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    基于APOS理論的初中數(shù)學法則課教學實踐與思考

    2018-04-02 11:19:26廣州市第七中學實驗學校李林華
    師道(教研) 2018年4期
    關鍵詞:文錢分母圖式

    文/廣州市第七中學實驗學校 李林華

    APOS理論是一種建構(gòu)主義的數(shù)學學習理論,是由美國數(shù)學教育學家杜賓斯基 (Dubinsky)等人提出的。APOS分別是由英文 “Action(操作)” “Process(過程)“Object(對象)” “Scheme (圖式)”的第一個字母組合而成。APOS理論認為:在數(shù)學學習中,如果引導個體通過具體的操作行為到思維的操作,再到過程和對象階段后,個體一般就能在建構(gòu)、反思的基礎上把它們組合成圖式,從而理清問題情境,順利解決問題。通過查閱有關文獻我們發(fā)現(xiàn),國內(nèi)外研究者主要關注APOS理論在數(shù)學概念教學中的應用,并取得了一定的成果,而關注APOS理論在數(shù)學法則教學中的應用研究卻很少。因此,筆者嘗試將APOS理論運用到初中數(shù)學法則的教學中,并以新人教版七年級上冊第三章3.3《解一元一次方程——去分母》教學為例,闡述教學實踐與教學思考。

    一、教學過程

    (一)操作階段——創(chuàng)設情境,引入法則

    “操作”泛指數(shù)學活動,如動手操作、猜想、回憶、計算、推理等。為了讓學生通過操作、思考和討論等數(shù)學活動來解決問題,筆者創(chuàng)設了如下問題情境:

    《九章算術》是中國古代具有代表性的數(shù)學著作,它奠定了中國古代數(shù)學的基本框架,它的代數(shù)成就主要包括開方術、正負術和方程術,其中方程術是 《九章算術》最高的數(shù)學成就。 《九章算術》中記載: “今有人共買雞,人出九,盈十一;人出六,不足十六.問人數(shù)、雞價各幾何?”譯文: “有若干個人一起買雞,如果每人出9文錢,就多余11文錢;如果每人出6文錢,還缺16文錢.問買雞的人數(shù)和雞的價錢各是多少?”

    然后用課件出示問題情境和相關圖片,并提問:

    問題1:我們?nèi)绾卧O未知數(shù)列方程呢?

    此問題情境屬于中國古代數(shù)學的 “盈不足問題”,在利用 “移項”解一元一次方程中學生已經(jīng)學習過,因此學生能較快得到如下解答:設人數(shù)有x人,根據(jù)題意列出方程 9x-11=6x+16①,解得 x=9,再把x=9代入 (9x-11)可得雞的價錢是70文錢。

    教師及時肯定學生的解法,并追問:

    問題2:如果設雞的價錢是m文錢,那么我們又該如何列方程呢?

    學生:設雞的價錢是m文錢,如果每人出9文錢,就多余11文錢,那么所有人出的總錢數(shù)是 (m+11)文錢,所以共有人;如果每人出6文錢,還缺16文錢,那么所有人出的總錢數(shù)是 (m-16)文錢,所以共有人。由于買雞人數(shù)是一個定值,從而列出方程

    問題3:方程①與方程②之間有怎樣的聯(lián)系?

    學生:方程①是根據(jù)雞的價錢不變列方程的,方程②是根據(jù)買雞人數(shù)不變列方程的。事實上,由于9x-11=6x+16=m,通過移項、系數(shù)化為1可得因此可得方程:這說明方程①與方程②在本問題中是等價的。

    以學生熟悉的 “盈不足問題”創(chuàng)設情境引入新課,營造輕松的學習環(huán)境,使學生產(chǎn)生較強的求知欲望。通過同一道題目兩種不同的設未知數(shù)方法,巧妙地把新舊知識聯(lián)系在一起,既復習了學過的知識,又引出了帶有分數(shù)系數(shù)的一元一次方程,直接指向本節(jié)課的教學內(nèi)容。

    (二)過程階段——合作交流,習得法則

    過程階段是在操作階段的基礎上進行思考與概括、描述與整合,是在大腦中進行的一種內(nèi)部的心理建構(gòu),進而形成一種模式的階段。

    教師繼續(xù)提問,引導學生分析思考:

    問題4:方程②該如何求解呢?

