一道調(diào)考題引出有心圓錐曲線一個新的性質(zhì)

☉湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學盤龍校區(qū) 李紅春

☉湖北省十堰市竹溪縣第二高級中學 王 偉

武漢市2017屆高三二月調(diào)考理科解析幾何試題如下：

圖1

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖1，已知Γ上存在一點P，使得直線PF1，PF2分別交橢圓于A、B，若（λ∈R），求λ的值.

橢圓過中心的弦稱為橢圓的直徑，從以上試題出發(fā)，筆者發(fā)現(xiàn)，過橢圓上任意一點及直徑上關(guān)于橢圓中心對稱的兩點的弦有如下定值：

圖2

化簡可得b2t2（1+μ）-2b2tx0+a2s2（1+μ）-2a2sy0=a2b2（μ-1）. ②

①+②，得（b2t2+a2s2）（2+λ+μ）=a2b2（λ+μ-2）.

性質(zhì)：P為雙曲線=1（a＞0，b＞0）上任意一點，M，N為雙曲線直徑上關(guān)于原點對稱的兩點，M（-t，-s），N（t，s），若PM，PN分別交雙曲線于A，B兩點，若—P→M=，則

證明從略.H