☉江蘇省泰興中學(xué) 常國良
在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中,教師應(yīng)該站在方法論的框架下,加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的方法培養(yǎng),由此來促使學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維的精髓,進(jìn)而提升分析和解決問題的能力.
現(xiàn)在依然有很多數(shù)學(xué)老師在講解基本概念與定理時(shí),都是按照以下三個(gè)流程展開:(1)定義講解;(2)注意點(diǎn)分析;(3)變式訓(xùn)練.在這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)模式下,學(xué)生根本無法真正感受到概念建立過程中的數(shù)學(xué)方法,甚至連最基本的概念本質(zhì)都無法掌握,教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生站在數(shù)學(xué)方法論的體系下研究概念和定理的形成過程,由此讓學(xué)生在概念的認(rèn)識(shí)過程中掌握其中最為本質(zhì)的方法和內(nèi)涵.
案例1 微積分的基本定理.
設(shè)計(jì)思路:以歸納、猜想和探究為最基本的主線,然后通過問題形式來引領(lǐng)學(xué)生展開更加積極而深入的思考,并引導(dǎo)學(xué)生展開歸納和猜想,同時(shí)還要組織他們對(duì)探究中的收獲和體會(huì)進(jìn)行交流.
問題1:現(xiàn)有某個(gè)物體正在做直線運(yùn)動(dòng),已知速度v=v(t)在時(shí)間間隔[a,b]上是連續(xù)函數(shù),而且v(t)≥0,那么這段時(shí)間物體所經(jīng)過的路程為多少?
問題2:假設(shè)某個(gè)物體發(fā)生著與問題1一樣的直線運(yùn)動(dòng),現(xiàn)已知路程s=s(t)在時(shí)間間隔[a,b]上是連續(xù)函數(shù),那么這段時(shí)間物體所經(jīng)過的路程為多少?(追問:(sb)-(sa)為什么不是(t)dt? )
問題4:函數(shù)v=v(t)和s=s(t)是不是存在著某種較為特殊的關(guān)系?
在上述問題串的引導(dǎo)下,學(xué)生將逐步理解微積分的基本定理,并逐步領(lǐng)悟微積分的有關(guān)性質(zhì),進(jìn)而體會(huì)到從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,而且學(xué)生還將從中感受到微積分定理的思考方法,為他們今后的獨(dú)立分析和問題解決奠定扎實(shí)的基礎(chǔ).
從教學(xué)實(shí)踐來講,我們對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行評(píng)價(jià)的方式主要還是體現(xiàn)在解題能力的層面,因此促使學(xué)生解題能力的提高依然是高中數(shù)學(xué)最重要的教學(xué)目標(biāo)之一.在教學(xué)實(shí)踐中,有的教師過分依賴題海戰(zhàn)術(shù),他們寄希望通過加強(qiáng)訓(xùn)練來提升學(xué)生的解題能力,卻總是無法收獲預(yù)期的效果.教師在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題方法和相關(guān)規(guī)律進(jìn)行探究時(shí),我們要讓學(xué)生掌握有關(guān)問題的常規(guī)解題規(guī)律,并對(duì)其中的思維方法進(jìn)行感悟,由此取得觸類旁通的效果.
案例2 如圖1所示,現(xiàn)有拋物線C:y=2x2,直線y=kx+2交C于A、B兩點(diǎn),且令線段AB的中點(diǎn)為M,經(jīng)過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N.
(1)證明:拋物線C在N點(diǎn)的切線和AB平行.
(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)k,使得N—→A·N—→B=0,若存在,求k的取值;若不存在,請(qǐng)闡述理由.
設(shè)計(jì)思路:本題在處理時(shí),可以采用問題串的形式,引導(dǎo)學(xué)生站在數(shù)學(xué)方法論的框架下對(duì)數(shù)學(xué)問題的解題方法展開探討.
問題1:當(dāng)直線y=kx+2的斜率k確定時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)確定嗎?(斜率k應(yīng)該是變化的主因)
問題2:既然N點(diǎn)坐標(biāo)可以由斜率k來確定,那么如何用k表示N點(diǎn)坐標(biāo)呢?(聯(lián)立方程之后采用韋達(dá)定理)
問題3:怎么求拋物線C在N點(diǎn)處的切線?(求導(dǎo)或判別式等于零)
問題4:所有的N點(diǎn)中,是否存在某點(diǎn)可使N—→A·N—→B=0?如何求解該點(diǎn)?(結(jié)合韋達(dá)定理將N—→A·N—→B=0轉(zhuǎn)化成關(guān)于k的方程)
圖1
通過以上引導(dǎo),學(xué)生不但對(duì)這類問題的解題規(guī)律有了理解,同時(shí)還深刻感悟到方程與函數(shù)等數(shù)學(xué)思想的重要價(jià)值,更重要的是學(xué)生還逐漸體會(huì)到問題探索的一般規(guī)律,掌握了解決的常規(guī)方法,并由此獲得解題能力的提升.
