教師要豐富學生的符號表象，孕育學生的符號意識，催生學生的符號想象，啟迪學生的符號思維。通過數(shù)學化活動，逐步引導學生從“算術思維”向“代數(shù)思維”過渡。小學的數(shù)學化活動，要立足于既能讓學生用“算術的眼光”思考問題、用“算術的方法”解決問題，又能讓學生用“代數(shù)的眼光”看待關系、用“代數(shù)的思想”處理數(shù)量。學生便能逐步建立關于條件和問題的基本數(shù)量關系和結構，從中學生能夠體會到代數(shù)思想解決問題的必要性、重要性。

二、數(shù)學化活動，引發(fā)學生的“符號思考”

學生形成“準代數(shù)素養(yǎng)”，不僅僅表征在對關系的理解和建立上，更表征在能用符號展開數(shù)學思考?！胺査伎肌蹦芰Σ煌凇胺柛小保胺柛小笔请鼥V的、感性化的，而“符號思維”則是清晰的、理性化的。在小學階段，學生的符號思維主要體現(xiàn)在兩個方面：一是“理解并會運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律”；二是“用符號進行運算和推理”。教學中，教師要通過數(shù)學化活動讓學生感受、體驗、領悟到符號的特質，即符號具有簡約性、抽象性、統(tǒng)一性。

例如，教學蘇教版五年級下冊《簡易方程》，學生遇到這樣的問題：地球表面積為5.1億平方千米，海洋面積為陸地面積的2.4倍，海洋和陸地面積分別是多少？在“自主性探學”“合作性研學”過程中，有小組出現(xiàn)了這樣幾種解決問題的方法：一是算術解法，即將陸地面積作為1份數(shù)，海洋面積就是2.4份數(shù)，地球表面積就是3.4份數(shù)，然后學生根據(jù)對應份數(shù)求解；第二是方程解法，有學生設海洋面積為x，陸地面積就是x÷2.4，但列出方程后無法求解；第三也是方程解法，設陸地面積為x，海洋面積就是2.4x，學生列方程后順利求解。教學中，教師要引導學生比較兩種未知數(shù)的設法，啟發(fā)學生的符號思維：為什么有些方程會解，有些方程不會解呢？用字母設未知數(shù)列方程有怎樣的注意事項呢？正是在數(shù)學化的活動中，學生對用符號列方程進行分析、提煉，建立起列方程解決問題的一般數(shù)學模型，由此提升學生的代數(shù)思想、代數(shù)素養(yǎng)。

又如教學《用計算器計算》（蘇教版小學數(shù)學四年級下冊）時，學生遇到了這樣的一道習題：小明的計算器上的一個數(shù)字鍵5壞了，你還能用小明的計算器解決下面的這些計算題嗎？學生在學習中展開了豐富多彩的探究，最后學生抽象概括，深化了理性認識。于是，有學生用圖形概括，如“☆-△”=（☆+○）-（△+○）或“☆-△=（☆-○）-（△-○），也有學生用符號進行概括，如“a-b=（a+c）-（b+c）”或“a-b=（a-c）-（b-c）”。符號化的表達，培養(yǎng)了學生初步的關系思維、結構意識。

“代數(shù)”不同于“算術”的一個顯性特征就是符號。學生從算術思維過渡到代數(shù)思維，其中最為顯性的表征就是學生符號意識的生成、符號思維的發(fā)展。教學中，教師應找準數(shù)學符號的生發(fā)點、生長點和生成點，激發(fā)、催生學生的符號意識、符號思維，鼓勵學生運用符號、解釋符號、創(chuàng)造符號，并且引導學生加強符號之間的相互轉換。

三、數(shù)學化活動，積淀學生的“代數(shù)思想”

法國著名思想家、數(shù)學家笛卡爾曾經(jīng)這樣說，“任何問題都可以轉化為數(shù)學問題，任何數(shù)學問題都可以轉化為代數(shù)問題，任何代數(shù)問題都可以轉化為方程問題”?？梢姡匠?、代數(shù)不僅僅是數(shù)學問題解決的方法、策略，更是數(shù)學的思想、觀念。有了代數(shù)思想，學生就能將復雜的問題簡約化，就能將感性的思考理性化，就能將具體的形象抽象化等。

在數(shù)學教學中，教師要引領學生經(jīng)歷數(shù)學知識符號化的過程。例如，四年級有這樣一道探索規(guī)律的習題：用火柴棒擺一個三角形需要3根，擺兩個三角形需要5根……擺10個三角形需要多少根？99根火柴棒能夠擺成幾個三角形？教學中，教師引導學生“以小見大”找規(guī)律，從簡單的情形開始探索。1個三角形是3根火柴棒；2個三角形是5根火柴棒；3個三角形是7根火柴棒；……有學生發(fā)現(xiàn)，每增加一個三角形，就增加了2根火柴棒，10個三角形就比1個三角形多2×9等于18根火柴棒，一共是21根火柴棒；有學生發(fā)現(xiàn)，火柴棒的根數(shù)是三角形個數(shù)的2倍多1根；……在學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎上，教師要引導學生運用字母表示規(guī)律，幫助學生建構模型：S=2n+1。有了這樣的模型，學生就能快捷地解決問題，如擺100個三角形需要201根火柴棒，99根火柴棒能夠擺成49個三角形。不僅如此，學生在經(jīng)歷了符號化的規(guī)律探尋后還能夠展開類比推理，比如擺1個正方形需要4根火柴棒，擺2個正方形需要7根火柴棒，……擺n個正方形需要3n+1根火柴棒?？梢?，學生的數(shù)學符號意識不是通過傳授培養(yǎng)的，而是學生在能動地“悟”與“用”的過程中逐步形成的。同樣的問題，不同的學生，其分析就會不同，其概括也會不同，但都是學生真實思考過程的展現(xiàn)，都可以看成是學生“代數(shù)思維的萌芽”。

又如，教學《用字母表示數(shù)》（蘇教版小學數(shù)學五年級上冊），學生用小棒擺三角形，從1個三角形需要3根小棒，2個三角形需要2×3根小棒，3個三角形需要3×3根小棒……怎樣用一道算式表示三角形的個數(shù)與小棒根數(shù)之間的關系呢？通過數(shù)學化的擺三角形活動激發(fā)學生創(chuàng)造符號的心理需求。學生自主創(chuàng)造符號表示三角形個數(shù)與小棒根數(shù)的關系。在學習中，學生理解了符號不僅可以表示確定的數(shù)量，也可以表示變化的數(shù)量；不僅可以表示未知的數(shù)量，而且可以表示已知的數(shù)量。在這個過程中，學生自然能夠感受、體驗到數(shù)學符號的力量。

學生數(shù)學“準代數(shù)素養(yǎng)”的形成是一個循序漸進、潛移默化的過程，同時，也不是一蹴而就的，而是一個系統(tǒng)的工程。教學中，教師應該引導學生展開符號化活動，讓學生運用“代數(shù)的耳朵”與“代數(shù)的眼睛”來思考算術及其問題，挖掘其中萌芽的“代數(shù)的種子”，既展現(xiàn)“算術程序或步驟”，也呈現(xiàn)“代數(shù)關系或結構”，進而精準地把握算術思維、準變量思維與代數(shù)思維之間的動態(tài)關聯(lián)。