從《曲線和方程》的復(fù)習(xí)談教學(xué)的深刻性

☉江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 張芝悅

數(shù)學(xué)概念一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，但又是常態(tài)課教學(xué)較為輕松的地方.筆者以為，常態(tài)課教學(xué)中教師對(duì)于概念教學(xué)往往不肯花費(fèi)過多的時(shí)間，導(dǎo)致學(xué)生在概念的理解和運(yùn)用上往往捉襟見肘，這與當(dāng)下課程教學(xué)課時(shí)緊有一定的關(guān)系；另一方面，教師注重的是學(xué)生的應(yīng)試成績(jī)，往往對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)心少之又少，這也導(dǎo)致了教師寧可多研究解題方法、教學(xué)生解題模式，也不愿在概念上多下工夫，畢竟概念教學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)的理解和素養(yǎng)的提高，在應(yīng)試中是難以量化呈現(xiàn)的.

種種與課程標(biāo)準(zhǔn)相違背的教學(xué)方式，導(dǎo)致了今天的概念教學(xué)失去了概念教學(xué)的本質(zhì).學(xué)生對(duì)于概念的理解基本只能依賴數(shù)學(xué)試題，教師離開試題談對(duì)概念的理解也幾乎是啞口無(wú)言.章建躍博士在強(qiáng)調(diào)概念教學(xué)時(shí)，多次提及不惜時(shí)、不惜力.因此筆者以本課為例，談一談教學(xué)的深刻性.

《曲線和方程》是解析幾何的起始課，為什么這一節(jié)內(nèi)容深藏于此？我們思考過嗎？為什么不放在圓的前面？筆者以為：往前思考，初中數(shù)學(xué)對(duì)于圓的研究主要是一種定性，定性的含義指的就是偏向幾何直觀，而數(shù)學(xué)越往高緯度發(fā)展，其必須從定性向定量做華麗的轉(zhuǎn)身.吳文俊先生所說的“數(shù)學(xué)高緯度中除了機(jī)械化的運(yùn)算，我實(shí)在想不出更好的方式”，暗指了代數(shù)機(jī)械化的魅力！從定量的研究圓，到橢圓、雙曲線和拋物線的介入，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)“點(diǎn)”的理解需要更多地向定量靠攏，因此本節(jié)出現(xiàn)在定性的圓和定量的橢圓之間，呈現(xiàn)了承接的作用.這種靠攏促成了“曲線和方程”的關(guān)鍵地位，但是對(duì)于這一概念的教學(xué)需要從幾何性中的“點(diǎn)”出發(fā)，逐步逐層次地深入挖掘.

問題1：橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是F（-1，0），求這一類橢圓中與直線l：2x-y+3=0有公共點(diǎn)且離心率最大的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析：本題可以從兩個(gè)不同的視角切入，是典型的解析幾何雙重特性問題.

視角1：利用代數(shù)視角，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，解決離心率最大值即求解橢圓方程（a＞b＞0）中a的最小值，考慮到直線l：2x-y+3=0與橢圓1（a＞b＞0）有公共點(diǎn)，從而利用判別式求解的取值范圍，進(jìn)而求解本題，從這一視角來說，學(xué)生基本能清楚地獲得分析過程.

視角2：學(xué)生通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，代數(shù)解法對(duì)于學(xué)生而言最大的困擾是運(yùn)算量稍大，而且未能體現(xiàn)橢圓最本質(zhì)的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考：你覺得上述方式困難的原因是什么？——代數(shù)運(yùn)算復(fù)雜——既然代數(shù)運(yùn)算復(fù)雜，說明代數(shù)化有些煩瑣，那你可以從哪個(gè)角度換一種切入？——幾何！——與2a有關(guān)的幾何特征是什么？——焦點(diǎn)三角形及橢圓定義——兩段和最小以圖形結(jié)構(gòu)思考如何實(shí)現(xiàn)？——點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱——三點(diǎn)共線.因此記右焦點(diǎn)Q（1，0），本題只要解決F（-1，0）關(guān)于直線l：2x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)P，從而最小的2a=|PQ|.

設(shè)計(jì)意圖：從代數(shù)和幾何的雙視角尋求問題的解決，是曲線上“點(diǎn)”滿足方程的解的一大特征，但是我們不難發(fā)現(xiàn)，深化這一概念的理解，從代數(shù)上理解了第一層面，即曲線上的點(diǎn)是方程的解，從幾何上理解了第二層面，即曲線上的點(diǎn)需要滿足曲線定義.

問題2：圓的方程x2+y2=10，若弦BC的中點(diǎn)D求該弦所在直線方程.

分析：引入問題2，繼續(xù)從代數(shù)幾何雙重性中尋求問題的解決.

視角1：圓中的問題更偏向幾何手段，即以垂徑定理為依據(jù)的弦心距三角形的處理，本題自然水到渠成.

視角2：代數(shù)視角更具備了一般性，即圓、橢圓、雙曲線等等，都具備點(diǎn)在曲線上的妙用，而這種妙用依賴的代數(shù)方式主要是“點(diǎn)差法”.

變式：橢圓方程2x2+y2=1，若弦BC的中點(diǎn)求該弦所在直線方程.

