基于小波時間延遲估計的寬帶信號波束形成算法研究

劉 影，謝 馳

(1.電子科技大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院 成都 611731；2.四川大學(xué)電子信息學(xué)院 成都 610065)

目前自適應(yīng)陣列信號處理技術(shù)在雷達、聲納和移動通信系統(tǒng)中有著越來越多的重要應(yīng)用[1]。寬帶信號波束形成算法可以采用時域和頻域分析方法。文獻[2]采用基于均勻一致性旁瓣級的設(shè)計方法，將寬帶信號用一組有限脈沖響應(yīng)(finite impulse response, FIR)濾波器來擬合，從而實現(xiàn)恒定束寬的波束形成。但該方法存在迭代收斂步長難以確定的問題，因而算法精度不高，收斂速度慢。FIR抽頭系數(shù)較多，雖然可以采用無限脈沖響應(yīng)(infinite impulse response, IIR)減輕矩陣運算的高復(fù)雜性，但IIR算法的不穩(wěn)定性也使得IIR算法的收斂速度變慢[3]。時域的自適應(yīng)濾波處理雖然對窄帶干擾具有較好的抑制能力，但對濾波算法的穩(wěn)定性要求較高，且時域收斂速度較慢，不適合用于干擾快速變化的情況[4-5]。

頻域方法對陣列接收數(shù)據(jù)按照頻率進行分塊，并通過離散傅里葉變換(discrete Fourier transform,DFT)將時域數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成頻域數(shù)據(jù)，由于在子塊中信號頻寬較窄，可以通過獨立的窄帶波束形成器實現(xiàn)波束成形，最后通過合成實現(xiàn)寬帶信號波束成形[6]。文獻[7-8]分別采用頻率矩和滑動窗函數(shù)的方法，在有效地進行寬帶波束形成的同時也抑制了寬帶干擾。而小波算法可以根據(jù)頻率的高低自動調(diào)節(jié)窗口大小，是一種自適應(yīng)的時頻分析方法，可以實現(xiàn)數(shù)據(jù)實時性處理能力的提高。

對于陣列信號處理技術(shù)中的波束形成方法，目前最廣泛采用的是最小方差無失真響應(yīng)(minimum variance distortionless response, MVDR)波束合成、對角加載方法、旁瓣對消器(generalized sidelobe canceller, GSC)[9-12]。目前對波束形成技術(shù)的使用往往是在已知接收信號頻率帶寬的情況下進行的，然而在實際通訊中隨著城市中建筑物的增多，在無線通訊中接收端不可避免地接收到多徑信號。由于多徑效應(yīng)而產(chǎn)生的不同時間延遲擴展信號，使波束形成系統(tǒng)的通信質(zhì)量下降。因此精確的時間延遲估計(time delay estimation, TDE)是提高波束形成精確度的重要內(nèi)容。文獻[13-14]提出了基于強噪聲干擾的廣義相關(guān)時間延遲估計測量算法，文獻[15-16]提出了高階與分數(shù)階累積量方法，但是對于寬帶信號時域算法的抗噪聲性能降低，而頻域算法無法提供足夠多的有效頻率采樣點，現(xiàn)有的時間延遲算法效果不理想[17-18]。因此，本文提出了一種基于時間延遲估計的寬帶信號波束形成方法，該方法通過引入加權(quán)函數(shù)因子，并對每次波束圖主瓣迭代所獲得的時間延遲估計值和實際期望信號的時延估計值之間誤差與系統(tǒng)預(yù)存閾值相比較，從而不斷迭代加權(quán)函數(shù)得到期望波束圖的主瓣方向，形成整體的自適應(yīng)波束。該算法在降低計算低復(fù)雜度和提高收斂速度方面具有一定優(yōu)勢。

1 接收信號的時間延遲模型分析

時間延遲估計是利用對不同的接收器接收到信號的時間差進行估計，從而確定信源的距離、方位、速度和移動方向等相關(guān)參量。設(shè)發(fā)射信號為x(t)，采樣信號時間間隔為Ts，經(jīng)過陣元個數(shù)為M的陣列系統(tǒng)采樣后的接收信號為：

式中，I為多徑的數(shù)目；τi和τ分別為第i個多徑路線所產(chǎn)生的時間延遲和系統(tǒng)產(chǎn)生的總時間延遲量；x(t)為發(fā)射信號的采樣值；n(t)為零均值噪聲；ai為第i個路線的幅度。將接收到的多徑信號進行泰勒公式展開，得：

