諧波齒輪的側(cè)隙規(guī)律研究與有限元模型仿真

楊朋朋　陳曉霞　邢靜忠　姚云鵬

1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津，3003872.天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津，300387

0　引言

諧波齒輪傳動(dòng)技術(shù)是在20世紀(jì)50年代末發(fā)展起來的一種新型機(jī)械傳動(dòng)技術(shù)。諧波齒輪具有運(yùn)動(dòng)精度高、質(zhì)量和體積小、傳動(dòng)比大、參與嚙合齒數(shù)多和傳動(dòng)效率高等獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、航空航天、光學(xué)儀器等領(lǐng)域[1]。在設(shè)計(jì)時(shí)保證齒間合理的側(cè)隙是保持諧波齒輪這些優(yōu)越性能的前提，側(cè)隙不足，就會(huì)在過載時(shí)導(dǎo)致干涉。因此如何獲得齒間合理的側(cè)隙，保證輪齒不發(fā)生干涉，是一個(gè)很重要的課題[2-4]。

伊萬諾夫[2]對(duì)齒廓干涉條件以及側(cè)隙理論計(jì)算方法進(jìn)行了研究。沈允文等[3]對(duì)諧波齒輪傳動(dòng)的嚙合干涉問題以及側(cè)隙計(jì)算問題建立了理論方法。辛洪兵等[5]建立了初始嚙合側(cè)隙計(jì)算的數(shù)學(xué)模型，研究了諧波齒輪初始嚙合側(cè)隙的變化規(guī)律。殷燕[6]進(jìn)行了零側(cè)隙漸開線諧波齒輪傳動(dòng)的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)及有限元分析，以零側(cè)隙為目標(biāo)函數(shù)，完成了嚙合參數(shù)的優(yōu)化。CHEN等[7-8]提出了雙圓弧公切線齒廓諧波齒輪的側(cè)隙計(jì)算方法，并依據(jù)齒間側(cè)隙進(jìn)行了干涉檢查。劉鄧輝等[9]考慮柔輪筒體錐度變形進(jìn)行了空間齒廓設(shè)計(jì)，并求解了空間齒廓的側(cè)隙分布。以上的研究雖有涉及側(cè)隙計(jì)算，但并未考慮柔輪齒根定位方式與柔輪中性層的位移情況對(duì)周向側(cè)隙(下文涉及周向側(cè)隙以柔輪齒頂點(diǎn)為計(jì)算點(diǎn))的影響。

關(guān)于諧波齒輪仿真模型，國(guó)內(nèi)外已有多人進(jìn)行過相關(guān)研究。董惠敏等[10]建立了諧波齒輪傳動(dòng)中柔輪在空載和負(fù)載時(shí)板殼的有限元分析模型。劉文芝等[11]以杯形柔輪為例，建立了柔輪嚙合的仿真實(shí)體模型，用三維彈性接觸有限元法計(jì)算和分析了承載柔輪齒圈和筒體的應(yīng)力大小及分布規(guī)律。OSTAPSKI等[12]提出了一種復(fù)雜形狀薄壁殼結(jié)構(gòu)的彈性變形問題的幾何非線性殼理論求解方法，并通過有限元方法進(jìn)行了計(jì)算。付軍鋒等[13]建立了柔輪的三維實(shí)體有限元分析模型，并對(duì)柔輪模型和波發(fā)生器模型在接觸條件下進(jìn)行了有限元分析。以上涉及的柔輪齒圈模型多為當(dāng)量厚度的殼單元模型。

本文在文獻(xiàn)[2-3]諧波齒輪柔輪齒根定位方式與側(cè)隙計(jì)算方法基礎(chǔ)上，建立了四滾輪波發(fā)生器作用下能夠準(zhǔn)確表達(dá)齒廓信息的平面齒圈有限元模型，并將上述理論計(jì)算側(cè)隙結(jié)果與有限元模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，分析兩者之間的偏差。通過改進(jìn)柔輪齒根定位方式和建立坐標(biāo)變換下的齒廓方程，提出基于周向位移定位的側(cè)隙計(jì)算方法與基于弧長(zhǎng)定位的側(cè)隙計(jì)算方法。同時(shí)為揭示側(cè)隙偏差的來源，獲取了有限元模型中性層的徑向位移、周向位移和法線轉(zhuǎn)角，并求解了周向位置極角來與理論公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

