數(shù)形結(jié)合塑模型 假設(shè)變量尋不變
——“分?jǐn)?shù)除法解決問題例7”教學(xué)實(shí)踐與評析

■ 武漢市江岸區(qū)岱山小學(xué) 楊石云

武漢市江岸區(qū)小學(xué)教研室 王 釗

一、教學(xué)背景

本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是人教版數(shù)學(xué)六年級上冊《分?jǐn)?shù)除法》單元中的例7，也是教材新加入的內(nèi)容。人教社教師教學(xué)用書中指出，本例采用的素材是“工程問題”，但并不是要求學(xué)生解決形形色色的“工程問題”，而是要借此讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究、解決問題的過程，掌握用假設(shè)、驗(yàn)證等方法解決問題的基本策略，讓學(xué)生體會模型思想。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（《以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中關(guān)于數(shù)學(xué)思考第二學(xué)段的目標(biāo)中提到，在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理地思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果。會獨(dú)立思考，體會一些數(shù)學(xué)的基本思想。把解決問題例7安排在分?jǐn)?shù)解決問題這個(gè)部分，不是單純地教學(xué)工程問題的數(shù)量關(guān)系，而是用這個(gè)素材讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考的過程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思考的方法——假設(shè)法，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括、抽象推理的能力。

然而在本節(jié)課的教學(xué)中，我們常常會發(fā)現(xiàn)，無論是假設(shè)具體數(shù)據(jù)還是抽象的單位“1”為路長，這種外在的形式學(xué)生容易模仿，真正的難點(diǎn)是對課中的核心問題“為什么假設(shè)的總路長不同，最后算出來的總天數(shù)卻不變”的理解?！稑?biāo)準(zhǔn)》中指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用。因此，本節(jié)課的教學(xué)中，教師利用數(shù)形結(jié)合的思想，以線段圖為載體、松緊帶作為學(xué)具，向?qū)W生直觀展示“兩隊(duì)每天修的長度占總長度的幾分之幾是不變的”這一抽象的結(jié)論。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生理解并掌握把工作總量看作單位“1”的分?jǐn)?shù)解決問題的基本特點(diǎn)、解題思路和解題方法。

2.經(jīng)歷用假設(shè)法解決問題的探索過程，理解和掌握假設(shè)策略，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

3.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，感受抽象和模型思想。

教學(xué)重點(diǎn)

能利用假設(shè)法解決把工作總量當(dāng)作單位“1”的實(shí)際問題。

教學(xué)難點(diǎn)

理解假設(shè)不同數(shù)據(jù)得出相同結(jié)論的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

教學(xué)準(zhǔn)備

多媒體課件，分別表示一隊(duì)、二隊(duì)、兩隊(duì)合修道路的三條松緊帶。

教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入，線段圖初建模型

1.口答下面各題，并說說運(yùn)用了哪些關(guān)系式？

（1）一條道路長 30米，如果每天修 6米，（ ）天可以修完。

（2）一條道路長40米，如果每天修（ ）米，5天可以修完。

（3）一條道路長（ ）米，如果每天修10米，5天可以修完。

2.看看這三道題，為什么道路的長度在不斷增加，完成的天數(shù)卻沒有變？

生1：因?yàn)槊刻煨薜拈L度也在增加。

生2：因?yàn)榭偮烦坛悦刻煨薜拿讛?shù)（工作效率）得到的商都是5。

3.出示線段圖，揭示問題的本質(zhì)。

現(xiàn)在你們看看，為什么完成的天數(shù)都是5天呢？

評析：在復(fù)習(xí)導(dǎo)入這一環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧簡單的含有工作效率、工作時(shí)間和工作總量的實(shí)際問題，并將這樣的題目用線段圖來表示，通過幾何的直觀性，在引導(dǎo)學(xué)生看圖的過程中讓學(xué)生體會到——只要每天修的長度占總長度的沒有變，那么完成的天數(shù)一定就是5天。在此，學(xué)生初步體會到完成的天數(shù)5的倒數(shù)和每天修的長度占總長度的之間的潛在聯(lián)系，為后續(xù)例題的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（二）創(chuàng)設(shè)情境，假設(shè)法呼之欲出

2017年8月8日21時(shí)19分，四川九寨溝縣發(fā)生7.0級地震，很多道路受損嚴(yán)重。兩個(gè)施工隊(duì)接到任務(wù)同時(shí)趕往災(zāi)區(qū)，課件展示課本情境圖。

1.從圖中你得到了哪些數(shù)學(xué)信息？

生：這條道路，如果一隊(duì)單獨(dú)修，12天才能修完；如果二隊(duì)單獨(dú)修，18天才能修完。

2.為了盡快幫助災(zāi)區(qū)人民疏通道路，如果你是搶修隊(duì)的總指揮長，你打算怎么辦？

生：兩隊(duì)合修，這樣速度更快一些。

3.請你估計(jì)一下，兩隊(duì)合修可能需要幾天完成？

生：（12+18）÷2=15（天）。

4.一隊(duì)單獨(dú)修12天就能修完，兩隊(duì)合修怎么還要15天呢？到底是多少天？（激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考）

