基于核心素養(yǎng)理念下的解題教學(xué)初探
——以一道高考題為例

☉江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) 李寬珍

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)修訂版提出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)，也是確保課程改革整體推進(jìn)的核心.數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)的迫切性日趨引起重視，如何在解題教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)的考查？筆者所在學(xué)校周末進(jìn)行了一次周練，其中最后一題用了2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)第20題，學(xué)生的解答不理想.筆者以這道題為載體，談?wù)労诵乃仞B(yǎng)在解題教學(xué)中的滲透，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

一、題目呈現(xiàn)

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點(diǎn).

二、教學(xué)分析

（一）在分析問題過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力

本題第（2）問是一道圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題，在解決這個(gè)問題時(shí)，可以從多個(gè)視角入手，因此也形成了不同的解題思路.

視角1：從結(jié)論入手

本題要求l過定點(diǎn)，設(shè)出直線l方程，根據(jù)直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，整理得到A，B橫坐標(biāo)的和與積的關(guān)系.因此需要將直線l方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到直線中的定量關(guān)系.

證法1：設(shè)直線P2A和P2B的斜率分別是k1，k2.

如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐標(biāo)分別為

由題設(shè)條件知，Δ=16（4k2+1-m2）＞0.

即m=-1-2k，當(dāng)k＜0時(shí)，Δ＞0，

欲使y=kx-1-2k，即y+1=k（x-2），所以直線l過定點(diǎn)（2，-1）.

視角2：從題目隱含的基本圖形出發(fā)

本題的圖形隱含著“過橢圓上一個(gè)已知點(diǎn)作一條直線，與橢圓交于另一點(diǎn)”這個(gè)基本圖形，而這個(gè)基本圖形的解決方法常常是將直線與橢圓聯(lián)立，由于已知一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，所以容易求出另一個(gè)交點(diǎn)，由此用分別用P2A，P2B的斜率表示出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出AB直線方程，找到直線過定點(diǎn).

設(shè)直線P2A，P2B的斜率分別為k1，k2，則P2A，P2B的方程分別為y=k1x+1，y=k2x+1，其中k1+k2=-1.則直線P2A，P2B的方程為［k1x+（1-y）］［k2x+（1-y）］=0，

方程③的解就是橢圓C與兩直線P2A，P2B三個(gè)公共點(diǎn)P2，A，B的坐標(biāo)，

當(dāng)y≠1時(shí)，③可化為4k1k2（1+y）-x+（1-y）=0，

即A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程4k1k2（1+y）-x+（1-y）=0所以直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（2，-1）.

解題方法的獲得來自于題設(shè)條件、要證明的結(jié)論、題目結(jié)構(gòu)之間的綜合分析.對(duì)題目所給的條件和結(jié)論進(jìn)行邏輯推理，通過對(duì)此題的分析，教會(huì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)已知和未知之間可能的因果鏈接，養(yǎng)成運(yùn)用邏輯思考、分析問題的習(xí)慣.教會(huì)學(xué)生將新問題轉(zhuǎn)化為會(huì)解決的問題，未知的轉(zhuǎn)化為已知的，復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡單，因?yàn)橹挥性谶@些轉(zhuǎn)化的過程中所用到的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想才能讓學(xué)生真正理解、接受，只有經(jīng)歷解答的過程才能積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，才能逐步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).在日常教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生把一個(gè)個(gè)具體知識(shí)理解到位并能用于解決問題，在日常教學(xué)中落實(shí)新理念，以核心素養(yǎng)為指向，既可以摒棄數(shù)學(xué)中諸如題海戰(zhàn)術(shù)之類的錯(cuò)誤，又能切實(shí)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

（二）在拓展延伸中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

在解題教學(xué)中，教師不能僅僅滿足于“就題論題”，也不能止步于“練習(xí)鞏固”，而要通過有意義的探究活動(dòng)，挖掘這一類題隱含的教學(xué)資源，圍繞“用代數(shù)方法解決幾何問題”這一主線，對(duì)原題進(jìn)行拓展延伸，這樣可以極大提高課堂的效率和生機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

解完此題，可以追問學(xué)生：

（1）當(dāng)直線P2A與直線P2B的斜率的和為定值時(shí)，直線l具有怎樣的特征？

即當(dāng)k1+k2=λ（λ≠0）是定值時(shí)，直線l恒過定點(diǎn)

（2）當(dāng)直線P2A與直線P2B的斜率的積為定值時(shí)，結(jié)果又如何？

由“和”的定量關(guān)系，很容易想到其他運(yùn)算結(jié)果是否也存在定量關(guān)系，自然就想到“積”的定量關(guān)系是否成立.解決方法和前面相同，此處限于篇幅，不一一細(xì)證.我們知道，圓錐曲線這章的運(yùn)算一直是學(xué)生的軟肋，通過相同方法的操練，學(xué)生對(duì)運(yùn)算的過程有了進(jìn)一步的體驗(yàn)，從而增加了對(duì)復(fù)雜運(yùn)算的信心，提高運(yùn)算能力.