分析：經(jīng)過學(xué)生思考，發(fā)現(xiàn)幾何方式在這里有一定的困難，而點(diǎn)差法卻具備了普適性.

設(shè)計(jì)意圖：通過問題2和變式，讓學(xué)生理解曲線上點(diǎn)運(yùn)用方式需要關(guān)注曲線的形態(tài)，進(jìn)一步理解曲線上點(diǎn)的運(yùn)用方式.

問題3： 求橢圓2x2+y2=1上的點(diǎn)到直線y=x-4的距離的最值.

分析：進(jìn)一步思考曲線上點(diǎn)的運(yùn)用方式，考慮到研究距離最值，從雙重視角入手分析.

視角1：點(diǎn)在曲線上，若直接利用點(diǎn)到直線的距離公式，進(jìn)一步的計(jì)算稍顯難度，但是考慮到曲線上點(diǎn)滿足方程，我們可以從點(diǎn)的形態(tài)繼續(xù)思考，這里顯然三角換元之后的點(diǎn)形態(tài)運(yùn)用，令利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角知識(shí)可求得.

視角2：從幾何直觀來說，學(xué)生很容易想到相切位置的最值存在，因此利用判別式求解即可.

設(shè)計(jì)意圖：本題的設(shè)計(jì)，主要是引導(dǎo)學(xué)生思考曲線上點(diǎn)運(yùn)用的多樣化，可以是原生坐標(biāo)形態(tài)，也可以是三角坐標(biāo)等等，學(xué)習(xí)中要注意不同方式的轉(zhuǎn)化.

問題4：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn)（如圖1），點(diǎn)A，B在橢圓上，若，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____________.

圖1

圖2

分析：作為2011年的浙江卷壓軸填空題，我們不難發(fā)現(xiàn)本題對(duì)于點(diǎn)的運(yùn)用方式提出了新的要求，學(xué)生初次研究都是設(shè)直線AF1的斜率為k（k＞0），則直線AF1的方程為y=k（x+），聯(lián)立橢圓x2+3y2=3，整理得（1+3k2）x2+6k2x+6k2-3=0.但是發(fā)現(xiàn)該方程所表示的兩根并不是點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，因此陷入問題解決的困境.試想：韋達(dá)定理——出現(xiàn)無(wú)用的點(diǎn)——思考到橢圓的對(duì)稱性（如圖2），從而獲得幾何特征.

視角1：設(shè)直線AF1與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B1，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y）.由及橢11122圓對(duì)稱性，可得|F1A|=5|F1B1|，得y1=-5y2.設(shè)直線AF1為x=ty-，聯(lián)立橢圓+y2=1，得（t2+3）y2-2ty-1=0.

故點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，±1）.

視角2：考慮到點(diǎn)在曲線上，也可以理解為方程的解.設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），得

設(shè)計(jì)意圖：以高考真題思考，曲線上點(diǎn)運(yùn)用方式，滿足曲線的幾何性質(zhì)，借助曲線形狀獲得較好的解決途徑.

縱觀本課的設(shè)計(jì)，筆者認(rèn)為出現(xiàn)了概念教學(xué)的新境界和新層次，將教材中的《曲線和方程》的概念進(jìn)行了深化、挖掘，獲得了知識(shí)理解的深刻性.其亮點(diǎn)主要在于：《曲線和方程》一節(jié)只有一個(gè)概念，這個(gè)概念是一句充要條件的話，描述的是代數(shù)方程的解和幾何曲線的點(diǎn)之間的等價(jià)性.我們可以回想自己在這里的教學(xué)：每一屆學(xué)生，在這里基本都是一笑置之，因?yàn)橛X得這一概念是一句“廢話”，毫無(wú)價(jià)值的概念.學(xué)生的行為，可以理解，但是對(duì)于教師自身而言，尊重和理解數(shù)學(xué)概念更需要多一份深思熟慮，章建躍博士在《中小學(xué)數(shù)學(xué)》編后漫筆中多次談及當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的概念教學(xué)：不少教師除了解題實(shí)在不會(huì)教學(xué).而本課做到了有層次的概念認(rèn)知，主要是兩點(diǎn)：其一，中學(xué)數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)，縱觀教學(xué)，幾何方式往往更占據(jù)問題解決的主導(dǎo)位置，從而“點(diǎn)”是這一概念的核心.對(duì)于“點(diǎn)”如何運(yùn)用的方式，體現(xiàn)了教學(xué)設(shè)計(jì)的層次性：點(diǎn)滿足曲線定義——點(diǎn)運(yùn)用需要考慮曲線形態(tài)——點(diǎn)處理借助曲線幾何性質(zhì)，螺旋上升；其二，華羅庚先生說讀書是從“薄”——“厚”——“薄”的過程，對(duì)于這樣的概念處理，做到了單一概念的發(fā)散、理解、深思，達(dá)到了鳥鳴山更幽的境地.

1.張奠宙.中國(guó)數(shù)學(xué)雙基教學(xué)理論框架.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)［J］.2006（8）.

2.沈恒.千里之行，始于足下.數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.2011（2）.

3.沈恒.談如何提高學(xué)生的解題能力.中學(xué)數(shù)學(xué)研究［J］.2009（10）.H