移動最小二乘法在高程異常擬合中的應(yīng)用

周平紅,李志福

(1.廣東環(huán)境保護(hù)工程職業(yè)學(xué)院,廣東 佛山 528216;2.佛山市測繪地理信息研究院,廣東 佛山 528000)

0　引　言

GPS測量得到的是大地高,需要轉(zhuǎn)換成正常高,才能應(yīng)用于工程中。當(dāng)測區(qū)范圍較小或者工程精度要求不太高時,可以采用數(shù)學(xué)模型擬合高程異常,從而得到我們需要的正常高。除物理大地測量方法以外,常用的高程異常擬合方法有多項(xiàng)式曲線、曲面擬合,樣條函數(shù)擬合、多面函數(shù)擬合等方法。這些擬合方法是使用最小二乘進(jìn)行求解。移動最小二乘法是Lancaster等在研究曲面擬合時對標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘形式進(jìn)行了推廣[1]。近年來移動最小二乘法在點(diǎn)云數(shù)據(jù)處理、圖像處理等方面得到了廣泛應(yīng)用[2-3]。本文將移動最小二乘(Moving-Least)應(yīng)用到高程異常擬合中,擬合精度較常規(guī)方法有所提高。

1　移動最小二乘法

相對傳統(tǒng)的最小二乘法,移動最小二乘法(MLS)有所不同,它引入緊支概念,認(rèn)為某點(diǎn)的函數(shù)值僅跟它影響范圍內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)值有關(guān),每個函數(shù)值有一個影響域,影響域外的點(diǎn)對該函數(shù)值無影響。在影響區(qū)域內(nèi)定義了一個非常數(shù)的權(quán)函數(shù)w(x),當(dāng)該權(quán)函數(shù)為常數(shù)時,就變成傳統(tǒng)的最小二乘法。此外,MLS在擬合函數(shù)的建立上也有所不同,在一個局部子域上,擬合函數(shù)由向量a(x)和基函數(shù)p(x)構(gòu)成,而a(x)是坐標(biāo)X的函數(shù)[4],即

(1)

式中:α(x)=[a1(x)a2(x) …am(x)]T為待求系數(shù)。它是坐標(biāo)X的函數(shù)。p(x)=[p1(x)p2(x) …pm(x)]T稱為基函數(shù),它是k階完備的多項(xiàng)式,m是基函數(shù)的項(xiàng)數(shù)。曲線擬合時,p(x)可以取線性基或二次基, 線性基p(x)=[1,x]T,m=2 二次基p(x)=[1,x,x2]T,m=3

曲面擬合時,p(x)可以取線性基或二次基,線性基p(x)=[1,x,y]T,m=3 二次基p(x)=[1,x,y,x2xy,y2]T,m=6

式中:n為影響區(qū)域節(jié)點(diǎn)的數(shù)目;ζi為ζ(x)在xi處的值。w(x-xi)是節(jié)點(diǎn)xi的權(quán)函數(shù)。

為確定系數(shù),對該函數(shù)求偏導(dǎo):

(2)

α(x)=A-1(x)B(x)ζ.

(3)

B(x)=[w(x-x1)p(x1),w(x-x2)p(x2),…,w(x-xn)p(xn)].ζ=[ζ1,ζ2,…,ζn]T

2　權(quán)函數(shù)的選擇與影響半徑的確定

在MLS擬合中權(quán)函數(shù)發(fā)揮著重要作用。作為權(quán)函數(shù),它的值要求非負(fù)且由計(jì)算點(diǎn)向外呈單調(diào)遞減直至在某一范圍即影響半徑之外取零值,同時權(quán)函數(shù)應(yīng)具有一定階次的連續(xù)可導(dǎo)性從而保證形函數(shù)也能近似解連續(xù)可導(dǎo)。權(quán)函數(shù)的形式包括三次樣條函數(shù)、四次樣條函數(shù)、高斯函數(shù)等。常用的是三次樣條函數(shù)[4]。

聯(lián)系人: 周平紅 E-mail:709303555@ qq.com

(4)

應(yīng)用MLS進(jìn)行擬合,最大的難點(diǎn)是影響半徑的確定。當(dāng)點(diǎn)分布均勻時,已有學(xué)者研究出半徑確定的方法[5],但當(dāng)點(diǎn)分布不均勻時,如何取值還沒有成熟的理論。本文提出“固定點(diǎn)數(shù)法”來確定影響半徑R,即根據(jù)選取的基函數(shù)不同,確定影響區(qū)域所需要的最少點(diǎn)數(shù)N[5],則影響區(qū)域?yàn)橐源簏c(diǎn)M為圓心,包含(N+D)個點(diǎn)的圓。通過數(shù)據(jù)驗(yàn)算,綜合考慮影響區(qū)域的局部性和A(x)可逆,D

取1較合適。為避免矩陣A(x)病態(tài),點(diǎn)M的影響半徑宜取到點(diǎn)M距離由近及遠(yuǎn)的第(N+2)個點(diǎn)的距離,如圖1所示。

3　MLS在高程異常擬合中的應(yīng)用

3.1　實(shí)例1:

