在探究中感悟、明晰和深化
——《因數(shù)與倍數(shù)》課堂實錄與反思

劉紅專

【教學實錄】

一、交流和梳理預習獲得，提高對因數(shù)與倍數(shù)的認識

師：關于因數(shù)與倍數(shù)，你已經(jīng)知道了什么？（學生說）讓我們一起來梳理、體會剛才同學們說的這些，看看我們還能有哪些收獲？

1．擺長方形。

師：一起看大屏幕，這里是12個同樣大的正方形，用它們拼成一個長方形，可以怎么拼？（稍后）用一道乘法算式表示你的拼法？（學生說算式，教師板書算式，寫出算式后屏幕出示拼法）

2．因數(shù)和倍數(shù)概念。

（1）例題。

師：我們看這表示不同拼法的三個乘法算式，第一個，4×3=12，在數(shù)學上我們也說，4和3都是12的因數(shù)；反過來 12是4的倍數(shù)，12也是3的倍數(shù)。

（2）另兩道算式。

師：6×2＝12 這個乘法算式，誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)？

（學生說）

師：12×1＝12，這個算式呢？請你來說（指名）。

（3）自己寫乘法算式說說。

師：能再寫兩個這樣的乘法算式來說說嗎？

（學生說算式教師板書）

師：如學生剛才說出 2×4＝8，教師寫一個8×3＝24）我寫一個，誰來說？（學生說后，教師質(zhì)疑）同樣是8，怎么一會兒是倍數(shù)，一會兒又是因數(shù)了呢？（學生說）所以說因數(shù)和倍數(shù)時一定要說誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)。

（4）建模。

師：我們看看這些算式，想想我們剛才說的，你想到了什么？

生：只要是乘法算式就可以說出誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)；乘法算式中兩個乘數(shù)是積的因數(shù)，積是兩個乘數(shù)的倍數(shù)。

師：你真厲害！誰能用一個式子來代表所有的乘法算式，并說出兩個乘數(shù)與積的關系？

生：a×b=n，a和 b 是 n 的因數(shù)，n是a和b的倍數(shù)。

師：a×b=c 可以嗎？（改板書：a×b=c）a和 b 是 c的因數(shù)，c就是a和b的倍數(shù)。同學們，因數(shù)與倍數(shù)的關系與生活中師傅與徒弟的關系是一樣的，都是相互依存的。（板書：相互依存）

師：如果是一個除法算式(出示24÷3=8)，能說出誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)嗎?（學生說）告訴大家你是怎么想的？

（6）再看：（課件出示）321

師：沒有算式了，還能說出它們之間因數(shù)和倍數(shù)的關系嗎？跟我們說說你是怎么想的？

師：2個數(shù)可以，5個數(shù)呢？（課件出示：3、4、18、20、36） 選兩個數(shù)，說一說誰是誰的因數(shù)？誰是誰的倍數(shù)？

（學生說）

師：看來同學們對于因數(shù)和倍數(shù)已經(jīng)基本掌握了，不過剛才老師在聽的時候發(fā)現(xiàn)一個奧秘，你們有沒有發(fā)現(xiàn)？（好幾個數(shù)都是36的因數(shù)）誰能把5個數(shù)中哪些數(shù)是36的因數(shù)一口氣說完？