對y(t+τ)進行泰勒公式展開，有：

陣列系統(tǒng)接收到的時間延遲誤差τ近似為：

2 基于小波濾波器組的時間延遲估計

設(shè)小波母函數(shù)ψ(t)為一平方可積函數(shù)，假定所要分析的函數(shù)是任意函數(shù)f(t)，設(shè)pj f(t)代表f(t)在子空間Vj上的投影，該投影可以用小波變換的尺度空間的線性組合來表示，有：

式中，cj,k是各線性組合的權(quán)值。設(shè)為在子空間Vj+1上的投影，則：

式(9)和式(10)表明，經(jīng)j?1尺度空間的尺度系數(shù)和抽頭長度為2k的h(k)濾波器和g(k)濾波器的加權(quán)求和可以得到j(luò)尺度空間的尺度系數(shù)和小波系數(shù)。第j級小波分解對應(yīng)的矩陣(J為分解層數(shù))為：

小波分解的矩陣表達式為：

因此，小波濾波器h(k)和尺度濾波器g(k)將信號分解為低頻分量和高頻分量，從而減小了信號的相干性，提高自適應(yīng)信號處理的速度。圖1為基于多通道小波算法的時間延遲估計框圖。

圖1 基于多通道小波濾波器組的時間延遲估計結(jié)構(gòu)圖

對基于多通道小波算法的多通道數(shù)據(jù)采集中，通道抽取數(shù)目設(shè)為P個，每一通道中的信號分解級數(shù)為J，則算法步驟為：

1)對發(fā)射信號x(t)先進行P次多速率抽取，得到P個子帶信號，再對每個子帶信號進行j級小波變換，獲得逼近信號Cp,j,x和細節(jié)信息Dp,j,x，同時對接收信號y(t)進行P次多速率抽取，得到P個子帶信號，然后對每個子帶信號進行j級小波變換，得到逼近信號和細節(jié)信息，其中

2)在第p個子帶的第j級上，對逼近信號Cp,j,x和細節(jié)信息分別進行延時并與和比較，找到使平方誤差最小的時延τp，其中：

3)設(shè)τp為小波變換第j級得到的時間延遲估計值，計算實際信號的時間延遲估計值

3 基于小波時間延遲估計的波束形成算法

可以根據(jù)接收到期望用戶的信號特征對系統(tǒng)中已經(jīng)預(yù)存的多個波束進行補償，達到在空間中形成整體自適應(yīng)波束的目的，從而通過多波束形成技術(shù)有效增加波束的覆蓋能力。波束切換方法在多波束中對期望信號的方向進行跟蹤，因而新算法只需優(yōu)化子波束，避免計算復(fù)雜的高維系統(tǒng)矩陣，降低系統(tǒng)成本。本文設(shè)計的基于小波時間延遲估計的波束形成算法可以分為二級優(yōu)化處理過程。第一級是對均勻線陣進行多波束運算，在空間中覆蓋整個輸出波束的K個子波束；第二級是對子波束中最接近期望信號方向的子波束，通過實際的期望信號方向和估計期望信號方向到達陣元的迭代的延時估計值誤差與設(shè)定的閾值進行比較，最終獲得主瓣指向期望信號的多波束方向圖。在第一系統(tǒng)級中，信號源X(f,θ)被具有M個陣元的均勻線陣接收，并進行K(K≤M)點的離散傅里葉變換形成多波束，其中第k個波束的表達式為：

假設(shè)一個16陣元的均勻線陣，陣元間距為λ/2，離散傅里葉波束形成器輸出16個波束，分別為k=?8,?7,?6,…,6,7，則通過式(14)可以得到16個波束中每個波束相應(yīng)的方位角：90°, ±61.04°, ±48.59°,±38.68°, ±30°, ±22.02°, ±14.48°, ±7.18°, 0°。因此，對于實際期望方向與多波束形成的方向有誤差時，可以在陣元之間插入相移動時波束圖的主瓣方向?qū)势谕盘柗较?，但相移是頻率函數(shù)，因而多用于對窄帶信號源的波束形成處理中。對于寬帶信號源，可以在數(shù)據(jù)處理中插入時間延遲估計值來補償已知的權(quán)重，形成波束的主瓣方向與實際期望信號的方向一致。設(shè)第k個子波束的主瓣方向最接近期望信號的方向，該子波的波束圖為參考波束與期望波束的主瓣響應(yīng)之間的相位差為ξ。對于已知的波束主瓣區(qū)域為其中θNL和θNR分別為主瓣區(qū)域的左角度和右角度。對于子波第i+1次迭代后的波束圖為，其中為在該區(qū)間離散化值，波束圖的迭代調(diào)整為：

