基于學(xué)生的全國(guó)卷導(dǎo)數(shù)壓軸題解題分析*

☉福建省泉州第五中學(xué) 黃種生

全國(guó)卷導(dǎo)數(shù)壓軸題具有鮮明的特點(diǎn)，它立足基礎(chǔ)，表達(dá)簡(jiǎn)潔，看似簡(jiǎn)單，但比較靈活，構(gòu)造性強(qiáng)，創(chuàng)新性好.在全國(guó)卷給出的標(biāo)準(zhǔn)答案中，有些解題思路是很好的，但有些解題思路比較唐突，跳躍大，在當(dāng)年真實(shí)的高考情境中，學(xué)生根本想不到這些解題思路，因此，這些解題思路不是學(xué)生常規(guī)的解題思路，不具有代表性和一般性，但現(xiàn)實(shí)卻是，大部分研究者和教師是用全國(guó)卷提供的這些解題思路來(lái)思考和研究這些壓軸題的.由于全國(guó)卷的導(dǎo)向性和極大的被關(guān)注性，高考后的一段時(shí)間，這些解題思路便被大量的模仿和重復(fù)，以至于一些解題思路成為后來(lái)經(jīng)典的解題思路，一些當(dāng)年很難想到的解題思路，現(xiàn)在的教師和研究者認(rèn)為當(dāng)時(shí)的學(xué)生應(yīng)該理所當(dāng)然地會(huì)想到.這種情況導(dǎo)致一些相關(guān)的教學(xué)研究和教學(xué)評(píng)價(jià)脫離實(shí)際，甚至出現(xiàn)相反的評(píng)價(jià)，也使不少一線教師在講評(píng)這些題目時(shí)講法不適合學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，出現(xiàn)了不少低效的教學(xué).本文將基于學(xué)生的角度，用符合當(dāng)年高考習(xí)題背景的、學(xué)生最容易想到的、常規(guī)的解題思路來(lái)分析這些導(dǎo)數(shù)壓軸題，以期能比較準(zhǔn)確地反映學(xué)生真實(shí)的解題思路（哪怕這些解題思路不完整或行不通），揭示學(xué)生解題過(guò)程中會(huì)碰到的難點(diǎn)和重點(diǎn)，從而使我們的研究和教學(xué)對(duì)學(xué)生更有針對(duì)性.本文提供的解題思路有別于標(biāo)準(zhǔn)答案提供的思路，由于篇幅的原因，本文將不再給出這些題目的標(biāo)準(zhǔn)答案.又由于這些壓軸題的第一小問(wèn)比較簡(jiǎn)單，所以本文只針對(duì)這些題目的第二小問(wèn)進(jìn)行分析.

例1（2017年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ理21）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析：（1）略.

圖1

所以，0＜a＜1.

解題思路二（分類討論法）：由（1）知，a≤0時(shí)，（fx）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，（fx）不可能有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)a＞0時(shí)，（fx）在x=-lna時(shí)取得最小值，最小值為（f-lna）=1+lna-.

當(dāng)a≥1時(shí)，最小值（f-lna）≥0，（fx）不可能有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)0＜a＜1時(shí)，最小值（f-lna）＜0，那么，此時(shí)（fx）會(huì)不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)呢？這時(shí)，有兩種方法可以說(shuō)明.

方法 1（用極限解釋）：當(dāng)x→-∞時(shí)，e2x→0，ex→0，所以（fx）→+∞.當(dāng)x→+∞時(shí)，e2x，ex，x趨向于正無(wú)窮大，因高一課本指出，ex是指數(shù)型的，是爆炸型的，它的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)大于x的增長(zhǎng)速度，而e2x的增長(zhǎng)速度又遠(yuǎn)大于ex，所以x→+∞時(shí)，（fx）→+∞.所以（fx）有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍是（0，1）.

方法2（放縮法）：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，最小值（f-lna）＜0，當(dāng)x＜0時(shí)，（fx）=ae2x+（a-2）ex-x＞（a-2）ex-x＞（a-2）-x，因此，當(dāng)x＜a-2時(shí)，（fx）＞0.而當(dāng)x＞0時(shí)，（fx）＞ae2x+（a-3）ex=（aex+a-3）ex，當(dāng)aex+a-3＞0，即x＞ln （-1）時(shí)，（fx）＞0.所以f（x）有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍是（0，1）.

