平面四桿機構剛體導引綜合的小波特征參數(shù)法

孫建偉　王　鵬　劉文瑞　褚金奎

1.長春工業(yè)大學機電工程學院,長春,1300122.大連理工大學精密與特種加工教育部重點實驗室,大連,116023

0　引言

機構尺度綜合的本質是設計出能夠滿足預期函數(shù)要求、軌跡要求或剛體導引要求的機構，包括三個方面：函數(shù)綜合、軌跡綜合和剛體導引綜合。機構的剛體導引綜合比另兩種尺度綜合更困難，因為剛體導引綜合不僅要求其剛體轉角滿足給定的轉角函數(shù)，而且同時要求其剛體位置滿足給定的點位位置。剛體導引綜合作為四桿機構設計的一個重要的方面，在實際的工程應用中有著重要意義。國內外許多學者已經提出多種解決連桿機構剛體導引綜合問題的方法[1-6]。圖譜法是一種必要的尺度綜合方法[7],HRONES等[8]建立了包含10 000個四桿機構的圖譜。隨著計算機網(wǎng)絡技術的發(fā)展，數(shù)值圖譜法逐漸取代了效率和精度不足的傳統(tǒng)曲線圖譜法。王知行等[9]利用數(shù)值圖譜法對平面四桿機構綜合數(shù)值比較法進行了研究。PANG等[10]、MULLINEUX[11]利用數(shù)值圖譜法分別對平面和空間機構尺度綜合進行了分析。孫建偉等[12-13]基于數(shù)值圖譜法理論對RCCC機構的函數(shù)綜合和軌跡綜合進行了深入研究。

傅里葉級數(shù)法在數(shù)值圖譜中對整周期的尺度綜合較為普遍，文獻[14]首次提出將傅里葉級數(shù)理論用于平面連桿機構的綜合問題。文獻[15]利用快速傅里葉變換對平面四桿機構連桿曲線進行了綜合。文獻[16]利用傅里葉級數(shù)對平面剛體導引綜合問題進行了研究。然而，由于傅里葉級數(shù)只能保證結果在整個周期上對給定設計條件進行逼近，無法保證給定的設計區(qū)間的設計精度，而多數(shù)情況下，對某一特定區(qū)間進行設計更加符合實際需求[17-18]。小波函數(shù)在時域和頻域上都具有較好的解析能力，因此，對非整周期設計條件下的尺度綜合問題具有獨特的優(yōu)勢[19-20]。

本文基于數(shù)值圖譜法的基本思想和小波級數(shù)理論，根據(jù)文獻[21-22]研究非整周期函數(shù)、軌跡的成果，提出了基于小波級數(shù)進行平面四桿機構非整周期剛體導引輸出特征提取方法，并建立了相應的四桿機構剛體導引輸出特征參數(shù)數(shù)據(jù)庫，利用建立的數(shù)據(jù)庫、模糊識別理論和給出的理論公式，達到實現(xiàn)平面四桿機構非整周期給定設計區(qū)間的剛體導引綜合的目的。

1　連桿轉角函數(shù)與剛體轉角函數(shù)的關系

(1)

式中，θt(θt=ωt) 為運動時刻t的函數(shù),ω為角速度。

圖1　剛體導引機構示意圖Fig.1　Diagram of motion generation mechanism

當曲柄旋轉的時候，復平面上由P、Q兩點生成的連桿曲線如下：

rP(θ1)=Lβeiβ+L1ei(θ1+θ4)+LPei(θP+θ2+θ4)

(2)

rQ(θ1)=Lβeiβ+L1ei(θ1+θ4)+LQei(θQ+θ2+θ4)

(3)

連桿CD上的標線PQ可以表示為

PQ(θ1)=rQ(θ1)-rP(θ1)=
(LQei(θQ+θ4)-LPei(θP+θ4))eiθ2

(4)