式中，τ*為在子波速方向的信號到達陣列的延時估計值；τ為期望信號方向到達陣元的延時估計值；ε為閾值，由τ*與τ之間的允許誤差值確定；Km是波束主瓣區(qū)域的迭代增益。根據(jù)最小均方誤差準則使輸出估計誤差ε的均方值最小，通過拉格朗日乘子法可得：

式中，a為方向?qū)蚴噶俊?/p>

根據(jù)式(16)解得第i+1次迭代的波束形成加權(quán)向量為：

本文提出的波束形成算法步驟為：

1)通過多波束形成算法式(14)在空間形成多個子波束，尋找最接近期望信號方向的子波束，對相位誤差區(qū)域離散化，初始化Km,ε；

3)通過式(19)計算新的加權(quán)向量和波束圖；

4)計算實際的期望信號方向和估計期望信號方向到達陣元的時間延遲估計值之間的誤差，并設(shè)定允許的誤差值為ε，如果誤差值小于ε則停止迭代，否則轉(zhuǎn)到步驟2)。

4 仿真計算

首先對寬帶線性調(diào)頻接收信號進行時間延遲估計，假設(shè)陣列接收到的信號帶寬為B=200 kHz ，載波頻率為，系統(tǒng)的采樣頻率為采樣點數(shù)為1 024點，信號函數(shù)表達式為：

式中，K=B/T，設(shè)系統(tǒng)接收到的信號是由3個多徑信號相加構(gòu)成：每個信號的幅度分別為當(dāng)信噪比為15 dB時，小波濾波器分解次數(shù)為4次。圖2為基于小波函數(shù)的時間延遲估計誤差曲線。

圖2 時間延遲估計誤差曲線

從圖2看以出，小波濾波器組在第4級時的估計時間延遲τp分別為10、18、24 ns，信號的時間延遲為(j為小波函數(shù)級數(shù)為4，P為濾波器的階數(shù)8)，可見基于多通道小波濾波組的時延估計為由此可見基于多通道小波濾波器組的時延估計方法能正確估計出信號的實際時延。

設(shè)多波束形成系統(tǒng)為一個8陣元的均勻線陣，陣元間距為λ/2，K=8，形成8個子波束，角度區(qū)域為[?90°,90°]，通過式(14)得到每個波束的方位角為90°,±48.59°, ±30°, ±14.48°, 0°。圖3為該多波束算法的波束圖。信噪比為SNR=30dB的期望信號入射方向θ=40°。對子波束的主瓣方向與實際期望信號方向的誤差角度區(qū)域以間隔1°進行離散化，得到N=8個離散角度，主瓣迭代增益Km=0.1，主瓣區(qū)域設(shè)計能容忍的誤差最大值ε=0.05μs ，根據(jù)給出的方法進行加權(quán)迭代。圖4a為基于小波時間延遲的波束形成算法的波束圖，圖4b為波束形成誤差迭代圖。

圖3 多波束算法的波束圖

圖4 基于小波時間延遲的波束形成算法

從圖3可知，由于經(jīng)過離散傅里葉運算子波束呈sinx/x的形狀，具有良好的正交性，但圖中的子波束的指向性相對實際的期望信號具有一定的相位誤差，需要進行修正。

從圖4a可知，經(jīng)過引入加權(quán)函數(shù)因子，通過不斷迭代加權(quán)函數(shù)進一步使子波束的主瓣方向優(yōu)化擬合期望信號方向，通過迭代計算后選擇的子波束能夠?qū)ζ谕盘栍泻芎玫闹赶蛐?，但其他子波束之間仍具有良好的正交性，從而可以獲得整個信號空間的波束圖。從圖4b看出經(jīng)過80次迭代后時延誤差小于給定閾值。

5 結(jié)束語

本文基于小波多分辨方法的時間延遲估計算法，通過小波的分解與重構(gòu)算法在不同的分辨率級別上進行時延估計，以提高時延估計的準確性和算法的速度。本文提出通過引入加權(quán)函數(shù)因子，對每次迭代產(chǎn)生的主波束的時間延遲估計值和預(yù)存期望方向主波束的時間延遲估計值進行誤差比較的多波束形成算法，通過對加權(quán)函數(shù)的不斷迭代得到期望的主瓣方向，從而在空間中形成整體的自適應(yīng)波束圖。

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