立足核心素養(yǎng) 構(gòu)建高效課堂
—— 以“直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)”為例

☉浙江省杭州市余杭高級(jí)中學(xué) 杜 慧

一、立足核心素養(yǎng)，重新審視課堂

正在修訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提煉了六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.在日常課堂教學(xué)中如何落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)呢？章建躍先生認(rèn)為：“從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的合理性、學(xué)生思維過(guò)程的合理性上加強(qiáng)思考，這是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn).”

立足“核心素養(yǎng)”，就要求我們根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)分析教學(xué)內(nèi)容，準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，在充分了解學(xué)生知識(shí)與能力的基礎(chǔ)上，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)為目標(biāo)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，通過(guò)有的放矢的教學(xué)策略和課堂把握，使學(xué)生高效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法，并提升數(shù)學(xué)能力和核心素養(yǎng).

為了使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育落實(shí)到課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，筆者在執(zhí)教“直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)”的過(guò)程中，在這幾個(gè)方面進(jìn)行了一定的嘗試與探索，得到了評(píng)委的好評(píng).在杭州市2017年高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)比活動(dòng)中，榮獲杭州市一等獎(jiǎng).下面筆者就與本節(jié)課相關(guān)性較大的“數(shù)學(xué)建模”、“直觀想象”、“數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”四個(gè)核心素養(yǎng)的培育及其作用進(jìn)行闡述.

二、立足核心素養(yǎng)，準(zhǔn)確分析教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課是人教版A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)必修二》第二章2.3.3直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì).新課標(biāo)教材對(duì)“立體幾何初步”的內(nèi)容設(shè)計(jì)，“垂直”在描述直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系中起著重要的作用，集中體現(xiàn)為：空間中垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，以及空間中垂直與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.教材將本節(jié)內(nèi)容置于“平行關(guān)系”的判定與性質(zhì)，以及“垂直關(guān)系”的判定之后，目的是使學(xué)生在明確“位置關(guān)系”的基礎(chǔ)上，通過(guò)類(lèi)比直線(xiàn)、平面“平行關(guān)系”的性質(zhì)，從整體上提出“直線(xiàn)與平面垂直關(guān)系的性質(zhì)”的猜想，學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證等探究過(guò)程，獲得“垂直關(guān)系”的性質(zhì).本節(jié)中，幾何直觀和空間想象、合情推理和論證推理的結(jié)合有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，增進(jìn)學(xué)生對(duì)空間幾何本質(zhì)的理解，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想方法.

經(jīng)過(guò)必修二第一章《空間幾何體》和本章的點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的分析，和平行的判定與性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)，以及線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直的判定，學(xué)生已具備一定的空間想象力與思維能力，能準(zhǔn)確使用圖形和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系，已了解“平行關(guān)系”的性質(zhì)和判定方法，以及“垂直關(guān)系”的判定方法.然而，在直線(xiàn)與平面、平面與平面垂直的條件下，有哪些特殊的位置關(guān)系尚不明確；直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系比較模糊；空間位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)仍停留在平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化上，未能建立起平行與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系.

基于上述分析，確立本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn).

重點(diǎn)：觀察生活實(shí)例，經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)的探究過(guò)程，探究發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)，并通過(guò)思辨論證獲得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)性質(zhì).

難點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理的探究與論證.

三、立足核心素養(yǎng)，確定“直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)”的教學(xué)目標(biāo)

基于對(duì)教學(xué)內(nèi)容的分析、學(xué)生學(xué)情診斷，以及本節(jié)課在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)中的作用，確立本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）通過(guò)觀察生活實(shí)例，將現(xiàn)實(shí)空間問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)圖形，引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)探究性質(zhì)，通過(guò)大膽猜想獲得線(xiàn)面垂直性質(zhì)的初步了解，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”和“數(shù)學(xué)建?！钡臄?shù)學(xué)素養(yǎng).

