一種具有隱藏吸引子的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析及有限時(shí)間同步?

鄭廣超 劉崇新 王琰

(西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院,電力設(shè)備電氣絕緣國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

(2017年10月31日收到;2017年11月23日收到修改稿)

1 引 言

自19世紀(jì)60年代Lorenz[1]首次提出混沌系統(tǒng)以來(lái),發(fā)現(xiàn)了大量的三維混沌系統(tǒng),如R?ssler系統(tǒng)[2],Chen系統(tǒng)[3],Liu系統(tǒng)[4]以及其他一些典型三維混沌系統(tǒng)[5?8],這些混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在保密通信學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.在混沌系統(tǒng)中,存在的吸引子一般分為兩種,自激吸引子和隱藏吸引子.自激吸引子由不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)產(chǎn)生,而隱藏吸引子的吸引盆與任何不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)均不相交.長(zhǎng)期以來(lái),人們認(rèn)為混沌系統(tǒng)的吸引子與其平衡點(diǎn)之間存在著密切的聯(lián)系,混沌判定的定性準(zhǔn)則也主要是通過(guò)Shilnikov定理[9]來(lái)進(jìn)行,即混沌的產(chǎn)生至少需要一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn),同時(shí)這個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)也對(duì)應(yīng)著混沌系統(tǒng)中的一個(gè)吸引子.然而,自從Leonov和Kuznetsov[10]基于Chua系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)隱藏吸引子以來(lái),許多學(xué)者對(duì)具有隱藏吸引子的混沌系統(tǒng)產(chǎn)生了極大的興趣,取得了很多成果[11?17].這些特殊的混沌系統(tǒng)僅有一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)[11,12],甚至沒(méi)有平衡點(diǎn)[13,14]或者有無(wú)窮多平衡點(diǎn)[15],這對(duì)傳統(tǒng)混沌判定的準(zhǔn)則提出了新的挑戰(zhàn).此外,由于混沌吸引子不能用一般的數(shù)值分析方法來(lái)尋找,在一定程度上增加了混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性和不易預(yù)測(cè)性,這對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用,尤其是保密通信領(lǐng)域有重要的理論研究?jī)r(jià)值.目前,對(duì)于具有隱藏吸引子的混沌系統(tǒng)的研究,既有文獻(xiàn)大多是關(guān)于整數(shù)階系統(tǒng)的研究,關(guān)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的研究相對(duì)較少.

分?jǐn)?shù)階微積分幾乎與整數(shù)階微積分有一樣長(zhǎng)的歷史,但是由于缺乏實(shí)際工程應(yīng)用背景,分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展相對(duì)緩慢.直到近三十年來(lái),人們發(fā)現(xiàn)用分?jǐn)?shù)階微積分描述復(fù)雜的系統(tǒng)時(shí),其物理意義更清晰,表述更簡(jiǎn)潔,特別是當(dāng)研究對(duì)象本身帶有分?jǐn)?shù)階特性時(shí),能更好地揭示對(duì)象的本質(zhì)及其行為特性,由此分?jǐn)?shù)階微積分逐漸得到人們的重視,其在工程領(lǐng)域和物理方面的應(yīng)用成為了研究的熱點(diǎn).長(zhǎng)期以來(lái),由于缺乏有效的數(shù)學(xué)工具來(lái)描述許多實(shí)際物理系統(tǒng)的無(wú)限記憶功能和遺傳特性,幾乎所有的系統(tǒng)都采用整數(shù)階模型來(lái)描述,這在很大程度上忽略了系統(tǒng)的真實(shí)性.分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)作為整數(shù)階系統(tǒng)的推廣,具有普遍意義,能更清晰地描述系統(tǒng)的物理特性,且具備特有的歷史記憶功能.

隨著對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的研究不斷深入,人們認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步在保密通信和信息科學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用前景比整數(shù)階混沌系統(tǒng)更加廣泛[18].自從1990年美國(guó)海軍實(shí)驗(yàn)室Pecora和Carroll[19]提出了混沌同步概念和方法以來(lái),隨著混沌同步研究的不斷深入,混沌同步已成為混沌和控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn),許多有效的混沌同步控制方法相繼被提出.然而,由于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步的復(fù)雜性,相比整數(shù)階系統(tǒng),對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制的研究起步較晚.2003年,李春光等[20]通過(guò)數(shù)值仿真第一次實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步,這極大地激發(fā)了人們對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步問(wèn)題開(kāi)展研究的興趣,提出了更多實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步方法[21?24].其中,針對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)有限時(shí)間同步問(wèn)題,趙靈冬等[24]提出了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性理論,實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)有限時(shí)間同步,且與完全同步對(duì)比效果十分顯著.