1　問題的引出

1.1　現(xiàn)有文獻(xiàn)側(cè)隙算法的分析

柔輪齒廓與剛輪齒廓的側(cè)隙分布情況是齒輪嚙合性能評(píng)價(jià)的重要指標(biāo)。在理論方法中，柔輪齒根的定位方式和柔輪中性層的徑向位移、周向位移，以及齒對(duì)稱軸線相對(duì)于矢徑的轉(zhuǎn)角(以下簡(jiǎn)稱法線轉(zhuǎn)角)是影響側(cè)隙結(jié)果的重要因素。目前主要有兩種側(cè)隙計(jì)算方法。

(1)文獻(xiàn)[2]計(jì)算的側(cè)隙為在波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下，初始狀態(tài)位于柔輪變形短軸處的一對(duì)柔輪齒廓與剛輪齒廓在不同時(shí)刻下的周向側(cè)隙。周向側(cè)隙jag定義為

jag=|vag|-(sag+syb)/2

(1)

式中，sag、syb分別為柔輪齒頂圓處齒厚與對(duì)應(yīng)剛輪處齒厚；vag為柔輪齒對(duì)稱線和齒頂圓交點(diǎn)與此點(diǎn)到剛輪齒對(duì)稱線交點(diǎn)的距離。

(2)文獻(xiàn)[3]計(jì)算的側(cè)隙為與柔輪變形長(zhǎng)軸不同夾角的任意嚙合位置柔輪齒頂與剛輪齒廓間的周向側(cè)隙。該算法以變形前的柔輪弧長(zhǎng)等于變形后的柔輪弧長(zhǎng)為齒根定位方式，建立了柔輪與剛輪的齒廓參數(shù)方程，最后將柔輪齒頂?shù)絼傒嘄X廓間的最短距離作為齒廓間的周向側(cè)隙。

為驗(yàn)證理論方法的有效性,本文建立準(zhǔn)確表達(dá)漸開線齒廓的平面齒圈有限元模型，對(duì)以上兩種理論側(cè)隙算法的結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1.2　有限元實(shí)體模型的建立

考慮到結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，基于以上參數(shù)建立含齒圈的1/4有限元模型，柔輪、剛輪和波發(fā)生器均選用Plane183單元。在建立柔輪的齒廓時(shí)，利用二分法求解從柔輪齒頂?shù)烬X根6個(gè)均布的齒廓參數(shù)u，基于齒廓方程得到6個(gè)不同的關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，將其連線表達(dá)為柔輪齒廓。剛輪齒廓建模過程與此相同。然后定義波發(fā)生器外表面與柔輪內(nèi)壁的接觸關(guān)系，接觸對(duì)間選用剛體-柔體的面-面接觸單元，以波發(fā)生器的上半圓為目標(biāo)面，定義Targe169目標(biāo)單元；以柔輪的內(nèi)壁為柔性接觸面，定義Conta172接觸單元。在柔輪變形長(zhǎng)軸區(qū)和短軸區(qū)施加對(duì)稱位移邊界條件，選用大變形求解選項(xiàng)。圖1為經(jīng)過后處理得到的柔輪齒圈徑向位移UX。

圖1　有限元模型徑向位移分布Fig.1　Radial displacement distribution of finite element model

在有限元模型中求解柔輪齒頂側(cè)隙，首先需獲取柔輪齒頂?shù)墓?jié)點(diǎn)坐標(biāo)，繼而尋找與該點(diǎn)極徑相等的剛輪齒廓上的節(jié)點(diǎn)；判斷柔輪和剛輪齒頂點(diǎn)是否位于嚙合區(qū)間內(nèi)，即設(shè)柔輪齒頂節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)A(xa1,ya1)，剛輪齒頂節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)B(xa2,ya2)，若判斷滿足