式(4)即為帶有預定時標的平面四桿剛體導引生成的基本公式。由該式可以看出，四桿機構的剛體導引的位置生成函數(shù)取決于連桿轉角函數(shù)，而機構的連桿轉角又由機構的基本尺寸型決定。也就是說，帶有預定時標剛體導引機構的位置轉角函數(shù)由機構的基本尺寸型決定。矢量LQei(θQ+θ4)-LPei(θP+θ4)只影響運動剛體的點位，它由與基本尺寸型相對應的實際機構和連桿的標線位置所決定，這就確定了帶有預定時標剛體導引轉角函數(shù)與連桿轉角函數(shù)之間的關系。

由圖1可知：

(5)

由式(5)可得

γ(θ1)=θ2(θ1)+

(6)

令

則式(6)可寫為

γ(θ1)=θ2(θ1)+K

(7)

2　剛體轉角輸出的小波分析

根據(jù)文獻[21]可知，在小波分析過程中有尺度函數(shù)φ和小波函數(shù)ψ，分別表示如下：

(8)

(9)

已知任意連續(xù)函數(shù)都可以由φ(2jθt)函數(shù)表示，四桿機構輸出的小波分析可以描述為[23]

(10)

式中，j為小波分解級數(shù)；y(0)為小波平均數(shù)；w(n,l)為第n級第l個小波細節(jié)數(shù)。

小波平均數(shù)和全部細節(jié)數(shù)構成了小波系數(shù)，根據(jù)以上分析可知，連桿轉角函數(shù)θ2經過小波變換可表示為

(11)

θ2(2j))φ(θt/θ)

(12)

2j-n)+…+θ2(2j-nl-1)]/2j-n}ψ(2nθ0/θ-l+1)

(13)

式中，θ2(1),θ2(2),θ2(3),…,θ2(2j)為連桿轉角函數(shù)采樣點，θ為設計區(qū)間。

類似地，剛體轉角輸出函數(shù)γ由小波變換可表述為

(14)

(15)

2j-n)+…+γ(2j-nl-1)]/2j-n}ψ(2nθt/θ-l+1)

(16)

式中，γ(1),γ(2),γ(3), …,γ(2j)為剛體轉角采樣點。

由式(7)可知：

γ(m)=θ2(m)+K

(17)

m=1,2,…,2j-nl-1

將式(17)代入式(15)和式(16)中有

(18)

(19)

根據(jù)式(18)、式(19)可知，機構相同基本尺寸型的剛體轉角和連桿轉角的小波細節(jié)數(shù)相等，其小波平均數(shù)相差參數(shù)K(K是由LP、LQ、θP、θQ、θ4決定的)，因此剛體轉角輸出的特征可以由式(19)連桿轉角的小波細節(jié)數(shù)決定。而對于四桿機構，連桿轉角由四桿機構的四根桿長L1、L2、L3、L4決定，所以定義L1、L2、L3、L4為機構的基本尺寸型。

圖2　掃描圖Fig.2　Scanning steps

3　平面四桿剛體導引綜合方法

3.1　建立基本尺寸型數(shù)據(jù)庫及模糊識別

(20)

表1　數(shù)據(jù)庫中的10組基本尺寸型Tab.1　10 sets of the MBDT in the database

表2　剛體轉角和相應的連桿轉角的小波系數(shù)Tab.2　The wavelet coefficients of the RBRA and the corresponding CRRA

3.2　計算實際尺寸及安裝位置參數(shù)

(21)

(22)

式(22)由實部和虛部構成，并且LP、θP、θ4可以寫成：

(23)

(24)

由基本尺寸型所生成的剛體位置的小波平均數(shù)如下：

(25)

類似地，由目標機構所生成的剛體位置的小波平均數(shù)如下：

(26)

((E0(θ2)+E1(θ2)+…+E2j-1(θ2))2-jφ(θt/θ)=

代入式(26)中，有

(27)

(28)

(29)