（2）通過(guò)合作探究，經(jīng)歷由直觀感知到操作確認(rèn)，結(jié)合圖形、符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá)與交流，獲得更多的線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生幾何直觀和空間想象、合情推理的能力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

（3）在獲得相關(guān)性質(zhì)猜想的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷思辨論證的數(shù)學(xué)邏輯推理過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的論證推理能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的“邏輯推理”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（4）通過(guò)知識(shí)應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生對(duì)“直線(xiàn)與平面垂直性質(zhì)”的深層次的數(shù)學(xué)理解，并增強(qiáng)學(xué)生的空間點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

四、立足核心素養(yǎng)，構(gòu)建“直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)”的課堂教學(xué)

根據(jù)教學(xué)指導(dǎo)意見(jiàn)，本節(jié)內(nèi)容的處理繼續(xù)遵循“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證—理論應(yīng)用”的思維過(guò)程展開(kāi)，采用教師啟發(fā)設(shè)問(wèn)、學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，在觀察、操作的基礎(chǔ)上作出猜想，然后通過(guò)推理論證，得出猜想的正確性.同時(shí)通過(guò)引入生活實(shí)例，促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界，抽象出數(shù)學(xué)模型，借助長(zhǎng)方體模型、書(shū)本和筆等道具、多媒體演示、實(shí)物投影儀，幫助學(xué)生更好地理解空間位置關(guān)系.

1.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程，提高數(shù)學(xué)建模能力

階段一：直觀感知——引入生活實(shí)例，抽象出數(shù)學(xué)模型，形成猜想，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象能力”.

環(huán)節(jié)一：溫故知新，指出在前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面和面面平行的判定及性質(zhì)定理，還學(xué)習(xí)了線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面和面面垂直的判定，知識(shí)框圖如圖1所示：

圖1

而在我們的現(xiàn)實(shí)生活中，也有很多垂直的情境.

環(huán)節(jié)二：觀察生活中的實(shí)物，如圖2所示的白楊樹(shù)，每棵白楊樹(shù)的樹(shù)干都近似地垂直于地面，觀察每?jī)煽冒讞顦?shù)干之間的位置關(guān)系.再如圖3所示的長(zhǎng)廊，廊柱與地面的關(guān)系到每?jī)筛戎g的關(guān)系.

圖2

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)，把學(xué)到的知識(shí)和身邊的現(xiàn)象聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出空間圖形的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”和“直觀想象”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)三：不考慮物體的形狀和大小，僅考慮線(xiàn)和面的位置關(guān)系，我們就將長(zhǎng)廊抽象為最熟悉的幾何體之一——長(zhǎng)方 體 ABCD-A1B1C1D1，如圖4所示.直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理，考查的是在直線(xiàn)與平面垂直的條件下，可以得出哪些結(jié)論.教科書(shū)通過(guò)“思考”引導(dǎo)學(xué)生觀察長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中的棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直線(xiàn)都垂直于平面ABCD，提出問(wèn)題：它們之間具有什么位置關(guān)系？

環(huán)節(jié)四：進(jìn)一步抽象，將長(zhǎng)方體中多余的棱和面除去，僅留下棱棱AA1，BB1與平面ABCD，進(jìn)一步抽象得到模型：已知直線(xiàn)a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么，直線(xiàn)a，b一定平行嗎？

圖4

形成猜想：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行.

符號(hào)語(yǔ)言：若a⊥α，b⊥α則a∥b.

圖5

圖形語(yǔ)言：如圖5所示.

【設(shè)計(jì)意圖】發(fā)揮長(zhǎng)方體作為圖形語(yǔ)言載體的作用，在學(xué)生的觀察發(fā)現(xiàn)中，充分表現(xiàn)圖形的典型性、簡(jiǎn)明性、直觀性、概括性和趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知熱情.在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了“生活情境—空間圖形—性質(zhì)猜想—數(shù)學(xué)描述”的全程，結(jié)合猜想，讓學(xué)生嘗試圖形和數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的表述，并由此培養(yǎng)學(xué)生“直觀想象”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方式，數(shù)學(xué)建模能力已成為許多學(xué)科的基本素養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，有利于學(xué)生養(yǎng)成從整體的角度思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的習(xí)慣；有利于學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的自信.開(kāi)篇引入中的建筑、白楊樹(shù)林與長(zhǎng)方體、線(xiàn)面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生既欣賞了生活中的平行與垂直，又體會(huì)幾何學(xué)的簡(jiǎn)潔美，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)和提高審美情趣也大有裨益.