則齒輪頂點(diǎn)處于嚙合區(qū)間內(nèi)(圖2)，柔輪和剛輪齒頂點(diǎn)間的距離即為齒廓的側(cè)隙。

圖2　柔輪與剛輪嚙合狀態(tài)圖Fig.2　Engagement diagram of flexspline and circular spline

1.3　有限元模型結(jié)果驗(yàn)證

圖3的縱坐標(biāo)表示柔輪與剛輪齒廓間的周向側(cè)隙jt，橫坐標(biāo)表示柔輪齒圈部各嚙合齒的位置角度φ。在φ∈(-10°，30°)區(qū)間內(nèi)，文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]兩種算法結(jié)果與有限元模型計(jì)算結(jié)果差距較?。欢讦铡?30°，60°)區(qū)間內(nèi),三者計(jì)算結(jié)果差距都較大，其中文獻(xiàn)[2]結(jié)果與有限元模型計(jì)算結(jié)果偏差最大。產(chǎn)生偏差的原因分析如下。

圖3　理論計(jì)算方法與有限元模型計(jì)算方法得到的周向側(cè)隙對(duì)比Fig.3　Comparison diagram of the circumferential backlash between the theoretical algorithm and the finite element model

(1)文獻(xiàn)[2]算法計(jì)算側(cè)隙結(jié)果與有限元模型計(jì)算結(jié)果偏差相對(duì)較大，主要是定位柔輪齒根和側(cè)隙計(jì)算位置出現(xiàn)偏差。求解柔輪齒頂點(diǎn)的周向坐標(biāo)vag：

vag=v+(rag-r)θ-(rag+w)φb-vb

(2)

式中，v、w分別為柔輪齒根運(yùn)動(dòng)的周向位移和徑向位移；rag、r分別為柔輪齒頂圓半徑與分度圓半徑；θ為輪齒轉(zhuǎn)動(dòng)引起的法線轉(zhuǎn)角；φb為柔輪與剛輪相對(duì)轉(zhuǎn)過的角度；vb為變形后剛輪的周向位移(忽略不計(jì))。

柔輪齒頂圓變形后徑向坐標(biāo)：

wag=(rag+w)cosφb-r-wb

(3)

式中，wb為變形后剛輪的徑向位移(忽略不計(jì))。

式(3)求解徑向坐標(biāo)wag時(shí)，未考慮法線轉(zhuǎn)角引起的輪齒轉(zhuǎn)動(dòng)；同時(shí)式(1)中計(jì)算的并不是真正的柔輪齒頂點(diǎn)，而是柔輪齒對(duì)稱線與齒頂圓的交點(diǎn)，這些簡(jiǎn)化也會(huì)造成側(cè)隙偏差。

(2)如圖4所示，在柔輪齒和剛輪齒的橫剖面內(nèi)，設(shè)柔輪齒坐標(biāo)系Sf{of,xf,yf}原點(diǎn)位于柔輪中性層上，yf與柔輪齒對(duì)稱線重合，柔輪變形長(zhǎng)軸與yb軸重合。設(shè)中性層半徑為rm，原始曲線矢徑為ρ，軸yb與柔輪輸出端矢徑obo1的夾角為φ，與柔輪變形端矢徑obof的夾角為φ1[3]，當(dāng)波發(fā)生器從yb軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，φ值為正。

圖4　柔輪與剛輪齒廓側(cè)隙圖Fig.4　Backlash diagram of the flexspline tooth profile and the circular spline tooth profile

文獻(xiàn)[3]算法與有限元模型計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)偏差的原因是在進(jìn)行柔輪齒根的定位時(shí)，考慮到求解積分公式的復(fù)雜性，將弧長(zhǎng)公式[14]近似取