將θ4代入式(24)可求出θP，將L1、θ4、LP、θP代入式(2)中得

rP(θ1)-L1ei(θ1+θ4)-LPei(θP+θ2+θ4)=Lβeiβ

(30)

通過選定圖1中剛體預定位置的P點作為參考點，將這個點和相應的θ1和θ2的值代入式(30)中，目標機構的機架位置可由下式求出：

Lβ={[Re(rP(θ1)-L1ei(θ1+θ4)-LPei(θP+θ2+θ4))]2+

(31)

β=arctan((Im(rP(θ1)-L1ei(θ1+θ4)-LPei(θP+θ2+θ4)))2/
(Re(rP(θ1)-L1ei(θ1+θ4)-LPei(θP+θ2+θ4)))2)

(32)

3.3　平面四桿剛體導引綜合步驟

當機構基本尺寸型的轉角滿足剛體轉角的設計要求時，機構位置可以通過分析文獻[22]中小波特征參數(shù)來得到。因此，平面四桿機構剛體導引的綜合可以由以下步驟實現(xiàn)(圖3)。

圖3　平面四桿剛體導引綜合流程圖Fig.3　Flow chart of planar four-bar motion generation synthesis

(1)根據(jù)所要求的剛體轉角和由機構基本尺寸型所決定的連桿轉角的小波系數(shù)之間的關系，建立一個關于轉角輸出特征參數(shù)的數(shù)值圖譜數(shù)據(jù)庫。

(2)通過對給定剛體轉角進行采樣，并對其進行Haar小波變換，得到轉角小波系數(shù)。

(3)在數(shù)值圖譜庫里對步驟(2)中得到的轉角特征參數(shù)和相應小波參數(shù)進行識別。利用模糊識別的方法，從中得到滿足要求的若干組機構基本尺寸型。

(4)將位置問題轉換成剛體軌跡綜合問題，將步驟(3)中識別出的基本尺寸型與給定的帶有預定時標的曲線進行軌跡綜合。

(5)利用式(21)～式(32)，機構的實際尺寸和安裝位置可以全部得出。

4　綜合算例

4.1　理論算例

為驗證上述方法理論及公式推導的正確性，本文首先建立了包含101 408組平面四桿機構的基本尺寸型數(shù)據(jù)庫，在數(shù)據(jù)庫中任選一組基本尺寸型為目標機構。本文選取基本尺寸型數(shù)據(jù)庫中第66 077組基本尺寸型：L1=30 mm,L2=100 mm,L3=114 mm,L4=156 mm,安裝位置為LP=10 mm,LQ=25 mm,θP=π/4,θQ=π/9,Lβ=10 mm,β=π/4,θ4=π/6，輸入角θ1∈[30°, 120°]。選取小波分解級數(shù)j=4。利用3.3節(jié)的步驟即可進行帶有預定時標四桿機構剛體導引的尺度綜合。表3所示為通過模糊識別確定的10組機構基本尺寸型。

表4所示為綜合出的機構實際尺寸和安裝位置等參數(shù)。圖4所示為綜合出的機構剛體導引標線與給定剛體導引標線的擬合比較(給出了2組機構剛體導引標線的擬合圖)，其中實線代表給定的剛體導引標線，虛線代表綜合所得機構生成的剛體導引標線。從圖4中可以看出，第2組為相近的基本尺寸型生成的剛體標線與原標線的擬合，效果相當理想，而第5組識別出的為目標機構的基本尺寸型生成的標線，并與原標線完全重合，即驗證了理論公式的正確性和本文方法的有效性。

表3　綜合結果Tab.3　Synthesized results

表4　機構實際尺寸和安裝位置參數(shù)Tab.4　Parameters of the actual size and installing positions

4.2　實際算例

為生產裝配線設計一個輸送工件的鉸鏈四桿機構，如圖5所示，標線1-1為要求輸送工件的起始位置，標線2-2為輸送工件的完成位置。軌跡1-2為P點所經歷的預定位置。要求被輸送的工件的轉角和位置滿足：

