用焦半徑、焦點(diǎn)弦公式秒殺小題快攻大題

☉山西省臨汾市第三中學(xué)校 張榮華

圓錐曲線(xiàn)不但是平面解析幾何教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，而且也是高考?jí)狠S題經(jīng)常涉及和考查的對(duì)象.有些若使用常規(guī)解法，計(jì)算、化簡(jiǎn)都相當(dāng)煩瑣，若運(yùn)用焦半徑、焦點(diǎn)弦公式則會(huì)大大減少運(yùn)算，非常巧妙，在解題中起到事半功倍的效果.本文結(jié)合高考試題、自主招生試題及競(jìng)賽試題，說(shuō)明焦半徑、焦點(diǎn)弦公式的巧妙使用.

一、焦半徑焦點(diǎn)弦相關(guān)公式

約定：本文中提到的θ為直線(xiàn)的傾斜角，p為焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離）.

下面用圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義來(lái)推導(dǎo)焦半徑、焦點(diǎn)弦公式，以橢圓=1（a＞b＞0）為例，歸納出焦半徑、焦點(diǎn)弦公式的幾條性質(zhì).

如圖1，過(guò)A作AA1⊥l于點(diǎn)A1，則|AF|=e|AA1|=e［p+|AF|cos（π-θ）］.

性質(zhì)2：橢圓焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為|AB|=|AF|+|BF|=

圖1

注：當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，將cosθ換為sinθ即可.

性質(zhì)3：橢圓焦點(diǎn)弦中最短的弦為通徑.

性質(zhì)4：焦點(diǎn)半徑，倒和定值.

性質(zhì)5：正交焦弦，倒和定值.

因篇幅所限，雙曲線(xiàn)中類(lèi)似的結(jié)論留給讀者自證.

二、焦半徑、焦點(diǎn)弦公式的巧妙使用

例1（2017年新課標(biāo)Ⅰ卷理10）已知F為拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，直線(xiàn)l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

簡(jiǎn)評(píng)：本題若使用通法通解，運(yùn)算量大，會(huì)給解題帶來(lái)不便.

例2 （2013年新課標(biāo)Ⅱ卷文10）設(shè)拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l過(guò)F且與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|，則l的方程為（ ）.

簡(jiǎn)評(píng)：本題使用焦半徑公式的傾斜角形式，簡(jiǎn)潔明了，省時(shí)省力，事半功倍.

例3 （2016年新課標(biāo)Ⅰ卷理20）如圖2，設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E.

（1）證明|EA|+|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線(xiàn)C1，直線(xiàn)l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

圖2

簡(jiǎn)評(píng)：可以說(shuō)是用焦半徑公式“快攻”了此題.

變式練習(xí)：（2011年卓越聯(lián)盟自招13）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F（1-1，0），F(xiàn)（21，0），且橢圓與直線(xiàn)y=x-相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)F1作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，與橢圓分別交于P，Q及M，N，求四邊形PQMN面積的最大值與最小值.

例4（2015年清華大學(xué)數(shù)學(xué)金秋營(yíng)試題）如圖3已知橢圓La＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)，F(xiàn)分12別是橢圓L的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)）在L上，設(shè)A為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB，AC分別過(guò)焦點(diǎn)F，F(xiàn)，且12

（1）求橢圓L的方程；

（2）求λ1+λ2的值；

（3）求△F1AC的面積S的最大值.

圖3

簡(jiǎn)評(píng)：此題難度偏大，若使用焦半徑公式可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.

從以上各題可以看出，解決這類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)解法，是按照解析幾何問(wèn)題求解的“三部曲”，把直線(xiàn)和曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程，用韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，最后將目標(biāo)轉(zhuǎn)化表示，運(yùn)算量往往不是一般的大，若運(yùn)用焦半徑公式的傾斜角形式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，直達(dá)結(jié)論，起到事半功倍的效果.F