某帶狀工程[6],高程異常最大較差為0.557 m。點(diǎn)位分布如圖2所示,坐標(biāo)及高程異常如表1所示。

表1　某帶狀工程點(diǎn)位坐標(biāo)及高程異常 單位:m

1) 選取點(diǎn)11,28,35,40,19,7,43,44,15,32,42,26,17共13個點(diǎn),作為建模數(shù)據(jù),點(diǎn)21,23,41,38,39,33,34,13,25,39,29,30,共12個點(diǎn)作為檢核點(diǎn)。

為提高擬合精度,選取曲線擬合中的二次基作為基函數(shù),即p(x)=[1,x,x2]T,m=3,此時N=3.分別取影響區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)(不含邊界)C為4,5,6,7進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果如表2所示。

表2　不同節(jié)點(diǎn)數(shù)擬合精度比較

從表2看出,檢核點(diǎn)的精度并沒有隨著影響區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加而提高?？紤]到影響區(qū)域的局部性,線性擬合時,MLS影響區(qū)域內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)取4,半徑取待求點(diǎn)到第5個點(diǎn)的距離。

2) 為研究MLS曲線擬合的精度,將其與直線擬合、三次多項(xiàng)式擬合、樣條曲線擬合三種擬合模型[7-8]進(jìn)行比較,結(jié)果如表3所示。

從表3中看出,1) 各模型擬合效果均不是很好,均在厘米級,這主要是由于該工程已知點(diǎn)的分布較不均勻。2) 隨著建模點(diǎn)個數(shù)的增加,擬合精度有所提高,但提高到一定程度,建模點(diǎn)個數(shù)對擬合精度的影響降低。3) 因該工程為線狀工程,使

用MLS擬合時,影響域的點(diǎn)僅分布在待求點(diǎn)的兩側(cè),擬合精度一般,與其他模型比較,優(yōu)勢不是很明顯。但擬合精度相對較穩(wěn)定。

表3　各模型精度比較 單位:m

3.2　實(shí)例2

某面狀工程GNSS水準(zhǔn)點(diǎn)共40個,區(qū)域面積約300 km2,最大最小高程異常較差為1.068 m,坐標(biāo)如表4所示。

表4　某面狀工程水準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)表 單位:m

點(diǎn)號X坐標(biāo)Y坐標(biāo)高程異常點(diǎn)號X坐標(biāo)Y坐標(biāo)高程異常1425523545505991.7153425557255428101.3241525535545496351.6533525504555301971.0251625489755509571.7693625492545310191.0671725504295475151.6393725508545316401.0481825475545467671.6673825515005410171.4051925555375462891.5133925604555437131.2632025514905419691.414025495335321901.106

1) 選擇2,5,7,9,13,16,18,23,24,29,30,32,35,38,11,34共16個點(diǎn)作為建模點(diǎn),1,3,4,6,8,12,14,15,17,19,20,21,22,25,26,27,28,31,36,37,39,40共22個點(diǎn)作為檢核點(diǎn)。應(yīng)用“固定點(diǎn)數(shù)法”,采用曲面擬合的二次基作為基函數(shù)。影響半徑內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)(不含邊界)分別取7,8,9,10進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果如表5所示。

表5　不同節(jié)點(diǎn)數(shù)擬合精度比較 單位:m

表5數(shù)據(jù)顯示,高程異常的擬合精度并沒有隨著影響范圍內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加而提高,為了突出局部性,取影響范圍內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為七個較合適,則影響半徑為該點(diǎn)到第八個點(diǎn)的距離。

2) 為研究MLS曲面擬合的精度,將其與平面擬合、二次曲面擬合、多面函數(shù)擬合三種擬合模型[9-11]進(jìn)行比較。

① 分別按分布均勻、不均勻來選取其中16個點(diǎn)作為建模點(diǎn),其余的22個點(diǎn)作為檢核點(diǎn)。檢核點(diǎn)擬合較差如圖3所示。

由圖3所示:隨著建模數(shù)據(jù)均勻度的降低,各模型擬合精度均下降。相對來說,MLS擬合精度較穩(wěn)定。

② 分別按表6三種方案選取建模點(diǎn)和檢核點(diǎn)。

表6　選點(diǎn)方案

檢核點(diǎn)擬合較差如圖4,圖5,圖6所示。

從圖4、圖5、圖6中看出,當(dāng)擬合區(qū)域較大,高程異常起伏較大時,平面擬合和二次曲面擬合精度已經(jīng)不能滿足工程要求。相對來說,應(yīng)用MLS進(jìn)行高程異常擬合優(yōu)勢明顯,精度高于其他模型。

4　結(jié)束語

將移動最小二乘法應(yīng)用在高程異常擬合中具有最小二乘法不具有的優(yōu)勢。通過上述兩個實(shí)例中的線狀工程和面狀工程驗(yàn)算,顯示當(dāng)擬合區(qū)域成面狀分布,尤其是區(qū)域面積較大時,MLS優(yōu)勢更加明顯,它無需分塊擬合,但精度仍較好。MLS最重要的是權(quán)函數(shù)和影響半徑的確定,權(quán)函數(shù)建議使用三次樣條函數(shù),擬合效果較好。影響半徑可以采用“固定點(diǎn)數(shù)法”。為了使整個區(qū)域的精度均勻,選取已知點(diǎn)(建模點(diǎn))時應(yīng)盡量分布均勻,且最外圍點(diǎn)應(yīng)選取,以避免精度外推。

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