數(shù)學(xué)抽象是舍棄非本質(zhì)的屬性或特征，得到數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、法則、命題等的思維過(guò)程.包括從事物的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，以及研究對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)；從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律；用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征.數(shù)學(xué)性質(zhì)的教學(xué)也是一類(lèi)典型的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，抽象能力是人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界、形成知識(shí)、把握規(guī)律的基本能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，注重抽象能力的培養(yǎng)，有利于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的概念、命題、結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)，有利于學(xué)生在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中化繁為簡(jiǎn)，理解這個(gè)學(xué)科的知識(shí)結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征.

2.設(shè)計(jì)合理的思維過(guò)程小組活動(dòng)，發(fā)展直觀想象水平

幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲得幾何圖形，用圖形描述事物的結(jié)構(gòu)特征，用點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的關(guān)系探索事物的關(guān)系，乃至用圖形及其關(guān)系認(rèn)知表達(dá)事物的本質(zhì)和關(guān)系，幾何直觀是展開(kāi)邏輯推理的思維基礎(chǔ).為了發(fā)展學(xué)生的幾何直觀水平，本節(jié)課設(shè)計(jì)了符合學(xué)生思維的活動(dòng)：探究其他可能的線(xiàn)面平行與垂直的位置關(guān)系.

階段二：重新還原探索過(guò)程，可以看成是立足已知條件a⊥α的基礎(chǔ)上，引入第二條直線(xiàn)b，并且b⊥α，通過(guò)觀察、直觀想象，猜想a∥b.即從a⊥α出發(fā)，引入新的幾何元素和條件，尋找其他線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面等位置關(guān)系.由此提出了本節(jié)課中的一個(gè)活動(dòng)（操作確認(rèn)）：請(qǐng)前后四人小組，化書(shū)為面，以筆為線(xiàn)，兩個(gè)同學(xué)負(fù)責(zé)操作，另外兩個(gè)同學(xué)把獲得的可能性質(zhì)通過(guò)圖形、符號(hào)語(yǔ)言記錄在表格中：

經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的活動(dòng)和探索后，通過(guò)學(xué)生組長(zhǎng)中心發(fā)言和教師展示學(xué)生的研究所得，共享彼此的研究所得，補(bǔ)充完成性質(zhì)的探索.

【設(shè)計(jì)意圖】在這一活動(dòng)中，教師通過(guò)小組合作的方式，以小組為單位，共同探究幾何體的定義、分類(lèi)、表示、辨析等一系列內(nèi)容，通過(guò)討論的方式從組員用道具進(jìn)行線(xiàn)、面等位置的擺放，并嘗試用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言進(jìn)行表述，實(shí)現(xiàn)從直觀到數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程；通過(guò)小組探究、上臺(tái)展示成果等方式，讓學(xué)生參與知識(shí)發(fā)現(xiàn)、發(fā)生、發(fā)展的全過(guò)程，既培養(yǎng)了合作意識(shí)和交流表達(dá)能力，又加深了對(duì)知識(shí)的理解與記憶，深切感受到通過(guò)以平面或直線(xiàn)為橋梁，在“平行”與“平行”、“平行”與“垂直”之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸的過(guò)程.而探究活動(dòng)本身，也促使學(xué)生自覺(jué)地融入“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的提升過(guò)程之中.