基于以上研究,考慮將分?jǐn)?shù)階微積分推廣到具有隱藏吸引子的系統(tǒng)中,并實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步,這對(duì)混沌技術(shù)在實(shí)際工程領(lǐng)域的應(yīng)用有重要的研究?jī)r(jià)值,尤其是在保密通信領(lǐng)域,可以實(shí)現(xiàn)更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,提高通信系統(tǒng)的安全度.

本文基于Sprott E系統(tǒng),構(gòu)建了一種僅有一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng),其在不同階次下會(huì)處于周期、倍周期和混沌狀態(tài),分析了該系統(tǒng)的一些基本動(dòng)力學(xué)行為,如平衡點(diǎn)、吸引子、Poincare映射和分岔等.另外,運(yùn)用分?jǐn)?shù)階有限時(shí)間同步控制理論實(shí)現(xiàn)了同步控制并進(jìn)行了數(shù)值仿真.

2 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型及動(dòng)力學(xué)分析

2.1 分?jǐn)?shù)階微分概述

在分?jǐn)?shù)階微積分的研究過(guò)程中,對(duì)微分和積分概念提出了許多種定義[25],主要有Grunwald-Letnikov(G-L)定義、Riemann-Liouville(R-L)定義以及Caputo定義等,其中Riemann-Liouville定義和Caputo定義較為常用,Riemann-Liouville定義多用于純數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,Caputo定義更適用于工程應(yīng)用領(lǐng)域,適合分?jǐn)?shù)階微分方程初始值問(wèn)題的描述.

一般在實(shí)際應(yīng)用中常用Caputo定義,且Caputo定義可取非同質(zhì)的初始條件.本文采用Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義.

定義1Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義為

式中C表示此定義為Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義,q為微分算子的階次,n為大于q的最小整數(shù),且n?1＜q＜n,t,a分別為運(yùn)算的上下限,Γ(·)為Gamma函數(shù).

Caputo分?jǐn)?shù)階微分相關(guān)的性質(zhì)如下.

性質(zhì)1[25]

考慮一般的分?jǐn)?shù)階微分方程可描述為

該方程的通解為

其中Mittag-Leffter函數(shù)為

2.2 系統(tǒng)模型及平衡點(diǎn)

SprottE系統(tǒng)最早是由美國(guó)學(xué)者J.C.Sprott[26]通過(guò)計(jì)算機(jī)窮舉法發(fā)現(xiàn)的,由兩個(gè)二次非線性項(xiàng)的五項(xiàng)多項(xiàng)式組成,是最簡(jiǎn)的三維混沌系統(tǒng)之一,其物理實(shí)現(xiàn)相對(duì)容易.Sprott E系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的特征根中有一對(duì)共軛的純虛根,通過(guò)對(duì)系統(tǒng)加入小的擾動(dòng)項(xiàng),很容易使這對(duì)共軛的純虛根轉(zhuǎn)變成為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛特征根,從而使系統(tǒng)具有穩(wěn)定的特征根,且能夠使系統(tǒng)的混沌特性保留下來(lái).在實(shí)際應(yīng)用中,混沌系統(tǒng)很容易受小干擾的影響而使特征根的性質(zhì)發(fā)生變化,Sprott E系統(tǒng)便是符合這種情況的典型混沌系統(tǒng)之一.文獻(xiàn)[12]基于Sprott E系統(tǒng)構(gòu)建了一種具有一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)的整數(shù)階混沌系統(tǒng),并通過(guò)相軌跡圖、時(shí)域圖、李雅普諾夫指數(shù)圖和頻率譜進(jìn)行了分析.本文在此基礎(chǔ)上,將其推廣到分?jǐn)?shù)階,構(gòu)造一種含隱藏吸引子的新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng):

式中q為系統(tǒng)((5)式)的階次,且0＜q≤1,a為加入的系統(tǒng)參數(shù),取a=0.005.

令(5)式右側(cè)為0,得到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)方程為

通過(guò)求解(6)式得到系統(tǒng)僅具有一個(gè)平衡點(diǎn)O(0.25,0.0625,?0.08).