生：3、4、18、36。

師：36的因數(shù)只有這4個嗎？

生：不是，還有 1、9、6。

師：看來要找出36的一個或幾個因數(shù)并不難，難的是你有沒有能力把36的所有因數(shù)都找出來？你可以嗎？ 好，拿出作業(yè)紙，開始。

二、探索找倍數(shù)和因數(shù)的方法

1.找一個數(shù)的因數(shù)。

（1）交流。

反饋分層：把學生的作業(yè)分類并編號：不全的①，全且有序②。（一對一對寫，從小到大寫）

不全的：

師：詳細讀一讀學生的解答，然后你們給他一個評價。

（學生說）

師：這個同學找出的因數(shù)有沒有值得肯定的地方？（都是對的）只是沒有找全。少了哪些數(shù)？你覺得這個同學沒有找全的原因是什么？

學生分析原因：一個乘法算式或一個除法算式來做的話，是一個個找，還是兩個兩個找到？按一定的順序找和寫。

全且有序的：

第一種：一對一寫的。

師：你看出什么來了？

生：是一對一對找的。

第二種：從小到大寫的。

師：這個同學中間怎么空了這么大一段呢？誰知道？（幾個學生說了都沒有說對），這位同學你說說這中間怎么空這么一段？

生：一對一對找，找到后寫的時候從小到大一前一后寫成從小到大的樣子，找到最后中間就空了一段了。

師:這個同學這樣的方法好不好？好在哪兒？

生：既有序一對一對找了，又能從小到大排了。36的因數(shù)也可以用集合圖來表示。

師：用這個方法我們再來有序找找15和16的因數(shù)有哪些？

（找后反饋）

師：觀察這3個數(shù)的所有因數(shù)，有什么發(fā)現(xiàn)？

屏幕出示：一個數(shù)最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。

（2）因數(shù)特點的應用。

課件出示：①24最小的因數(shù)是幾？最大的因數(shù)呢？②一個數(shù)最大的因數(shù)是30，這個數(shù)是多少？

2.找一個數(shù)的倍數(shù)。

小結過渡：我們會有序地找一個數(shù)的因數(shù)了，那怎么有序地找一個數(shù)的倍數(shù)呢？比如3的倍數(shù)（課件出示）有哪些？會找嗎？

師：好，寫在作業(yè)紙上。

學生找了一會兒后教師問：3的倍數(shù)你找得完嗎？為什么？怎么辦？

師：請你來說找到了3的哪些倍數(shù)？

師：一般是從小到大依次寫5個后添加省略號。

師：你是怎樣找的？

出示：一個數(shù)的倍數(shù)也可以用這樣的集合圖來表示。

師：用這樣的方法再來找一找2的倍數(shù)和5的倍數(shù)吧。

找一個數(shù)倍數(shù)的特點：

師：我們來看看這3個數(shù)的倍數(shù)（手勢），你能發(fā)現(xiàn)什么？

屏幕出示：一個數(shù)最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。一個數(shù)倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

補充完整：一個數(shù)因數(shù)的個數(shù)是有限的。

考考你：（出示8）一個數(shù)最小的倍數(shù)是8，那這個數(shù)是幾？它最大的因數(shù)是幾？

三、鞏固練習

1.請你判斷。

1.2×5＝6，1.2和 5是 6 的因數(shù)。（）

12+7＝19，12是19的因數(shù)，19是7的倍數(shù)。（）

當a和b是c的因數(shù)時，c就是a和b的倍數(shù)。（）

2.游戲。

下面老師和你們來做一個無聲的數(shù)學游戲，請看規(guī)則！

規(guī)則：根據(jù)出現(xiàn)的題目要求靜靜思考，想好后拿出課桌里的卡片，聽老師的指令。

（1）我是20，我找我的因數(shù)。

師：拿出課桌里的卡片，卡片上數(shù)是20的因數(shù)的同學請拿著卡片站到老師旁邊來。

（2）我是10，我找我的倍數(shù)。

師：手中是10的倍數(shù)的同學請拿著卡片站到老師旁邊來。

拿著卡片10的同學在別的符合要求的同學都上來以后，匆匆上來，老師讓他站在最邊上，問他要不要上來，學生說要，一一看過后，發(fā)現(xiàn)有一個5，這位同學想下去，老師讓他先留下，問同學們5要不要上來，為什么？因為5是10的因數(shù)不要上來。同學們掌聲請他們上位。

我的最小倍數(shù)是8，我是？

我的最大因數(shù)是8，我是？

第一次這位拿著8的同學爽快地上來了，且只有這一位同學上來，第二次這位同學猶豫了，想上來又沒有上來，老師問這位同學該不該上來？

師：他的這兩次連續(xù)單獨到老師這里來有沒有讓你們明白到了什么？

生：一個數(shù)最小倍數(shù)是它最大的因數(shù)，都是它本身。

（3）我是1，我找我的倍數(shù)。

師：卡片上的數(shù)符合要求的同學請坐正。

師：你們?yōu)槭裁炊甲?？你們手中的?shù)都是1的倍數(shù)，反過來1是你們所有數(shù)的？（因數(shù)）

四、全課總結

師：同學們，今天這節(jié)課我們學習了因數(shù)與倍數(shù)，靜靜地回想，這節(jié)課你學到了什么？（講后出示）

特點最小　最大　個數(shù)倍數(shù)相互內(nèi)容　　方法一個數(shù)×1×2×3……　　本身　沒有　無限依存因數(shù)乘法算式除法算式　1　　本身　有限

師：其實關于因數(shù)與倍數(shù)的知識遠遠不止這些，隨著以后的學習，你們會知道得更多更多！

【課后反思】

本節(jié)課，我引導學生在預習之上展開因數(shù)與倍數(shù)知識的學習；在自主找尋一個數(shù)的因數(shù)與倍數(shù)之中提煉方法；從游戲中感悟、明晰和深化尋找一個數(shù)的因數(shù)與倍數(shù)的關鍵與一個數(shù)的因數(shù)、倍數(shù)與它本身的關系。這樣教學，學生學得愉快、滿足和踏實，課堂中生成的兩朵浪花更是彌足珍貴：

1. 如改學生 a×b=n 為 a×b＝c更好。

在構建乘法算式中因數(shù)與倍數(shù)的關系時，學生說可以用a×b=n來表示所有的乘法算式的時候，如能把學生的說法改成a×b＝c該多好，學生極強的概括能力、符號化思想，朦朧的方程意識多么可貴，學生的想法很好地表達了乘法算式中因數(shù)與倍數(shù)的關系，還很自然地透出方程的思想。

2.遲到的 10，多出的 5，猶豫的8。

這三位同學的行為反映出找尋一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)時學生會出現(xiàn)的所有常見問題，這個游戲讓同學們印象深刻，進而更好地明晰一個數(shù)的因數(shù)、倍數(shù)怎么找，要注意什么？一個數(shù)最大的因數(shù)和最小的倍數(shù)都是它本身，1是所有非0自然數(shù)的因數(shù)，這些知識的獲得更是永遠不會忘記。