說(shuō)明：本題第（2）問(wèn)與2016年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ理21題第（1）問(wèn)基本相同，因此，以上兩種解題思路均可用在2016年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ理21第（1）問(wèn)上.

例2（2010年全國(guó)新課標(biāo)卷理21）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）看到題目的條件，學(xué)生首先想到的是分離參數(shù)法.當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，命題成立.當(dāng)x＞0時(shí)

令h（x）=（x-2）ex+x+2，則h（′x）=（x-1）ex+1.

由于h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且h′（0）=0，所以x＞0時(shí)，h（′x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，又因?yàn)閔（0）=0，所以x＞0時(shí)，h（x）＞0，所以g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.所以只需a≤g（0）即可.這時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)g（0）=，這已超出高中的知識(shí)范圍，學(xué)生做不下去了，于是只能去想其他的方法.

高中老師發(fā)現(xiàn)，這時(shí)候只要利用洛比塔法則就可以得到結(jié)論，因?yàn)?所以自從有了這道高考題后，高中老師一直都在討論，要不要教給學(xué)生洛比塔法則，至令尚無(wú)定論.

如果不用洛比塔法則，上述方法就沒(méi)用了，于是不少教師在講解這道題時(shí)，就不講解上述方法了，而是直接講解帶參分類討論法，即標(biāo)準(zhǔn)答案提供的方法.而作者認(rèn)為，這是學(xué)生最容易想到的方法，是學(xué)生真實(shí)的解題思路，是學(xué)生解這道題時(shí)會(huì)碰到的實(shí)際困難，因此作者在講解時(shí)，總是先講這個(gè)方法，再講解帶參分類討論法.這種講法符合學(xué)生的認(rèn)知特征，事實(shí)上是在向?qū)W生展示一種解題方法的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程，雖然講解時(shí)會(huì)多花些時(shí)間，但講解的效果很好.另外，2010年時(shí)，導(dǎo)數(shù)成為高考內(nèi)容的時(shí)間不長(zhǎng)，相關(guān)的壓軸題還不多，大部分考題和練習(xí)題只停留在分離參數(shù)法上，很少有這種帶參分類討論法的題目，全國(guó)卷的這道題在當(dāng)年的創(chuàng)新性是很強(qiáng)的.

例3（2013年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ理21）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）.若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）都過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.

（1）求a，b，c，d的值；

（2）若x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）解題思路一：（分離參數(shù)法）

由（1）知x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x）等價(jià)于x≥-2時(shí)，x2+4x+2≤2kex（x+1）.

當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，2k≤h（x），h′（x）＞0，h（x）在［-2，-1）上遞增，h（x）的最小值是h（-2）=2e2，所以2k≤2e2，k≤e2.

綜上，k的取值范圍是［1，e2］.

解題思路二：（帶參分類討論法）

由（1）知x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x）等價(jià)于x≥-2時(shí)，2kex（x+1）-x2-4x-2≥0，令h（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2，則h′（x）=2（x+2）（kex-1）.

①當(dāng)k≤0，x＞-2時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減，由h（0）=2k-2＜0知，不合題意.

②當(dāng)0＜k＜e2時(shí)，-2＜x＜-lnk時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減.x＞-lnk時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，h（x）的最小值是h（-lnk）=-（lnk）2+2lnk.由h（-lnk）=-（lnk）2+2lnk≥0得1≤k≤e2.

③當(dāng)k=e2時(shí)，h′（x）=2（x+2）（ex+2-1）＞0，又h（-2，-1）=0，則x＞-2時(shí)，h（x）＞0.符合題意.＜0知，不合題意.

綜上，k的取值范圍是［1，e2］.

解題思路三：（特殊值法）

由（1）知x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x）等價(jià)于x≥-2時(shí)，2kex（x+1）-x2-4x-2≥0，令h（x）=2kex（x+1）-x2=4x-2，，得k≤e2；由h（0）=2k-2≥0，得k≥1.所以1≤k≤e2.

然后，用與思路二類似的方法，證明當(dāng)1≤k≤e2和k-e2時(shí)符合題意.所以1≤k≤e2.

（1）求a，b；

（2）證明：f（x）＞1.

