基于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的“復(fù)變函數(shù)”課程的教學(xué)與實(shí)踐

劉 玲

（韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 韶關(guān)512005）

“復(fù)變函數(shù)”是當(dāng)前理工科數(shù)學(xué)的一門重要的基礎(chǔ)課，也是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析課程的后繼課程。整個(gè)課程體系完整、內(nèi)容嚴(yán)謹(jǐn)、系統(tǒng)性突出：它是利用自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)，將數(shù)域從實(shí)數(shù)域擴(kuò)充到復(fù)數(shù)域［1］，從而構(gòu)建了新的數(shù)的表示形式x+iy。該課程以柯西-黎曼方程為理論研究依據(jù)，柯西積分公式為主要工具，洛朗級(jí)數(shù)為留數(shù)的研究前提，共形映射與解析延拓作為應(yīng)用和推廣［2］，最終形成了獨(dú)特的理論和計(jì)算技巧。根據(jù)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的特點(diǎn)和培養(yǎng)目標(biāo)，如何讓該專業(yè)學(xué)生高效地學(xué)好這門課程,對該課程教學(xué)和實(shí)踐非常有意義。

一、“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)面臨的問題及現(xiàn)狀

復(fù)變函數(shù)相對于實(shí)變函數(shù)而言，研究的數(shù)域范圍得以擴(kuò)充，其研究的對象、使用的工具和理論依據(jù)都隨之改變。對于剛剛接觸這門課程的學(xué)生來說，該課程學(xué)習(xí)起來比較困難，且內(nèi)容枯燥。科學(xué)合理地組織教學(xué)，讓學(xué)生能夠愉快地學(xué)習(xí)并輕松掌握該課程內(nèi)容，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這些都給教師提出了嚴(yán)峻考驗(yàn)。目前在“復(fù)變函數(shù)”教學(xué)中存在以下幾個(gè)方面的問題。

（1）課程學(xué)時(shí)減少。當(dāng)前高等教育進(jìn)行改革，新的專業(yè)課程不斷涌現(xiàn)，原來的一些專業(yè)課時(shí)不斷減少。根據(jù)《韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的培養(yǎng)方案》，這門課程課時(shí)已縮減到51學(xué)時(shí)，按照教學(xué)計(jì)劃和課時(shí)量的安排，最后兩章——共形映射與解析延拓只能自學(xué)，有些內(nèi)容也只是一帶而過。盡管如此，但教學(xué)任務(wù)依舊繁重，導(dǎo)致課程安排基本都是教師的單向講解，學(xué)生思維跟不上，對所學(xué)過的知識(shí)囫圇吞棗［3］，達(dá)不到預(yù)期的教學(xué)目的。

（2）與前沿知識(shí)脫鉤嚴(yán)重。一般來說，復(fù)變函數(shù)是在學(xué)完數(shù)學(xué)分析之后再開設(shè)的，但在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生基本上忘記了數(shù)學(xué)分析中的知識(shí)，再加上有部分專插本學(xué)生，水平參差不齊，使得他們在學(xué)習(xí)中不會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的類似的定理和結(jié)論進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，單單了解知識(shí)表面，難以掌握該課程的精髓。

（3）理論與應(yīng)用結(jié)合不緊密。在講授課程時(shí)，大部分學(xué)生停留在書本的理論知識(shí)上，記住的只是解析函數(shù)、洛朗級(jí)數(shù)、留數(shù)等概念及相關(guān)定理，卻甚少延伸到本課程在其他學(xué)科方面的實(shí)際應(yīng)用。再者學(xué)生的學(xué)習(xí)比較被動(dòng)，談不上在學(xué)習(xí)過程中用數(shù)學(xué)分析的思想去重新審視中學(xué)數(shù)學(xué)，更談不上研究其內(nèi)在聯(lián)系。

因此，有效改變教學(xué)現(xiàn)狀、提高教學(xué)質(zhì)量是當(dāng)前亟待解決的問題，對該課程進(jìn)行一些相應(yīng)的改革是十分必要的。

二、“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)改革的探討

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)要求學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯思維能力，在掌握數(shù)學(xué)科學(xué)的基本理論與基本方法的基礎(chǔ)上，還要培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，并進(jìn)一步培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力［4］。

根據(jù)專業(yè)特點(diǎn)及教學(xué)現(xiàn)狀，接下來將從深化教學(xué)內(nèi)容和改進(jìn)教學(xué)方法手段兩方面對該課程進(jìn)行研究。

（一）教學(xué)內(nèi)容的深化

由于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)特點(diǎn)主要體現(xiàn)在實(shí)際應(yīng)用方面，這就需要在教學(xué)過程中對課程內(nèi)容做一些調(diào)整，并補(bǔ)充一些最新的學(xué)科動(dòng)態(tài)。

（1）補(bǔ)充完善復(fù)數(shù)這塊知識(shí)［1］。學(xué)生在剛接觸到實(shí)函數(shù)后，對復(fù)數(shù)方面的知識(shí)比較欠缺，可以選擇在講授新課前，加以適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充；另外再簡單介紹一下與本課程有著經(jīng)典淵源的“復(fù)變函數(shù)論”和其他學(xué)科知識(shí)，以達(dá)到知識(shí)的銜接性，進(jìn)一步增加學(xué)習(xí)興趣。