3.從直觀到抽象，從大膽猜想到思辨論證

“邏輯推理”是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是從一些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、定理出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出結(jié)論的思維過(guò)程.“邏輯推理”是科學(xué)研究的核心素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“邏輯推理”素養(yǎng)的形成，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)結(jié)論的來(lái)龍去脈，形成舉一反三的能力；有利于學(xué)生形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維習(xí)慣；有利于學(xué)生提升探究事物本源的能力，有利于學(xué)生形成創(chuàng)新意識(shí)、提升創(chuàng)新能力.

因此在通過(guò)學(xué)生小組活動(dòng)，對(duì)學(xué)生所獲得這些性質(zhì)的猜想，還需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理證明——思辨論證.

階段三：回歸最初的猜想：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行，對(duì)此猜想進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撟C明，實(shí)現(xiàn)從猜想到定理的思維跨越.

環(huán)節(jié)一：對(duì)證明目標(biāo)：a∥b，思考證明線(xiàn)線(xiàn)平行的方法.

（1）通過(guò)證明同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的關(guān)系來(lái)證明——需要建立的平面幾何的基礎(chǔ)上，即要先證明a，b共面.

（2）通過(guò)平行公理：a∥c，b∥c?a∥b，這需要第三條直線(xiàn)c作為過(guò)渡.

（3）通過(guò)面面平行，使直線(xiàn)a，b成為交線(xiàn)，實(shí)現(xiàn)面面平行到線(xiàn)線(xiàn)平行的證明.

【設(shè)計(jì)意圖】從“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，根據(jù)目標(biāo)尋找問(wèn)題解決的思路.通過(guò)目標(biāo)分析與問(wèn)題的解決過(guò)程分析，學(xué)生可嘗試直接論證的方法分析，體會(huì)直接使用定理或公理的困難所在，由過(guò)去所學(xué)知識(shí)的不適用性引發(fā)認(rèn)知沖突，為探求反面考慮的論證思路做鋪墊，進(jìn)而引導(dǎo)出另一種證明問(wèn)題的方法（反證法——正難則反的思想），是突破本節(jié)難點(diǎn)的第一步.

環(huán)節(jié)二：引導(dǎo)學(xué)生思考：

①空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有哪些？

②要證明空間兩條直線(xiàn)平行，其他的位置關(guān)系成立嗎？

③結(jié)合分析，有沒(méi)有其他證明方法？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)上述的方法回顧與困難分析，提出正難則反，否定平行以外的其他可能的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸、正難則反思想.

環(huán)節(jié)三：思辨論證，應(yīng)用反證法證明線(xiàn)線(xiàn)平行，a⊥α，b⊥α?a∥b.

證明：假設(shè)a與b不平行.

如圖 6，因?yàn)閎⊥α，記b∩α=O，

由a與b不平行，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)b′，使得b′∥a.

因?yàn)閎∩b′=O，所以b，b′確定一個(gè)平面，記作β，并記β∩α=直線(xiàn)c.

圖6

因?yàn)閍⊥α，b⊥α，且c?β，所以a⊥c，b⊥c.

由b′∥a，a⊥c，則b′⊥c.

由b∩b′=O，b，b′?β及b⊥c且b′⊥c，得到，在同一平面β內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有兩條直線(xiàn)與同一條直線(xiàn)垂直，矛盾.

所以假設(shè)不成立，即a∥b.

根據(jù)證明過(guò)程明確反證法的四部曲：

這個(gè)經(jīng)過(guò)思辨論證后正確的猜想，就是直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理：

【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生經(jīng)歷自主探究和思辨論證的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生分析和反思論證過(guò)程中的認(rèn)知沖突.通過(guò)學(xué)生自發(fā)地討論、作圖嘗試、調(diào)整思路、總結(jié)反思，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)本節(jié)難點(diǎn)——線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理論證過(guò)程的有效突破，培養(yǎng)學(xué)生合情推理和論證推理的能力.

4.應(yīng)用性質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)性質(zhì)的深層次理解

階段四：在通過(guò)“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”這一過(guò)程獲得定理后，引入例題，通過(guò)所學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)性質(zhì)的深層次理解.

例1 如圖7所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.