φ1=φ+v/rm

(4)

2　齒根定位方式與側(cè)隙算法的改進(jìn)

2.1　基于周向位移定位的側(cè)隙算法

針對(duì)文獻(xiàn)[2]中柔輪齒根的定位方式，將周向位移簡(jiǎn)化為切向位移，即用o3of代替o2of，利用變形端柔輪齒根轉(zhuǎn)過角度來定位(見圖5中Δowo3of)。這種方式定位雖也有近似，但是θv足夠小，此種定位方式的側(cè)隙偏差要小于文獻(xiàn)[2]計(jì)算的側(cè)隙偏差。同時(shí)利用坐標(biāo)變換方法建立柔輪與剛輪的齒廓方程，求解柔輪齒頂?shù)膫?cè)隙。利用此種定位方式的側(cè)隙計(jì)算方法稱為基于周向位移定位的側(cè)隙算法(簡(jiǎn)稱位移法)。

圖5為輪齒對(duì)稱線初始位置與柔輪變形長(zhǎng)軸相差π/2個(gè)相位的柔輪齒F與剛輪齒B嚙合示意圖。設(shè)剛輪坐標(biāo)系Sb{ob,xb,yb}固定，柔輪變形端坐標(biāo)系為Sf{of,xf,yf}，波發(fā)生器坐標(biāo)系為Sw{ow,xw,yw}。定義輸出端矢徑obo2與柔輪變形長(zhǎng)軸yw的夾角φ為自變量，與剛輪坐標(biāo)系xb的夾角為φg；定義柔輪變形端矢徑obof與柔輪變形長(zhǎng)軸yw的夾角為φ1，柔輪變形端矢徑obof與輸出端矢徑obo2的夾角為θv(定義為周向位置極角)。柔輪變形長(zhǎng)軸yw與yb軸的夾角為φw，柔輪齒廓對(duì)稱線yf與剛輪坐標(biāo)軸xb的夾角為ψ；剛輪齒頂圓和齒根圓半徑分別是rab和rfb。當(dāng)波發(fā)生器從yb軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，φ值為正。

圖5　諧波齒輪傳動(dòng)的幾何關(guān)系Fig.5　Geometrical relationship of harmonic drive

諧波齒輪運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：波發(fā)生器從初始位置轉(zhuǎn)動(dòng)到任意角φw，柔輪輸出端相對(duì)剛輪轉(zhuǎn)過角度φg，柔輪齒根產(chǎn)生徑向位移w和周向位移v時(shí)，柔輪變形端齒根由o1運(yùn)動(dòng)到of，柔輪齒對(duì)稱線相對(duì)于齒根矢徑轉(zhuǎn)過角度μ。當(dāng)φ=0°時(shí)，柔輪變形長(zhǎng)軸yw與軸yf重合，柔輪齒與剛輪齒處于完全嚙入狀態(tài)。當(dāng)φ=90°時(shí)，軸xw、柔輪齒對(duì)稱線yf與剛輪齒對(duì)稱線xb重合，柔輪齒與剛輪齒處于齒頂對(duì)齒頂?shù)耐耆撻_狀態(tài)，且有

(5)

φ1=φg-θv

(6)

ψ=θv-φg+μ

(7)

θv=arcsin[v/(w+rm)]

(8)

ρ=rm+w

(9)

(1)確定柔輪齒廓方程。先給出在坐標(biāo)系Sw{ow,xw,yw}中位于柔輪變形長(zhǎng)軸的漸開線柔輪右齒廓的參數(shù)方程[3]：

(10)

式中，ua1為漸開線柔輪齒頂參數(shù)值；θ1為柔輪齒分度圓齒厚所對(duì)中心角之半；α0為基準(zhǔn)齒形角；r1為柔輪分度圓半徑。

通過坐標(biāo)變換得到在坐標(biāo)系Sb{ob,xb,yb}下的柔輪齒廓方程：

(11)