生1：5天。

生2：6天，反正我覺得肯定比12天少。

5.這些都只是同學(xué)們的猜測，你們是不是遇到了什么困難？

生：這道題沒有告訴我們道路的長度。

6.你能想出什么好辦法解決道路長度的問題呢？

生：我們可以自己假設(shè)道路的長度為多長。

7.你認(rèn)為假設(shè)成什么數(shù)據(jù)，會使你的計(jì)算更加簡便。

生1：我假設(shè)公路總長度為18km。

生2：我想假設(shè)公路的總長度為36km，因?yàn)?6是18和12的最小公倍數(shù)。

評析：當(dāng)?shù)谝淮蚊鎸鉀Q例7時(shí)問題，多數(shù)學(xué)生會感到困難。因?yàn)槿狈偮烦痰木唧w數(shù)量，學(xué)生原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)不足以調(diào)取所需信息，由此產(chǎn)生信息不足的困惑。教師通過“能不能假設(shè)公路的總長度”作為點(diǎn)撥，幫助學(xué)生自主形成了用假設(shè)法解決問題的思路。在情境的創(chuàng)設(shè)中教師的一步步導(dǎo)問，使得通過假設(shè)法來解決問題的策略呼之欲出。

（三）數(shù)形結(jié)合，假設(shè)變量尋不變

1.請各個(gè)同學(xué)匯報(bào)自己假設(shè)的公路總長以及計(jì)算出的相應(yīng)數(shù)據(jù)，教師通過學(xué)生的回答，完善表格。

（要修的路）假設(shè)為： 18km 36km 1一隊(duì)每天修多少？ 18÷12=1.5（km）36÷12=3（km）1÷12=1 12二隊(duì)每天修多少？ 18÷18=1(km) 36÷18=2(km) 1÷18=1 18

兩隊(duì)合修，每天修多少？ 1.5+1=2.5(km) 3+2=5(km) 1 1 2+1_18= 53 6兩隊(duì)合修，需要多少天？18÷2.5=7.2= 71 36÷5=36 5 6= 36 1÷5 3 5(天)=715(天)5=71 5（天）

2.教師提問，學(xué)生討論。為什么假設(shè)的道路長度不一樣，但最后兩隊(duì)需要的天數(shù)是一樣的？

生1：道路越長，一二隊(duì)每天修的路程也相應(yīng)的變長了。

生2：因?yàn)楸怀龜?shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大了相同的倍數(shù)，商不變。

生3：因?yàn)橐魂?duì)和二隊(duì)獨(dú)自完成的天數(shù)沒有變，所以一起完成的天數(shù)也不會變。

3.教師借助松緊帶，數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生理解變中不變的本質(zhì)。

評析：在演示中，原始長度一樣、同時(shí)又可變長或變短的三條松緊帶，分別演示一隊(duì)修路情況、二隊(duì)修路情況以及兩隊(duì)合修的情況。松緊帶可長可短變化的特殊演示，形象而又直觀地體現(xiàn)了雖然路的總長度在假設(shè)的過程中不斷變化，但是一隊(duì)和二隊(duì)每天修的長度占總長度的幾分之幾沒有改變，那么兩隊(duì)合修時(shí)，每天修的長度和占總長度的幾分之幾也不會改變。松緊帶教具的引入，是數(shù)形結(jié)合在本節(jié)課中突破難點(diǎn)的一次重要體現(xiàn)，學(xué)生直觀的感受到：無論道路的長度假設(shè)為多少公里，兩隊(duì)合修的天數(shù)都一樣，所以較簡便的方法就是將這條道路假設(shè)為“1”。

（四）對比練習(xí)，變中不變建模型

1.一批貨物，只用甲車運(yùn)，3次就能運(yùn)完；只用乙車運(yùn)，6次才能運(yùn)完。如果兩輛車一起運(yùn)，多少次能運(yùn)完這批貨物？

2.打印一批文件，甲單獨(dú)打需要3小時(shí)，乙單獨(dú)打需要6小時(shí)。為了盡快完成打印任務(wù)，兩人決定合打，多少時(shí)間能打成？

3.塑料游泳池有兩個(gè)排水口，如果只打開A口，3分鐘能放完游泳池里的水，如果只打開B口，需要6分鐘。如果兩個(gè)出水口同時(shí)打開，幾分鐘分可以全部放完游泳池里的水？

生1：這三道題都是一起合作的，比如第1題是一起運(yùn)東西，第2題一起打文件，第3題是兩個(gè)排水口一起排水。

生2：都是不知道工作總量的。需要我們來假設(shè)工作總量。

師：同學(xué)們，你們說得都很好。如果一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要a小時(shí)，乙單獨(dú)做需要b小時(shí)，兩人合作幾小時(shí)能夠完成？怎樣列式？

評析：通過運(yùn)貨、打印、排水等情境對比，幫助學(xué)生梳理相同之處，凸顯了分?jǐn)?shù)除法解決例7問題的本質(zhì)特征，并通過字母抽象出總量用1表示的分?jǐn)?shù)除法解決問題的模型。