在此平衡點(diǎn)O處,系統(tǒng)的雅可比矩陣為

令其特征多項(xiàng)式det(λI?J)=0,得到相應(yīng)的特征值為

觀察(8)式中三個(gè)特征值的實(shí)部可見(jiàn),λ1為負(fù)實(shí)數(shù),λ2和λ3的實(shí)部均為負(fù)數(shù),因此可以確定平衡點(diǎn)O為一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn).且經(jīng)后面的混沌特性分析可知,系統(tǒng)((5)式)是一個(gè)混沌系統(tǒng),其吸引子類(lèi)型為隱藏吸引子.由Shilnikov定理[9]可知,系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的條件要求至少存在一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn),同時(shí)吸引子也來(lái)源于這個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn),而這類(lèi)具有隱藏吸引子的混沌系統(tǒng)的出現(xiàn),對(duì)傳統(tǒng)的混沌判定準(zhǔn)則提出了新的挑戰(zhàn).

2.3 混沌特性分析

分岔圖是非線性動(dòng)力學(xué)研究中的一個(gè)重要工具,可以顯示系統(tǒng)隨某個(gè)參數(shù)的動(dòng)力學(xué)變化.以系統(tǒng)((5)式)的階次q為變化量,令初始值為[x(0),y(0),z(0)]=(0.5,0,0.2),得到狀態(tài)變量x隨著階次變化的分岔圖,如圖1所示,此分岔圖采用最大值法繪制.

觀察圖1可知,系統(tǒng)((5)式)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的階次范圍很小,大部分區(qū)域都是穩(wěn)定狀態(tài),并且到了一定數(shù)值后,對(duì)于階次變化非常敏感.當(dāng)q＜0.987時(shí),系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡趨于一穩(wěn)定值,表明系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性是穩(wěn)定的.當(dāng)0.987≤q＜0.990時(shí),系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔.當(dāng)0.990≤q≤1.000時(shí),系統(tǒng)已完全進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

圖1 變量x隨階次q變化的分岔圖Fig.1.Bifurcation diagram of variable x with order q.

通過(guò)相軌跡圖、Poincare映射、功率譜進(jìn)一步分析系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特征.結(jié)合對(duì)分岔圖的分析,取q=0.990,初始值[x(0),y(0),z(0)]=(0.5,0,0.2),進(jìn)行數(shù)值仿真分析.

首先,取仿真時(shí)間Tsim=500 s,步長(zhǎng)h=0.005,利用預(yù)估校正數(shù)值算法,得到系統(tǒng)的相軌跡圖和變量x的時(shí)域圖分別如圖2和圖3所示.顯然,系統(tǒng)((5)式)處于混沌狀態(tài),同時(shí)表現(xiàn)出單渦卷特性,且具有一個(gè)混沌吸引子,由伸展的螺旋運(yùn)動(dòng)和折返的單向運(yùn)動(dòng)組成,其隨機(jī)性主要在于折返運(yùn)動(dòng)的不確定性.該系統(tǒng)僅有一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn),按照Shilnikov定理[9]要求至少存在一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)才會(huì)出現(xiàn)混沌的判定標(biāo)準(zhǔn),該系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)混沌,然而圖2和圖3表現(xiàn)出顯著的混沌行為,也與圖1分岔圖的表現(xiàn)相對(duì)應(yīng),因此系統(tǒng)((5)式)是一個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng).

取z=0的截面,得到系統(tǒng)((5)式)的Poincare截面圖,如圖4所示,可以看出其Poincare截面由沿著不可數(shù)點(diǎn)的兩條線構(gòu)成,對(duì)應(yīng)著吸引子伸展的螺旋運(yùn)動(dòng),具有分形結(jié)構(gòu)的密集分布特點(diǎn).取采樣頻率為1.5 Hz,仿真時(shí)間Tsim=1000 s,得到系統(tǒng)((5)式)的功率譜如圖5所示,可以看出系統(tǒng)的功率譜是連續(xù)譜,且無(wú)明顯的峰值.由此,從Poincare截面和功率譜進(jìn)一步得出系統(tǒng)處于明顯的混沌狀態(tài).

圖2 系統(tǒng)((5)式)的相軌跡圖 (a)在x-y-z空間;(b)在x-y平面上;(c)在x-z平面上;(d)在y-z平面上Fig.2.Phase portraits of system(Eq.(5)):(a)In the x-y-z state space;(b)in the x-y plane;(c)in the x-z plane;(d)in the y-z plane.

圖3 x時(shí)域圖Fig.3.Time series of state variable x.

圖4 z=0時(shí)x-y平面上的Poincare映射Fig.4.Poincare mapping on x-y phase plane with z=0.

圖5 功率譜Fig.5.Frequency spectrum.