基于上述柔輪齒廓方程得到柔輪齒頂坐標(biāo)為M1(xa1,ya1)。

(2)確定剛輪齒廓方程。給出在坐標(biāo)系Sw{ow,xw,yw}中位于柔輪變形長(zhǎng)軸的漸開線剛輪齒槽右齒廓的參數(shù)方程[3]：

(12)

式中，uM2為漸開線剛輪齒廓上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的參數(shù)值；θ2為剛輪齒分度圓齒厚所對(duì)中心角的1/2；r2為剛輪分度圓半徑。

通過坐標(biāo)變換得到坐標(biāo)系Sb{ob,xb,yb}下的剛輪齒廓方程：

(13)

φ2=π/2-π/zb

(14)

式中，φ2為齒槽對(duì)稱線位于yb軸的剛輪左齒廓旋轉(zhuǎn)到齒對(duì)稱線位于xb軸所運(yùn)動(dòng)過的角度。

基于上述剛輪齒廓方程可得到與柔輪齒頂點(diǎn)極徑相等的點(diǎn)M2(xM2,yM2)。

(3)四滾輪波發(fā)生器作用下柔輪中性層的徑向位移[2]為

(15)

C=sinβ+(π/2-β)cosβ

D=cosβ+βsinβ

式中，β為四滾輪波發(fā)生器與變形長(zhǎng)軸的夾角。

假定中線不伸長(zhǎng)，得到周向位移：

(16)

法線轉(zhuǎn)角：

(17)

(4)由圖5可見，周向側(cè)隙jt定義為點(diǎn)M1與M2之間的周向距離，即

(18)

2.2　基于弧長(zhǎng)定位的側(cè)隙算法

文獻(xiàn)[3]對(duì)基于弧度定位的側(cè)隙算法有全面計(jì)算說明，由圖4可見，基于弧Aof等于圓弧Bo1，有

(19)

法線轉(zhuǎn)角

(20)

但文獻(xiàn)[3]對(duì)以上公式進(jìn)行了近似計(jì)算(見式(4))，而本文通過數(shù)值求解方法來逼近準(zhǔn)確的φ1[14]，即將這種定位柔輪齒根的側(cè)隙算法稱為基于弧長(zhǎng)定位的側(cè)隙算法(以下簡(jiǎn)稱弧長(zhǎng)法)。

(1)柔輪齒廓方程[15]為

xa1=r1{sin[ψ-(ua1-θ1)]+ua1cosα0·

cos[ψ-(ua1-θ1+α0)]}+ρsinφ1-rmsinψ

(21)

ya1=r1{cos[ψ-(ua1-θ1)]-ua1cosα0·

sin[ψ-(ua1-θ1+α0)]}+ρcosφ1-rmcosψ

(22)

ψ=φ1+μ

(2)剛輪齒廓方程[15]為

xM2=r2{sin[φ2-(uM2-θ2)]+uM2·
cosα0cos[φ2-(uM2-θ2+α0)]}

(23)

yM2=r2{cos[φ2-(uM2-θ2)]-uM2·
cosα0sin[φ2-(uM2-θ2+α0)]}

(24)

(3)四滾輪波發(fā)生器作用下柔輪中性層的徑向位移和法線轉(zhuǎn)角由式(15)、式(17)確定。

(4)由圖4可見，周向側(cè)隙jt定義為點(diǎn)M1與點(diǎn)M2之間的周向距離，即

(25)

2.3　有限元模型結(jié)果驗(yàn)證

本文給出了兩個(gè)從不同角度計(jì)算側(cè)隙的改進(jìn)方法，下面借助有限元模型對(duì)改進(jìn)后的算法進(jìn)行驗(yàn)證。

圖6為1.2節(jié)案例參數(shù)下，四種不同的理論側(cè)隙算法與有限元模型結(jié)果得到的周向側(cè)隙比較圖。圖6顯示，位移法為改進(jìn)文獻(xiàn)[2]的側(cè)隙計(jì)算方法，位移法更加吻合有限元模型計(jì)算結(jié)果；弧長(zhǎng)法為改進(jìn)文獻(xiàn)[3]中的側(cè)隙計(jì)算方法，可以看到弧長(zhǎng)法也更加吻合有限元模型計(jì)算結(jié)果；其中弧長(zhǎng)法側(cè)隙曲線最優(yōu)。