（五）回顧梳理，建構(gòu)模型談收獲

1.課堂小結(jié)。

2.課堂作業(yè)：課本第45頁 6、7題。

3.家庭作業(yè)：課本第45頁 8、9題。

三、分析研究

（一）假設(shè)變量，探尋變中有不變

數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象和概括，如抽象、分類、歸納、演繹、推理等。學(xué)生在積極參與數(shù)學(xué)活動的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想。這些數(shù)學(xué)思考方法的習(xí)得不是一朝一夕的形成，必須由學(xué)生通過大量的數(shù)學(xué)活動逐步獲得。

在教學(xué)片段（二）中，根據(jù)學(xué)生的知識基礎(chǔ)這里沒有兩隊(duì)合修的長度，他們利用工作總量、工作效率、工作時(shí)間三量關(guān)系無法解決。因此，教師在這一環(huán)節(jié)進(jìn)行了引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生可以“假設(shè)這條道路的長度”，讓學(xué)生通過自己假設(shè)的數(shù)據(jù)嘗試解決問題。

在教學(xué)片段（三）中，教師將不同學(xué)生的答案通過表格投影展示出來，引導(dǎo)學(xué)生觀察對比：“看了上面幾位同學(xué)的做法，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生通過假設(shè)不同的總路長，發(fā)現(xiàn)總路長不同，算出的總天數(shù)都是相同的，此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生思考：總天數(shù)和總路長有關(guān)系嗎？為什么總路長改變，得到的總天數(shù)卻是不變的？有了前面復(fù)習(xí)引入環(huán)節(jié)的鋪墊，經(jīng)過小組討論，學(xué)生從多種角度解釋了這個(gè)問題：因?yàn)橐魂?duì)和二隊(duì)每天修的長度分別是這條公路長度的，所以完成的天數(shù)也不會變。

在教學(xué)片段（一）中，學(xué)生有了第一次的觀察對比的經(jīng)歷，初步體會到變化中存在著不變；在教學(xué)片段（三）獨(dú)立假設(shè)總路長計(jì)算出例題的結(jié)果后，教師再次引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了第二次的觀察對比，所提出的問題與教學(xué)片段（一）復(fù)習(xí)引入的環(huán)節(jié)中的問題類似，學(xué)生很快進(jìn)行了類比聯(lián)系。兩次觀察對比，一次比一次更加深入，既溝通了知識之間的聯(lián)系，又再次加深了學(xué)生對于“變化中有不變量”的數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識。

（二）數(shù)形結(jié)合，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合的思想方法能夠巧妙地實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的互換，使得看似復(fù)雜的問題變得簡單而又直觀，讓學(xué)生觀察探尋到變化中尋求不變量的本質(zhì)問題。

在教學(xué)片段（一）中，通過線段圖的對比，學(xué)生初步認(rèn)識到，只要每天修的米數(shù)占總長度的這個(gè)數(shù)量關(guān)系不變，那么最后完成的天數(shù)肯定就是5天。通過線段圖的直觀呈現(xiàn)，學(xué)生初步探尋到“變中尋找不變”的相關(guān)規(guī)律。

在教學(xué)片段（三）中，通過表格的直觀演示，學(xué)生很自然地產(chǎn)生疑問：“兩隊(duì)合修的長度不同，為什么都是天完成呢？”這就自然地引發(fā)學(xué)生思考并進(jìn)入解決問題的過程。當(dāng)學(xué)生的回答只停留于表面現(xiàn)象時(shí)，教師通過松緊帶的直觀演示。這里松緊帶教具的引入，與線段圖相比，可以向?qū)W生更加直觀地演示其變長縮短的過程。對于新鮮的教具，學(xué)生觀察起來興致也比較高，在高漲的學(xué)習(xí)熱情中理解了本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。

（三）積累經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

《標(biāo)準(zhǔn)》中指出，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，而數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程逐步積累的。

本道例題作為總量用1表示的分?jǐn)?shù)除法，就已經(jīng)比較抽象，而作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建立，抽象難度更大。在教學(xué)片段（四）中，通過算式同為的運(yùn)貨、打印、排水情境的問題比較，學(xué)生經(jīng)歷了同素異構(gòu)的抽象，較好感知了的解決問題模型。

本節(jié)課學(xué)生充分地經(jīng)歷了假設(shè)、驗(yàn)算、推理、歸納、數(shù)形結(jié)合的思維過程，核心問題的分析理解過程，數(shù)學(xué)模型感知和解決問題策略形成的過程，有效地落實(shí)了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練。

總之，這節(jié)課的教學(xué)以學(xué)習(xí)方法的探究為主，打破總量用1表示的分?jǐn)?shù)除法解決問題的傳統(tǒng)教學(xué)模式，以基本數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ)，通過“假設(shè)法”引導(dǎo)學(xué)生探究此類型解決問題的結(jié)構(gòu)特征，通過數(shù)形結(jié)合的方法，討論“假設(shè)數(shù)據(jù)不同，得到的結(jié)果相同”的原因，深入理解總量用1表示的分?jǐn)?shù)除法解決問題的實(shí)際意義，拓寬學(xué)生對分?jǐn)?shù)除法解決問題的理解。