求證：MN∥AD1．

總結(jié)提升：（1）證明線(xiàn)線(xiàn)平行的又一種方法：

（2）應(yīng)用性質(zhì)定理證明兩條直線(xiàn)平行，關(guān)鍵需要借助一個(gè)共同的平面實(shí)現(xiàn)線(xiàn)面垂直向線(xiàn)線(xiàn)平行的轉(zhuǎn)化.

（3）回顧前面的探究結(jié)果，得到：若a⊥α，b⊥α?a∥b.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)具體問(wèn)題的解決，使學(xué)生能學(xué)以致用，更重要的是通過(guò)定理在問(wèn)題解決中的應(yīng)用，使學(xué)生更深刻地理解定理，領(lǐng)會(huì)定理的意義，并通過(guò)教師問(wèn)題解決后的總結(jié)歸納，將判斷或證明線(xiàn)線(xiàn)平行的方法納入到原有的方法體系中，進(jìn)一步完善學(xué)生的知識(shí)體系.同時(shí)，再次溫故知新，聯(lián)系原有知識(shí)，實(shí)現(xiàn)性質(zhì)中條件與性質(zhì)的等價(jià)轉(zhuǎn)換關(guān)系.

圖7

兩名同學(xué)從線(xiàn)面垂直出發(fā)獲得的性質(zhì)列表如下：

已有條件 a⊥α a⊥α a⊥α a⊥α a⊥α引入的幾何元素及其與已知線(xiàn)面的條件 直線(xiàn)b，使得b⊥α 直線(xiàn)b，使得b∥a 直線(xiàn)b，使b?α 直線(xiàn)b，使b∥α 直線(xiàn)b，使b⊥a圖形語(yǔ)言a α b a α b a α b a α b a α b性質(zhì)書(shū)寫(xiě)(符號(hào)語(yǔ)言) a⊥α，b⊥α?a∥b a⊥α，a∥b?b⊥α a⊥α，b?α?a⊥b a⊥α，b∥α?a⊥b a⊥α，b⊥a?b∥α或b?α已有條件 a⊥α a⊥α a⊥α a⊥α引入的幾何元素及其與已知線(xiàn)面的條件平面β，使得a?β平面β，使得a∥β平面β，使得α∥β平面β，使得a⊥β圖形語(yǔ)言a α β a β α βa α βa α性質(zhì)書(shū)寫(xiě)（符號(hào)語(yǔ)言） a⊥α，a?β?α⊥β a⊥α，a∥β?α⊥β a⊥α，α∥β?a⊥β a⊥α，a⊥β?α∥β

5.操作確認(rèn)2再次提升學(xué)生的核心素養(yǎng)

階段五：在更特殊的空間幾何體——正方體中，作出兩條直線(xiàn)a，b，獲得a∥b的結(jié)論.

例2 如圖8，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，嘗試在正方體的兩個(gè)不同平面內(nèi)，各作出一條直線(xiàn)，記作a，b，若a∥b，試分析a，b應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？

經(jīng)過(guò)對(duì)多個(gè)學(xué)生的作圖情況進(jìn)行投影展示，師生合作，共同總結(jié)出獲得a∥b的結(jié)果的情況：

（1）如圖9，a，b分別在正方體的兩個(gè)相對(duì)平面內(nèi)，此時(shí)直線(xiàn)a，b必為這兩個(gè)面與第三個(gè)平面的交線(xiàn)（面面平行的性質(zhì)定理：面面平行?線(xiàn)線(xiàn)平行）.

（2）如圖10，a，b分別在正方體的兩個(gè)相鄰平面內(nèi)，此時(shí)直線(xiàn)a，b必與這兩個(gè)面的交線(xiàn)平行（公理4：線(xiàn)線(xiàn)平行的傳遞性）.