圖6　有限元模型驗(yàn)證結(jié)果Fig.6　The validation results of finite element model

3　柔輪齒根定位方式對(duì)周向側(cè)隙的影響

3.1　理論算法與有限元模型的周向側(cè)隙比較

圖7為嚙合區(qū)間內(nèi)不同嚙合位置的周向側(cè)隙圖。圖7顯示：在φ=0°長(zhǎng)軸區(qū)附近，有限元模型計(jì)算結(jié)果與兩種理論算法計(jì)算結(jié)果一致?；￠L(zhǎng)法與有限元模型結(jié)果比較：在φ∈(-10°，0°)區(qū)間，弧長(zhǎng)法結(jié)果偏大，在φ∈(0°，12°)區(qū)間，弧長(zhǎng)法結(jié)果偏??；當(dāng)φ≥12°時(shí)，弧長(zhǎng)法結(jié)果偏大；且φ=37°時(shí)偏差最大，為0.72 μm；在φ=56°左右側(cè)隙值相等。位移法與有限元模型計(jì)算結(jié)果比較如下：在φ∈(-10°，0°)區(qū)間，位移法結(jié)果偏大；在φ∈(0°，13°)區(qū)間，弧長(zhǎng)法結(jié)果偏??；在φ∈(13°，26°)區(qū)間，位移法偏大；在φ≥26°時(shí)，位移法結(jié)果偏??；且在φ=55°左右偏差最大，為3.16 μm。

圖7　理論算法與有限元模型的周向側(cè)隙對(duì)比圖Fig.7　Comparison diagram of the circumferential backlash between the theoretical algorithm and the finite element model

3.2　柔輪中性層變形與柔輪齒根定位方式比較

文中側(cè)隙的兩種理論算法都是基于小變形假定和柔輪中性層不伸長(zhǎng)假定。但是研究顯示，不同的波發(fā)生器作用下，柔輪中性層會(huì)有不同程度的伸長(zhǎng)[16]，因此這必然會(huì)引起理論算法與有限元模型仿真結(jié)果的差異。柔輪中性層的變形和柔輪齒根定位方式是影響側(cè)隙大小的主要因素。圖8為理論算法的柔輪中性層的徑向位移、周向位移和法線轉(zhuǎn)角與有限元模型計(jì)算結(jié)果的差值s。

圖8　柔輪齒根變形位置偏差Fig.8　Deviation of deformation position of the flexspline tooth root

圖8顯示：在φ∈(0°，49°)區(qū)間，理論算法徑向位移偏??；在φ∈(49°，90°)區(qū)間，徑向位移偏大；并在φ=90°偏差達(dá)到最大。理論算法的周向位移結(jié)果偏大，在φ=59°左右偏差最大為3.1 μm。在φ∈(0°，28°)區(qū)間，理論算法的法線轉(zhuǎn)角偏大；在φ∈(28°，90°)區(qū)間，法線轉(zhuǎn)角偏小。理論算法在求解徑向位移時(shí)， 以小變形假定為前提，但本算例中的徑向位移量偏大，最終也導(dǎo)致周向位移與法線轉(zhuǎn)角出現(xiàn)偏差。

柔輪齒根周向位置極角定義為θv=φ1-φ，周向位置極角偏差s1為兩種理論算法與有限元模型計(jì)算的周向位置極角的差，它主要反映柔輪齒根定位方式的不同。圖9顯示：與有限元模型相比，弧長(zhǎng)法的周向位置極角在φ∈(0°，50°)時(shí)偏大，且在φ=37°時(shí)偏差最大，為3.28×10-5rad；在φ∈(50°，90°)時(shí)，周向位置極角偏小。位移法的周向位置極角一直偏大，在φ=59°左右偏差最大，為2.24×10-4rad。