證明：設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則PA，PB的方程分別為y=k1x+b，y=k2x+b，

即y-（k1x+b）=0；y-（k2x+b）=0.

將兩式相乘，按照x展開：

②代入①，得

方程③的解就是橢圓C與兩直線PA，PB三個(gè)公共點(diǎn)P，A，B的坐標(biāo)，

當(dāng)y≠b時(shí)，③可化為k1k·2（b+y）+（k1+k）2x+（b-y）=0，

即A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程

（1）當(dāng)k1k2為定值λ，且（k1+k2）x+（b-y）=0，該直線系必過點(diǎn)③成立；

（2）當(dāng)k1+k2為定值λ，且λ≠0，由④得λx+（b-y）=0，該直線系必過點(diǎn)），即④成立.

從這幾組變式中，我們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線問題就是用代數(shù)的方法解決幾何問題，無論如何變，其大致的解題策略即為：將直線y=kx+m與橢圓聯(lián)立，得到“x1+x2”和“x1x2”的值，再根據(jù)定值關(guān)系，代入坐標(biāo)，得到k、m之間的關(guān)系，最后利用直線的點(diǎn)斜式方程可以證明直線l過定點(diǎn).在這個(gè)環(huán)節(jié)中，從特殊到一般，解決問題的方法不變，著眼讓學(xué)生經(jīng)歷體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程與方法，旨在夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的根基，提升學(xué)生運(yùn)算求解的能力.通過觀察、分析選擇運(yùn)算方向，求得運(yùn)算結(jié)果，讓學(xué)生在運(yùn)算過程中提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和鍥而不舍的意志品質(zhì).

數(shù)學(xué)運(yùn)算是邏輯推理的重要形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段，是解決一切數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，這是數(shù)學(xué)運(yùn)算的價(jià)值所在.通過數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，能夠提高學(xué)生邏輯推理能力和解決數(shù)學(xué)問題的能力，形成程序化思考問題的習(xí)慣.因此，課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)著眼數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程與方法，摒棄直接告訴學(xué)生運(yùn)算方法和結(jié)果的做法，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)運(yùn)算的全過程，學(xué)會(huì)探究運(yùn)算的方向，掌握運(yùn)算的法則，選擇運(yùn)算的方法，感受數(shù)學(xué)運(yùn)算過程所帶來的成功體驗(yàn)，從而提升學(xué)生的運(yùn)算求解能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

（三）在變式中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力

一題多變往往將原題改為與原題內(nèi)容、形式不同但解法類似的題目，例如，交換題目的條件與結(jié)論，讓學(xué)生在“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中發(fā)現(xiàn)“變”的規(guī)律.在解題過程中，使學(xué)生領(lǐng)悟解題方法，由會(huì)解一道題到會(huì)解一類題，觸類旁通，舉一反三，從而有效較提高學(xué)生發(fā)散思維能力和知識(shí)遷移能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.通過關(guān)聯(lián)題組，把學(xué)生的盲點(diǎn)變成探究點(diǎn)，加強(qiáng)他們知識(shí)點(diǎn)之間的橫縱聯(lián)系，在拓寬學(xué)生的思維廣度上是行之有效的.

追問：我們知道，數(shù)學(xué)中很多結(jié)論與條件交換了仍然成立，那么此題中，是否成立？答案是肯定的.

（a2k2+b2）x2+2mka2x+a2（m2-b2）=0.

當(dāng)Δ=4a2b2（a2k2+b2-m2）＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

類似地，我們也可以得到當(dāng)PA，PB積為定值和直線AB過定點(diǎn)，也是充要條件，這里不再贅述.

我們知道，橢圓和雙曲線、拋物線都是屬于圓錐曲線，那么這個(gè)定點(diǎn)定值結(jié)論是否在雙曲線和拋物線中成立呢？答案是肯定的，限于篇幅，這里只給出結(jié)論，留給讀者自證.

①當(dāng)λ≠0時(shí)，k1+k2=λ的充要條件是直線AB過定點(diǎn)

（7）過拋物線y2=2px（p＞0）上的定點(diǎn)P（x0，y0）作斜率為k1，k2的兩條直線分別與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)于定值λ：

①當(dāng)λ≠0時(shí)，k1+k2=λ的充要條件是直線AB過定點(diǎn)

通過變式探究讓學(xué)生加深對(duì)這類直線與圓錐曲線相交問題本質(zhì)的理解，進(jìn)一步提高識(shí)圖能力，學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法求這類定值問題，引導(dǎo)學(xué)生思考橢圓與雙曲線，拋物線之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過觀察、分析、運(yùn)算和反思，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

總之，在數(shù)學(xué)課堂中，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，唯有將課堂的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，以數(shù)學(xué)知識(shí)的探究學(xué)習(xí)過程為載體，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的熱情和智慧，積極培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)思考能力，才能把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育落實(shí)在課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，把課堂真正的還原給學(xué)生，使課堂始終成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地.H