探究性、過程性、體驗(yàn)性和實(shí)踐性都是探究性學(xué)習(xí)的重要特點(diǎn),以此種方式來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)能較大程度地激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,并充分發(fā)揮學(xué)生的主體性,有效轉(zhuǎn)化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常規(guī)方式,同時(shí)這也有助于學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展獨(dú)立探究的數(shù)學(xué)興趣,并能積極獲取切身參與和探究的基本經(jīng)驗(yàn),提升問題發(fā)現(xiàn)和分析的基本能力.在開展探究性學(xué)習(xí)的過程中,教師應(yīng)該加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的手段,并藉此來發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維.
案例3 抽象函數(shù)對(duì)稱性的探究性學(xué)習(xí).
基本思路:采用類比和歸納等數(shù)學(xué)思想方法,引導(dǎo)并啟發(fā)學(xué)生提出問題,并積極探求問題的解決方案.
問題1:若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x),試分析f(x)的圖像具備怎樣的對(duì)稱性特點(diǎn)?
問題2:若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=-f(a-x),試分析f(x)的圖像具備怎樣的對(duì)稱性特點(diǎn)?
問題3:若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),試分析f(x)的圖像具備怎樣的對(duì)稱性特點(diǎn)?
問題4:若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x),試分析f(x)的圖像具備怎樣的對(duì)稱性特點(diǎn)?
問題5:試分析函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(a-x)的圖像滿足怎樣的對(duì)稱關(guān)系?
問題6:試分析函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=-f(a-x)的圖像滿足怎樣的對(duì)稱關(guān)系?
問題7:試分析函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(b-x)的圖像滿足怎樣的對(duì)稱關(guān)系?
問題8:試分析函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=-f(b-x)的圖像滿足怎樣的對(duì)稱關(guān)系?
通過以上問題串的分析和探索,我們不但能有效發(fā)展學(xué)生提出并解決問題的基本能力,同時(shí)還能幫助學(xué)生從其中領(lǐng)悟類比的思維方法,學(xué)生也將由此而充分體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的手段.在有關(guān)內(nèi)容的探究過程中,歸納和類比等數(shù)學(xué)方法都貫穿于始終,也正如波利亞所言:“類比推理和歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中起著非常重要的作用.”以上教學(xué)中,教師通過問題串的設(shè)計(jì)和提出為學(xué)生搭建了一個(gè)良性的探究平臺(tái),引導(dǎo)學(xué)生在具體的探究活動(dòng)中體會(huì)科學(xué)方法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想.
在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法時(shí),我們要善于在實(shí)踐中不斷地進(jìn)行總結(jié)和反思.經(jīng)過一段時(shí)間的探索,筆者有如下體會(huì).
首先,我們要注意通過問題來激活學(xué)生,由此來調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思維的積極性.新課程教學(xué)中,我們要注意在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候和節(jié)點(diǎn)提出相應(yīng)的問題,并以此來培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí).而且,我們還要恰當(dāng)?shù)貙?duì)學(xué)生的思維進(jìn)行適度而合理地啟發(fā),引導(dǎo)學(xué)生積極的思考和探索.在設(shè)計(jì)問題時(shí),我們要注意相關(guān)內(nèi)容應(yīng)該有較為詳實(shí)的情境作為支撐,且相關(guān)活動(dòng)都應(yīng)該圍繞學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)來展開.并且我們的設(shè)計(jì)要便于學(xué)生進(jìn)行交流和思考,而且要積極圍繞知識(shí)的本質(zhì),要做到有層次,有條理,加強(qiáng)學(xué)生形成知識(shí)的過程體驗(yàn).
其次,我們要積極營造和諧而民主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍,讓學(xué)生樂于參與課堂的互動(dòng),并積極發(fā)表自己的觀點(diǎn),和同學(xué)、老師交流自己的認(rèn)識(shí).教師在進(jìn)行交流的過程中要實(shí)時(shí)地監(jiān)控學(xué)生的思維,并通過師生間的言語、動(dòng)作及情感等方面的交流,讓教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維障礙的存在,明確學(xué)生在問題解決時(shí)需要得到怎樣的幫助,由此教師將有效發(fā)現(xiàn)問題解決的基本策略.
最后,教師也必須充分意識(shí)到要給予學(xué)生足夠的時(shí)間和空間進(jìn)行思考.在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,由于急功近利思想的影響,學(xué)生思考的時(shí)間經(jīng)常得不到有效的保障,這在一定程度上抑制了學(xué)生思維的有效開展.此外,教師還要設(shè)計(jì)各類有內(nèi)涵的問題,為學(xué)生的思考留下寬闊的空間,讓學(xué)生在訓(xùn)練中得到提升和發(fā)展.
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