（2）合理安排教學(xué)內(nèi)容。由于該課程每個(gè)章節(jié)之間都有內(nèi)在聯(lián)系，是一個(gè)有機(jī)的整體，在教學(xué)中可巧妙設(shè)計(jì)章節(jié)的引入，從概念的理解，定理的掌握到具體例題的演練，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多思、多變、多解訓(xùn)練，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力［5］。例如在介紹第六章留數(shù)的時(shí)候，需要以前一章洛朗級(jí)數(shù)作為理論前提。留數(shù)的定義是級(jí)數(shù)的負(fù)一次冪系數(shù)，反之其定義又給大家提供了復(fù)積分的計(jì)算方法，同時(shí)相關(guān)定理也解決了數(shù)學(xué)分析中無法求解的幾類實(shí)積分，這不僅聯(lián)系了教材第三章柯西積分公式，而且也是數(shù)學(xué)分析課程的拓展。

對一些重點(diǎn)、難點(diǎn)及一些特別的知識(shí)可以適當(dāng)增加課時(shí)，例如復(fù)變函數(shù)的多值性、解析函數(shù)的無窮可微性、零點(diǎn)孤立性及洛朗級(jí)數(shù)等。

（3）結(jié)合實(shí)際應(yīng)用。正如楊叔子先生所言：“學(xué)習(xí)是為了實(shí)踐，沒有實(shí)踐，沒有證實(shí)，就沒有科學(xué)”［6］。復(fù)變函數(shù)不僅已經(jīng)滲入到數(shù)學(xué)的多個(gè)分支學(xué)科，且在熱力學(xué)、電學(xué)等理論物理方面也有很廣泛的應(yīng)用。例如在流體力學(xué)中，可用復(fù)變函數(shù)建立平面場的數(shù)學(xué)模型：平面流速場的速度分布可用復(fù)函數(shù)V=V(z)=Vx(x,y)+iVy(x,y)來表示，其中 Vx(x,y)和 Vy(x,y)是速度分量，V(z)稱為復(fù)速度［6］。這些實(shí)際問題，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不再感到抽象，并加強(qiáng)了課程之間的聯(lián)系。

（二）教學(xué)方法、手段的改進(jìn)

在教學(xué)過程中，及時(shí)調(diào)整方法，因材施教，并將新的教學(xué)方式融合到教學(xué)過程中，做到教學(xué)相長。

（1）調(diào)整教學(xué)方法。目前，韶關(guān)學(xué)院選用的教材是《復(fù)變函數(shù)論》（高等教育出版社，鐘玉泉編第四版），該教材具備系統(tǒng)性、整體性，針對相關(guān)章節(jié)采取靈活多樣的教學(xué)方法。例如教材的第一章就接觸到復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)的概念，這與數(shù)學(xué)分析相應(yīng)的概念非常相似。采用平行遷移法得出其導(dǎo)數(shù)概念在形式上與數(shù)學(xué)分析中一元實(shí)函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念相似，這使得學(xué)生更加容易地掌握；表面上學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)公式在字母上有不同，考慮到兩者的數(shù)域有差別，進(jìn)一步運(yùn)用探究法則可得出兩類函數(shù)相應(yīng)概念之間的本質(zhì)區(qū)別很大［7］，從而培養(yǎng)他們邏輯思維能力。

又比如在數(shù)學(xué)分析課程中，從幾何角度分析總結(jié)并歸納出定積分的定義，而在復(fù)變函數(shù)中，使用類比法可以直接從表達(dá)式入手得出復(fù)積分的定義［8］。

（2）根據(jù)學(xué)生的能力，采取因材施教。每章授課前預(yù)留一次課，采取小課堂講解基本概念及小組討論相關(guān)性質(zhì)來展開學(xué)習(xí)活動(dòng)。以函數(shù)的解析性為例，基礎(chǔ)差的同學(xué)講解概念，然后在教師的指導(dǎo)下，分組討論解析性與可微性的區(qū)別，再求解實(shí)際例題。大家輪流備課講解，使學(xué)生掌握解析的本質(zhì)，加深了解課程內(nèi)容，達(dá)到教學(xué)相長。

（3）恰當(dāng)?shù)厥褂矛F(xiàn)代化教學(xué)設(shè)備及移動(dòng)電子設(shè)備，改進(jìn)教學(xué)手段。制作精美的教學(xué)課件，使課程內(nèi)容更生動(dòng)活潑、表達(dá)更清晰，但作為數(shù)學(xué)課，在黑板上進(jìn)行足夠的演算和推理是必要的，因此也需與傳統(tǒng)黑板教學(xué)相結(jié)合［9］；建立學(xué)習(xí)交流群，使用微信等軟件進(jìn)行課外討論和視頻答疑；另外在教學(xué)過程中補(bǔ)充一些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件，如Matlab、Maple和Mathematica等［2］，可以加快數(shù)值運(yùn)算，如函數(shù)值的乘冪，可化繁為簡，而且可以運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件繪制復(fù)變函數(shù)的圖像，讓學(xué)生更加清楚直觀地理解新知識(shí)。

三、結(jié)語

隨著社會(huì)對應(yīng)用型人才的需求增加，“復(fù)變函數(shù)”作為韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)專業(yè)課，必須重視課程教學(xué)，在借助數(shù)學(xué)分析課程的前提下,掌握相應(yīng)的基本概念和定理，促使學(xué)生能夠熟練、靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題。文中主要利用教學(xué)方法和課程內(nèi)容的調(diào)整，對“復(fù)變函數(shù)”課程教學(xué)進(jìn)行探討，從而培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，提升學(xué)生對專業(yè)的認(rèn)同感，樹立學(xué)生的專業(yè)思想，使其確立適合自己的專業(yè)發(fā)展方向。

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