重溫高考經(jīng)典，品讀向量考題

郭新河

[摘? 要] 向量是高中數(shù)學(xué)較為特殊的內(nèi)容，具有雙重特性，近幾年的高考試題常將向量作為紐帶來(lái)串聯(lián)幾何與代數(shù)知識(shí)，用以考查學(xué)生處理綜合問(wèn)題的能力，也出現(xiàn)了一些優(yōu)秀的經(jīng)典考題.

[關(guān)鍵詞] 向量;幾何;代數(shù);思想方法;模型

經(jīng)典再現(xiàn)

向量作為高考最具代表性的內(nèi)容，常常將幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)相串聯(lián)，構(gòu)建出一類經(jīng)典的高考題——幾何與代數(shù)綜合題，其作為把關(guān)題時(shí)常出現(xiàn)在歷年的高考命題中，下面筆者探究2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)卷的一道向量考題.

分析：本題目構(gòu)思巧妙，題設(shè)簡(jiǎn)單，以平面向量為載體串聯(lián)起函數(shù)、曲線方程和幾何關(guān)系等內(nèi)容，是典型的一類點(diǎn)在曲線上的綜合問(wèn)題. 對(duì)于該問(wèn)題有多種求解思路，從向量性質(zhì)來(lái)概括可劃分為兩類：一是根據(jù)向量的幾何定義，構(gòu)建研究位置關(guān)系的幾何模型，利用幾何性質(zhì)求解;二是基于向量的代數(shù)性質(zhì)，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，構(gòu)建研究問(wèn)題的代數(shù)方程，通過(guò)解方程或解不等式的方式來(lái)求解. 兩種思路是對(duì)幾何與代數(shù)領(lǐng)域的知識(shí)運(yùn)用，充分體現(xiàn)出向量所具有的特性，該題的策略分析具有啟示價(jià)值，下面進(jìn)行解法探析.

細(xì)品解法

向量的構(gòu)建離不開平面直角坐標(biāo)系，而坐標(biāo)系內(nèi)的幾何關(guān)系計(jì)算離不開代數(shù)運(yùn)算，對(duì)上述考題可以從幾何和代數(shù)兩個(gè)方向進(jìn)行解法探究.

1. 幾何之思

2. 代數(shù)之思

本題的求解可以參考解析幾何向代數(shù)方程轉(zhuǎn)化的方式，提取題干中的關(guān)鍵條件，根據(jù)條件的定義和性質(zhì)分別轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算、列方程，然后通過(guò)解方程求解.

3. 數(shù)形之思

從解析幾何的常規(guī)求解思路來(lái)看，還可以采用更為簡(jiǎn)潔的數(shù)形結(jié)合的分析方式，即首先根據(jù)題干條件構(gòu)建幾何關(guān)系，然后結(jié)合幾何模型分析圖形的特征，最后根據(jù)幾何的特征關(guān)系建立研究幾何模型的代數(shù)方程.

4. 向量方程

上述從幾何建模、代數(shù)分析、數(shù)形結(jié)合和向量定義四個(gè)角度呈現(xiàn)了以向量為背景的解析幾何問(wèn)題，無(wú)外乎根據(jù)向量的幾何與代數(shù)的雙重特性構(gòu)建分析思路，除了幾何建模分析只需要單純地利用幾何性質(zhì)求解外，其他三種解法存在一個(gè)共性：設(shè)點(diǎn)，借助向量的橋梁作用尋求關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)的關(guān)系. 掌握向量問(wèn)題的構(gòu)建思路和理解解法共性是問(wèn)題求解的關(guān)鍵，也是該類問(wèn)題思維層面考查的重點(diǎn)，學(xué)習(xí)解題時(shí)應(yīng)多加注意.

聯(lián)想拓題

以向量為載體考查幾何與代數(shù)綜合知識(shí)成為近幾年高考的命題趨向，上述考題最為關(guān)鍵的一點(diǎn)是對(duì)于向量積為零的理解，代數(shù)上表示的僅是一種運(yùn)算，但在幾何中卻是兩線垂直的關(guān)系，合理利用可以巧妙建模.

（2018年高考全國(guó)卷Ⅲ第16題）已知點(diǎn)M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C相交于A，B兩點(diǎn). 若∠AMB=90°，則k=__________.

上述解法與常規(guī)的對(duì)于條件“∠AMB=90°”的處理不同，而是利用向量積為零的幾何性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，該種思路也是大多數(shù)解析幾何問(wèn)題向代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化的策略之一，關(guān)鍵是要深刻理解向量的幾何定義.

思考感悟

上述呈現(xiàn)了向量為背景的解析幾何問(wèn)題的求解思路，基于向量積的性質(zhì)展示了“向量轉(zhuǎn)化”到“向量利用”的拓展過(guò)程，其思維過(guò)程具有一定的學(xué)習(xí)價(jià)值，下面將結(jié)合實(shí)踐思考該類考題的解題啟示.

1. 考題突破之源——定理定義

綜合問(wèn)題的求解過(guò)程實(shí)際上就是對(duì)條件的轉(zhuǎn)化與變形過(guò)程，即根據(jù)題干條件的定理和定義對(duì)其進(jìn)行拆解、變形，使其轉(zhuǎn)化為具有某種關(guān)聯(lián)的條件鏈，進(jìn)而構(gòu)建一個(gè)完整的研究模型.如上述考題在處理向量積條件時(shí)，分別基于向量積的幾何與代數(shù)定義，轉(zhuǎn)化為兩條直線的垂直關(guān)系和關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)的方程，進(jìn)而建立了對(duì)應(yīng)的分析模型.因此對(duì)于綜合問(wèn)題的突破之源應(yīng)是對(duì)數(shù)學(xué)基本的概念、定理和定義的理解，不僅需要理解基本知識(shí)的表層含義，還需要從知識(shí)聯(lián)系性角度出發(fā)掌握該知識(shí)的轉(zhuǎn)化策略，如勾股定理，需要掌握其幾何性質(zhì)，同樣需要理解其方程意義. 以條件的定義作為考題的突破口才是對(duì)考題本質(zhì)解法的挖掘，才能真正切中考題要害，以“點(diǎn)”鋪“面”形成解題思路.

2. 考題突破之法——數(shù)學(xué)思想

思想方法是指導(dǎo)考題求解的思想指南，也是考題學(xué)習(xí)的重點(diǎn)所在，“解一題，通一類”題背后隱含的實(shí)質(zhì)就是掌握問(wèn)題求解的策略，明晰問(wèn)題研究的思想方法. 在中學(xué)階段學(xué)習(xí)思想與知識(shí)同等重要，學(xué)生解題能力的提升離不開解題思想的學(xué)習(xí). 分析上述考題，其中解法三的數(shù)形結(jié)合方法最為簡(jiǎn)單，解題時(shí)首先根據(jù)條件建立了研究問(wèn)題的幾何模型，然后根據(jù)幾何性質(zhì)建立了問(wèn)題研究的代數(shù)方程，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形向聯(lián)系，然后利用方程思想突破考題. 其中所涉及的數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、建模思想是解析幾何問(wèn)題常用的思想方法，是實(shí)現(xiàn)綜合問(wèn)題簡(jiǎn)單化和具體化的思想工具. 我們?cè)趯W(xué)習(xí)思想方法時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是具體性，即結(jié)合具體問(wèn)題來(lái)學(xué)習(xí)思想方法;二是靈活性，即解題時(shí)要靈活變通，可以多種方法融合使用，用方法為解題服務(wù).