圖8

圖9

圖10

【設(shè)計(jì)意圖】開(kāi)放性自主活動(dòng)的設(shè)置，實(shí)質(zhì)是線(xiàn)面垂直性質(zhì)探究過(guò)程的類(lèi)比應(yīng)用，既鞏固本節(jié)課的所學(xué)知識(shí)，又能引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立開(kāi)展線(xiàn)線(xiàn)平行結(jié)論的獲得過(guò)程的探究，并能在小組合作中，將自己與組員間的所得結(jié)果進(jìn)行分析討論，再次深刻體驗(yàn)到以平面或直線(xiàn)為橋梁，在“平行”與“平行”、“平行”與“垂直”之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸的過(guò)程，并總結(jié)出獲得結(jié)果的可能情況.

6.總結(jié)提升實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)理解

階段六：課堂小結(jié).

本節(jié)課，我們從實(shí)際出發(fā)，感知來(lái)自于生活中的線(xiàn)面垂直和線(xiàn)線(xiàn)平行的位置關(guān)系，借助一個(gè)橋梁——直線(xiàn)或平面，圍繞一個(gè)中心——平行或垂直，經(jīng)歷了一次數(shù)學(xué)的探究過(guò)程，如圖11所示.

圖11

應(yīng)用了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)了線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化：

線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系?線(xiàn)面關(guān)系?面面關(guān)系

并嘗試應(yīng)用了反證法來(lái)進(jìn)行邏輯證明，體會(huì)正難則反的思想方法：

【設(shè)計(jì)意圖】師生一起回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)與探究歷程，體會(huì)幾何學(xué)習(xí)的“直觀感知—大膽猜想—操作確認(rèn)—思辨論證—結(jié)果應(yīng)用”的認(rèn)識(shí)過(guò)程，感受線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面及面面之間的轉(zhuǎn)化與化歸，以及反證法的應(yīng)用思想與證明過(guò)程.

五、教學(xué)反思

正所謂“幾何之務(wù)不知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然”，在這節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)上，基本做到了自然流暢，先設(shè)計(jì)活動(dòng)，進(jìn)行了一系列的操作與探索.引入生活實(shí)際，以學(xué)生活動(dòng)為載體，大膽猜想與小心求證相結(jié)合，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生積極參與課堂活動(dòng)，成為課堂的主人；教師對(duì)學(xué)生所猜想的結(jié)論進(jìn)行點(diǎn)撥引導(dǎo)和總結(jié)歸納，發(fā)揮自身在教學(xué)中的主導(dǎo)地位；通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和圖像語(yǔ)言的書(shū)寫(xiě)，實(shí)現(xiàn)了從直觀到抽象、從操作到數(shù)學(xué)性質(zhì)的過(guò)程.

實(shí)踐表明，只要給學(xué)生充分的時(shí)間，給予學(xué)生足夠和明確的引導(dǎo)，學(xué)生就可以通過(guò)自己的努力和小組合作，大膽猜想和歸納出幾何的性質(zhì)，盡管在符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的書(shū)寫(xiě)中，還存在不足，但相信，只要我們?cè)谡n堂內(nèi)外，能夠充分信任學(xué)生，讓學(xué)生在快樂(lè)有趣的氣氛中，引導(dǎo)學(xué)生去經(jīng)歷“直觀感知—大膽猜想—操作確認(rèn)—思辨論證—結(jié)果應(yīng)用”的過(guò)程，就可以讓學(xué)生既掌握文化知識(shí)，又學(xué)到了思想方法，既提高探究能力，又增強(qiáng)了合作意識(shí)，既領(lǐng)悟性質(zhì)探究過(guò)程，又促進(jìn)了學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，真正實(shí)現(xiàn)高效課堂的教學(xué)目標(biāo).

1.《人民教育》編輯部.核心素養(yǎng)：重構(gòu)未來(lái)教育圖景［J］.人民教育，2015（7）.

2.顧明遠(yuǎn).核心素養(yǎng)：課程改革的原動(dòng)力［J］.人民教育，2015（13）.

3.吳洪生.基于核心素養(yǎng)的“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)案例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（9）.

4.孫宏安.談數(shù)學(xué)抽象［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（3）.

5.江志杰.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的立體幾何教學(xué)思考［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2016（12）.F