一道課本習(xí)題的再探究

☉湖北省武鋼三中 高浪天

王老師在文1中的研究成果已經(jīng)讓筆者受益，下面是筆者的一點(diǎn)新探究，希望得到各位專家或同行的批評與指正.

題目 （人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書數(shù)學(xué)選修2-1第80頁復(fù)習(xí)參考題A組第10題）已知△ABC的兩個頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），求頂點(diǎn)C的軌跡.

此題的結(jié)論是：當(dāng)m<0時，點(diǎn)C的軌跡是橢圓（m≠-1），或者圓（m=-1），并除去兩點(diǎn)（-5，0），（5，0）；當(dāng)m>0時，點(diǎn)C的軌跡是雙曲線，并除去兩點(diǎn)（-5，0），（5，0）.

圖1

圖2

圖3

圖4

類比到雙曲線中：

探究6：已知M（m，n）是雙曲線 -=1（a>0，b>0）上一點(diǎn)，A、B是雙曲線上不同于M的兩點(diǎn)，如果kAM+kBM=0，那么kAB=-

其中探究1和探究2除了可以類比到雙曲線，還可以類比到拋物線.另外，將以上所述焦點(diǎn)在x軸的圓錐曲線換成焦點(diǎn)在y軸，那么只需要將條件及結(jié)論中字母a與字母b的位置調(diào)換，結(jié)論照樣成立.以上結(jié)論多次在高考和調(diào)考中涉及，舉例如下：

（1）求橢圓C的方程.

（2）若A、B是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB的斜率分別為k1、k2，問：是否存在非零常數(shù)λ，使k1·k2=λ時，△AOB的面積S為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.

所以a=2，b=1.

（2）設(shè)存在非零常數(shù)λ，使k1·k2=λ時，△AOB的面積為S為定值.

將y=kx+m代入x2+4y2-4=0中，得到（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.

將②代入①中，得到（k2-λ）（4m2-4）-8k2m2+m2（4k2+1）=0.

（1）求橢圓方程.

分析：根據(jù)第（1），求出的橢圓方程，第（2）問正好等于探究中的結(jié)論，故直線MN是過定點(diǎn)，即原點(diǎn).3（2015年全國卷Ⅱ）橢圓C：=1（a>b>0）

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

分析：第（2）問因為M為線段AB的中點(diǎn)，延長AO交橢圓于點(diǎn)C，易知BC與OM平行，從而直線OM的斜率等于直線BC的斜率，因此不難得出它們的斜率之積為

（1）求橢圓的方程.

（2）設(shè)P、Q為橢圓上異于A、B且不重合的兩點(diǎn)，且∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，問：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得P—→Q=λA—→B？若存在，請求出λ的最大值；若不存在，請說明理由.

分析：第（2）問中給出∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，其實(shí)就是kPC+kQC=0，故直線PQ與直線AB平行.

1.王國軍.一道課本習(xí)題的探究與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2017（1）.F