3 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)有限時(shí)間同步

3.1 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性理論

分?jǐn)?shù)階混沌同步在保密通信領(lǐng)域具有更大的潛力,得到了人們的廣泛關(guān)注,各種分?jǐn)?shù)階混沌同步方法被提出,如Lyapunov方程法、驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)法、廣義同步法、線性分離投影同步法等.其中,趙靈冬等[24]提出了一種分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性理論,能夠?qū)崿F(xiàn)同步誤差在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定,具有同步速度快、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn).本文運(yùn)用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性理論實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)同步控制.

定理1[24]考慮一般的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng),滿足

式中v=x(xq)T.

引理1當(dāng)滿足a,b＞0且0＜c＜1時(shí),可得如下不等式:

令系統(tǒng)((5)式)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),其中q=0.99,則相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

式中u1,u2,u3為根據(jù)定理1所加入的控制器.

設(shè)e1=x1?x,e2=y1?y,e3=z1?z為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)((5)式)與響應(yīng)系統(tǒng)((12)式)的同步誤差,則得到誤差系統(tǒng)為

由定理1,設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器u1,u2,u3:

式中k和β為控制器的相關(guān)參數(shù).

加入(14)式的控制器后,分?jǐn)?shù)階誤差系統(tǒng)((13)式)可以在有限時(shí)間t內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定,

證明由誤差系統(tǒng)((13)式)和所設(shè)計(jì)控制器((14)式),得到同步誤差為

根據(jù)(9)式推導(dǎo)可得

由引理1的不等式得

因此可得

顯然,(19)式滿足定理1的條件,故誤差系統(tǒng)((13)式)可以在有限時(shí)間t內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定,即驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)同步,

3.2 數(shù)值仿真

采用MATLAB R2017a進(jìn)行數(shù)值仿真,用預(yù)估校正法求解微分方程.令仿真的步長(zhǎng)tΔ=0.001,仿真時(shí)間Tsim=12 s,分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的階次取q=0.99,驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)((5)式)和響應(yīng)系統(tǒng)((12)式)的初值分別取為[x(0),y(0),z(0)]=(0.5,0,0.2)及[x1(0),y1(0),z1(0)]=(1.2,0.3,2).設(shè)計(jì)控制器的相關(guān)參數(shù)取值為k=1.5,β=0.8.根據(jù)這些參數(shù)編寫(xiě)程序,得到誤差系統(tǒng)和各狀態(tài)變量同步情況的仿真圖,如圖6和圖7所示.

圖6 同步誤差曲線圖Fig.6.Synchronization error curves.

由圖6可以看出,加入控制器后誤差系統(tǒng)e1,e2和e3在3 s內(nèi)均能收斂于零點(diǎn),即誤差系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),由圖7也可看出,驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的各狀態(tài)變量在3 s內(nèi)達(dá)到了完全同步狀態(tài),由此可見(jiàn)設(shè)計(jì)的控制器效果非常顯著.

圖7 加入控制器后各狀態(tài)變量同步圖 (a)變量x-x1;(b)變量y-y1;(c)變量z-z1Fig.7.Synchronization phase plots of state variables with controller added:(a)x-x1;(b)y-y1;(c)z-z1.

4 結(jié) 論

基于Sprott E系統(tǒng),構(gòu)建了僅有一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng),研究含有隱藏吸引子的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng),通過(guò)平衡點(diǎn)、吸引子、Poincare映射和分岔等詳細(xì)分析了該系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)行為.基于分?jǐn)?shù)階有限時(shí)間同步控制理論,設(shè)計(jì)了有限時(shí)間同步控制器,實(shí)現(xiàn)了帶有隱藏吸引子分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制,數(shù)值仿真結(jié)果證實(shí)了該方法的有效性.構(gòu)建的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)具有以下特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì):首先,用分?jǐn)?shù)階微積分進(jìn)行描述和研究,其物理意義更清晰,描述更精確,能更好地揭示對(duì)象的本質(zhì)及其行為特性;其次,構(gòu)建的改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Sprott E系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處有一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛特征根,系統(tǒng)具有穩(wěn)定的平衡點(diǎn),吸引子類(lèi)型為隱藏吸引子;最后,構(gòu)建的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)具有更復(fù)雜、更豐富的混沌動(dòng)力學(xué)特性,參數(shù)選擇范圍更大、更加靈活,且系統(tǒng)對(duì)這些參數(shù)的變化較為敏感,這樣在構(gòu)造混沌振蕩器應(yīng)用于保密通信、圖像加密等實(shí)際領(lǐng)域時(shí),密鑰更多更復(fù)雜,增強(qiáng)了不可預(yù)測(cè)性,提高了應(yīng)用中的可靠性和安全性.

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