γ=0.9θ1-261°px=29cosθ1py=48sinθ1

θ1∈[290°,320°]

式中，θ1為曲柄轉角；γ為剛體轉角，是關于輸入角的函數(shù)；px為P點橫坐標；py為P點縱坐標。

(a)第2組

(b)第5組

圖5　設計示意圖Fig.5　Design schematic

圖4　機構生成的標線與給定剛體標線的擬合Fig.4　Fitting of the prescribed guidance-line and generated guidance-line

根據(jù)前面給出的步驟進行設計。

(1)建立了含有101 408組基本尺寸型的剛體轉角的數(shù)值圖譜數(shù)據(jù)庫。

(2)計算剛體轉角函數(shù)的前8個小波系數(shù)，列于表5中。

(3)經過模糊識別選取的10組機構基本尺寸型和相應的相似度δ列于表6。

表5　平面四桿機構剛體轉角的小波系數(shù)Tab.5　Wavelet coefficients of RBRA function of planar four-bar mechanism

(4)在剛體導引標線上選取P點位置的前8個小波系數(shù)列于表7中。

(5)通過理論計算公式確定的機構實際尺寸、標線位置(P點位置)、曲柄起始位置和機構安裝尺寸參數(shù)列于表8。所要求的剛體轉角和剛體位置以及機構基本尺寸型生成的剛體轉角和剛體位置擬合的程度如圖6所示，所產生的轉角誤差和位置誤差如圖7和圖8所示。由圖6可以看出，逼近程度相當理想，即用本方法確定的機構可以較好地實現(xiàn)帶有預定時標剛體導引的尺度綜合，并可以給出多個機構的設計方案。

表6識別出的基本尺寸型和相應的相似度
Tab.6IdentifiedMBDTandthecorrespondingsimilarities

序號L′1L′2L′3L′4δ(10-5)182871151160．6584281861161170．6720350531481490．6386451541471480．6234586911111120．6662685901121130．6557784891131140．6507883881141150．6515952551461470．62621053561451460．6453

表7　預定位置的小波系數(shù)Tab.7　Wavelet coefficients of the prescribed position

表8　綜合機構實際尺寸及安裝位置參數(shù)Tab.8　Actual sizes and installation positions of the synthesized mechanism

5　結論

(1)本文建立了平面四桿機構剛體導引的數(shù)學模型，通過對剛體轉角輸出和其對應連桿轉角輸出小波變換的分析，發(fā)現(xiàn)了小波系數(shù)之間的關系。根據(jù)這一關系建立了包含101 408組基本尺寸型的平面四桿機構剛體導引輸出特征參數(shù)數(shù)據(jù)庫。

(2)利用模糊識別理論識別出與給定的剛體轉角相對應的連桿轉角的基本尺寸型，將剛體位置轉化為軌跡綜合問題，給出了計算機構實際尺寸及實際安裝位置的理論公式，從而實現(xiàn)了平面四桿機構的非整周期剛體導引綜合問題的求解。

(a)第3組擬合

(b)第4組擬合圖6　剛體轉角和剛體位置擬合圖Fig.6　Fitting graphs of motion rotation angle and motion position

(a)第3組轉角誤差

(b)第4組轉角誤差圖7　轉角誤差Fig.7　Rotation angle errors

(a)第3組位置誤差

(b)第4組位置誤差圖8　位置誤差Fig.8　Position errors

(3)本文提出的方法在解析幾何算法的精度和圖譜法的計算方面上有優(yōu)勢，而且避免了非線性方程的求解以及克服了傅里葉級數(shù)不能很好地描述非整周期機構剛體導引的缺點；同時，可以根據(jù)剛體導引生成要求給出多組可供設計者選擇的綜合結果。

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(編輯王旻玥)