（2）解題思路一：（放縮法）由（1）知，a=1，b=2，f（x）=，由于要證明的不等式中同時(shí)出現(xiàn)直接求導(dǎo)數(shù)，運(yùn)算上有些困難，故考慮用放縮法.要證明（fx）＞1，即證明（exlnx+2）＞1，由于ex-1≥x＞0，所以≥1，所以又只需證exlnx+2≥1，只需證明xlnx+≥0且等號(hào)不在x=1處取得.令 g（x）=xlnx+，g（′x）=lnx+1，當(dāng)0＜x＜時(shí)，g（′x）＜0，g（x）遞減，當(dāng)x＞時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增，所以g（x）≥g （）=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào).

綜上，不等式成立.

解題思路二：（設(shè)而不解法）由（1）知，a=1，b=2，f（x）

由Δ=e2-12e+4＜0知，ex2-（e+2）x+4＞0恒成立. 所以x＞0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/p>

當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.

解題思路二是常規(guī)的解題思路，學(xué)生平時(shí)做過(guò)類似的題目，這種思路對(duì)學(xué)生很自然.但在本題中，這種思路的運(yùn)算量大，思維量也大，很多學(xué)生做不出來(lái).教師用這個(gè)方法來(lái)講解，可以幫助學(xué)生解決做題中的實(shí)際困難，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)毅的品格都有很大的幫助，而且有助于學(xué)生淡化解題技巧，注重通性通法.但考慮到學(xué)生的接受能力，課堂上講解的效果不一定會(huì)很好，它更適合在課外與優(yōu)秀學(xué)生進(jìn)行探討.

而標(biāo)準(zhǔn)答案提供的方法是把不等式分為兩個(gè)函數(shù)，然后證明一個(gè)函數(shù)的最小值等于另一個(gè)函數(shù)的最大值，而且這兩個(gè)最值在不同處取得.這種方法跳躍性很強(qiáng)，學(xué)生不容易想到.作者在2014年和2015年間，曾分多次把這道題給230名學(xué)生和12位數(shù)學(xué)老師做，結(jié)果，用了一個(gè)晚上的時(shí)間，沒(méi)有一個(gè)學(xué)生或教師會(huì)想到標(biāo)準(zhǔn)答案提供的方法.

例5（2016年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ理21）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求a的取值范圍；

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2＜2.

解析：（1）略.

（2）解題思路：（極值點(diǎn)偏離問(wèn)題）注意到x=1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，所以可以用極值點(diǎn)偏離問(wèn)題的通法解決.令g（x）=f（x）-f（2-x）=（x-2）ex+xe2-x，則g′（x）=（x-1）·（ex-e2-x）.當(dāng)x＜1時(shí)g′（x）＞0，g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，又因?yàn)間（1）=0，所以g（x）＜0.

不妨設(shè)x1＜x2，由（1）知，x1＜1，x2＞1，所以g（x1）=f（x1）-f（2-x1）＜0，所以f（x1）＜f（2-x1）.

又因?yàn)閒（x1）=f（x2）=0，所以f（x2）＜f（2-x1）.

又因?yàn)閤2＞1，2-x1＞1，且f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，x2＜2-x，x1+x2＜2.

這種方法表面上看與標(biāo)準(zhǔn)答案類似，但它具有通用性，只要滿足f（x1）=f（x2）=a就可以證明，而且這種方法考前學(xué)生做過(guò)，難度不大.

在面對(duì)高考導(dǎo)數(shù)壓軸題時(shí)，學(xué)生會(huì)先想到一些常規(guī)思路，但用這些常規(guī)思路仍然不能完整地解決這些壓軸題，學(xué)生仍然有許多困難，上面給出的正是這些常規(guī)思路的基礎(chǔ)上，克服困難完善起來(lái)的解題思路，雖然它們有的并不完美，有的還有些煩瑣，但它們立足于學(xué)生真實(shí)的解題思路，能解決學(xué)生在解題過(guò)程中碰到的實(shí)際的困難，能提高學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.只有教師用這些思路分析題目和講解題目后，再講解標(biāo)準(zhǔn)答案提供的方法，學(xué)生才會(huì)有一種去疑解惑、夯實(shí)基礎(chǔ)的感覺(jué)，才會(huì)有一種豁然開(kāi)朗的體悟，才會(huì)對(duì)自己的主動(dòng)學(xué)習(xí)加以肯定，從而養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣.教師的這種基于學(xué)生真實(shí)的解題思路進(jìn)行研究，進(jìn)而選擇適合學(xué)生的解題方法進(jìn)行教學(xué)，是“學(xué)生是主體”的教學(xué)理念在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的體現(xiàn)，它的教學(xué)效果是很好的，值得在平時(shí)的教學(xué)中推廣.F