圖9　柔輪齒根定位方式偏差Fig.9　Deviation of location methods of the flexspline tooth root

3.3　弧長(zhǎng)法周向側(cè)隙分析

弧長(zhǎng)法與有限元模型的比較如圖7與圖9所示，在φ∈(0°，12°)時(shí)，弧長(zhǎng)法側(cè)隙結(jié)果偏小，是因?yàn)橹芟蛭恢脴O角偏大，柔輪齒根定位偏右；在φ≥12°時(shí)，弧長(zhǎng)法側(cè)隙結(jié)果偏大，是因?yàn)榛￠L(zhǎng)法的周向位置極角漸漸地出現(xiàn)偏大趨勢(shì)，即柔輪齒根定位漸漸偏左，且法線轉(zhuǎn)角偏小。圖9中φ=37°周向位置極角偏差最大為3.28×10-5rad，圖7中φ=37°時(shí)，周向側(cè)隙偏差最大為0.72 μm，由于弧長(zhǎng)法計(jì)算過程未用到周向位移，故用周向位置極角來解釋周向側(cè)隙偏差。

3.4　位移法周向側(cè)隙分析

位移法與有限元模型的比較如下：在φ∈(0°，16°)時(shí)，由于周向位移偏差和法線轉(zhuǎn)角偏差都比較小，故其兩個(gè)因素都有所抵消，在這區(qū)間內(nèi)位移法側(cè)隙結(jié)果與有限元模型結(jié)果雖有偏差，但比較接近。在φ≥16°時(shí)，位移法側(cè)隙結(jié)果偏小，這是因?yàn)槔碚撚?jì)算方法的周向位移比有限元模型計(jì)算結(jié)果偏大，同時(shí)周向位置極角偏大，導(dǎo)致柔輪齒根定位偏右。圖9中，在φ=59°左右周向位置極角偏差最大為2.24×10-4rad；圖8中，在φ=59°左右周向位移偏差最大，為3.1 μm；圖7中，在φ=55°左右周向側(cè)隙偏差最大，為3.16 μm。由此可見位移法中周向位移與周向位置極角偏差可同步解釋周向側(cè)隙偏差規(guī)律。

綜上所述，側(cè)隙出現(xiàn)偏差的根本原因仍是未給出準(zhǔn)確的柔輪中性層變形位置，即未嚴(yán)格遵守小變形假定，導(dǎo)致徑向位移、周向位移和法線轉(zhuǎn)角偏差，這會(huì)對(duì)不同的柔輪齒根定位方式產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響周向側(cè)隙。雖然理論算法與有限元模型側(cè)隙存在偏差，但是在實(shí)際諧波齒輪加工生產(chǎn)過程中，以上偏差僅為5級(jí)加工精度齒廓總偏差的1/10[17]。

4　結(jié)論

(1)基于小變形假定的理論，獲取了有限元模型柔輪中性層的徑向位移、周向位移和法線轉(zhuǎn)角，并求解了周向位置極角。與理論計(jì)算結(jié)果比較發(fā)現(xiàn)，理論側(cè)隙與有限元模型計(jì)算的側(cè)隙結(jié)果的差異主要是由周向位移引起的。

(2)與有限元模型計(jì)算結(jié)果相比，在柔輪與剛輪將脫離嚙合區(qū)域，基于弧長(zhǎng)定位的側(cè)隙算法計(jì)算結(jié)果偏大，基于周向位移定位的側(cè)隙算法計(jì)算結(jié)果偏小。相對(duì)來說，基于弧長(zhǎng)定位的側(cè)隙算法定位更加準(zhǔn)確。因此選擇合理的柔輪齒根定位方式可以提高側(cè)隙計(jì)算準(zhǔn)確性。

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(編輯王艷麗)