    在教師的引導下,學生進行了熱烈的討論,其中三名學生說出了各自的想法。

    學生②:根據(jù)比例的內(nèi)項之積等于外項之積,那么方程②就可以直接轉(zhuǎn)化為9(m-16)=6(m+11),然后根據(jù)前面學過的解法求出方程的解。

    學生③:前面我們已經(jīng)學習了等式的性質(zhì)2,那么方程②兩邊同時乘以18,可以得到2(m+11)=3(m-16),然后根據(jù)前面學過的解法求出方程的解。

    三名學生的精彩回答贏得了全班同學熱烈的掌聲,教師順勢追問:

    問題5:學生③的解法中方程②兩邊同時乘以18的目的是什么?還可以乘以其他數(shù)嗎?

    問題6:三種解法各有什么特點與聯(lián)系?我們采用什么方法解方程更好?

    教師根據(jù)學生的回答并總結(jié)歸納:根據(jù)等式的性質(zhì)2及乘法分配律,在方程兩邊同時乘以各分母的最小公倍數(shù)可以去分母。

    至此,學生在已有經(jīng)驗基礎上,經(jīng)過思考、討論,體會并理解了 “去分母”這一數(shù)學法則的目的及依據(jù),為后續(xù)解方程做好了鋪墊。

    接著,教師進行變式練習。通過變式訓練,學生感受到了去分母方法的簡便,同時對去分母的目的和依據(jù)有了進一步的理解。

    (三)對象階段——學習樣例,理解法則

    對象階段是指給習得的法則賦予形式化的表達,使其成為一個具體的 “對象”,此階段可以使學生對所學的數(shù)學法則進一步精致化,從而達到對法則真正的理解。

    問題7:解含分數(shù)系數(shù)的一元一次方程的基本步驟有哪些?每一個步驟有什么注意事項?

    問題8:以為未知數(shù)的方程逐步向著x=a的形式轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)是什么?

    學生獨立完成例題1的解答,然后分組討論問題7、問題8,在討論過程中互相補充、完善,最后師生一起總結(jié)歸納得出結(jié)論。

    教師用框圖展示解法流程,并在黑板上板書解題過程如下,使學生更加明確其解題步驟,規(guī)范其書寫格式,并及時總結(jié)解題過程中可能出現(xiàn)的錯誤,加深學生對數(shù)學法則的理解,從而使數(shù)學法則深深地建立在學生的頭腦中,以后遇到含分數(shù)系數(shù)的方程就可以直接提取使用。

    (四)圖式階段——拓展提高,應用法則

    學生在經(jīng)歷了前三個階段的學習,此時數(shù)學法則就以一種立體的、多層次的認知對象存在于腦海之中,這時的對象稱為 “圖式”。在這一認知基礎上去解決相關的問題,能促使學生對所學法則的認識更加全面、豐富、清晰,運用更加靈活。

    筆者又出示了下列題組,供學生思考訓練:

    有了兒子,感到很幸福;可是兒子只活了他父親全部年齡的一半;兒子死后,他在極度悲痛中度過了四年,也與世長辭了。”你知道丟番圖去世時的年齡嗎?

    本題組從不同的角度考查學生對去分母的理解程度,促使學生對學習的法則進行遷移、應用。練習1分母由整數(shù)變成了小數(shù),考查學生對去分母的方法是否掌握;練習2中的未知數(shù)由替換為,并且以相反數(shù)的知識為情境,要求學生先列出方程再求解;練習3結(jié)合方程的解的概念考查一元一次方程的解法。

    最后教師以思考題的形式引導學生小結(jié):

    問題9:本節(jié)課學習了哪些主要內(nèi)容?

    問題10:去分母法則是怎么得到的?去分母法則的依據(jù)是什么?應用去分母法則時應該注意什么問題?

    通過題組練習和課堂小結(jié),深化了學生對去分母的理解,完善了學生的認知結(jié)構(gòu), “圖式”基本上形成了,以后當學生遇到含分數(shù)系數(shù)的方程時,學生就會積極調(diào)動與之相關的圖式,正向遷移,順利地解決問題。

    二、教學思考

    APOS理論與 《義務教育數(shù)學課程標準》(2011年版)所倡導的“自主探索、動手實踐、合作交流”的教學理念不謀而合。但另一方面,也要看到并不是所有數(shù)學法則課的教學都適合用APOS理論來分析,什么教學內(nèi)容適合運用APOS理論進行指導,這是一個值得探究的問題。其次,APOS理論的四個階段應將其視為一個連續(xù)的過程,既不能割裂開來,也不能絕對化,實際操作中往往會有相互穿插的情況出現(xiàn),但達到圖式水平的教學目標不變,如何將教學環(huán)節(jié)與APOS理論的四個階段建立實質(zhì)上的聯(lián)系,是一項富有挑戰(zhàn)性的工作。

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