識別流網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點的虛擬外界投入產(chǎn)出分析法

朱為華，劉 凱，閆小勇，汪 明，吳金閃

(1.北京師范大學(xué)地表過程與資源生態(tài)國家重點實驗室 北京 海淀區(qū) 100875；2.北京師范大學(xué)環(huán)境演變與自然災(zāi)害教育部重點實驗室 北京 海淀區(qū) 100875；3.北京師范大學(xué)地理科學(xué)學(xué)部 北京 海淀區(qū) 100875；4.北京交通大學(xué)交通系統(tǒng)科學(xué)與工程研究院 北京 海淀區(qū) 100044；5.北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 北京 海淀區(qū) 100875)

許多實際的復(fù)雜系統(tǒng)都可以抽象為節(jié)點之間存在物質(zhì)、能量或信息等流動關(guān)系的流網(wǎng)絡(luò)[1]。典型的流網(wǎng)絡(luò)包括金融機(jī)構(gòu)之間有資金流動的金融網(wǎng)絡(luò)[2]、地點之間有客流或貨流的交通運輸網(wǎng)絡(luò)[3]、論文之間存在引用關(guān)系(一種信息的流動)的科學(xué)引文網(wǎng)絡(luò)[4]、物種之間存在能量流動的食物鏈網(wǎng)絡(luò)[5]等。在這些流網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性研究中(實際上是整個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究領(lǐng)域中)的一個核心問題是：如何對網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點進(jìn)行識別[6-8]？在這里，節(jié)點是否“關(guān)鍵”或者說節(jié)點的“中心性”可以根據(jù)所研究問題的特點而有不同的衡量標(biāo)準(zhǔn)。如，從網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的角度，可以認(rèn)為擁有更多直接或間接鄰居的節(jié)點更為重要，據(jù)此可定義度中心性、H指數(shù)[9]、核數(shù)[10]等節(jié)點中心性評估指標(biāo)；從網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點間最短路徑的角度，可以認(rèn)為通過最短路徑最多的節(jié)點或與其他節(jié)點的平均最短距離最小的節(jié)點更為重要，據(jù)此可定義介數(shù)中心性[11]或鄰近中心性[12]等指標(biāo)。類似地，還有很多節(jié)點中心性指標(biāo)可以從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或功能的不同角度來進(jìn)行定義，文獻(xiàn)[6-7]對主要的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點中心性指標(biāo)進(jìn)行了非常全面的綜述和深入的討論。本文更為關(guān)心的是：在一般的含有流的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，如何衡量節(jié)點在整個流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的影響力——這種影響力既包括節(jié)點出入流的直接影響(如在一個草原生態(tài)系統(tǒng)中，植物對食草動物的能量流供給)，也會考慮節(jié)點間的間接影響(如植物間接供給捕食食草動物的禽獸的能量)。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的投入產(chǎn)出分析法[13]為前述問題提供了一種可以借鑒的解決手段。標(biāo)準(zhǔn)的投入產(chǎn)出分析法是用來處理國民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中生產(chǎn)和消費部門之間的投入產(chǎn)出問題的一種方法。在這種系統(tǒng)中，每個生產(chǎn)部門都會生產(chǎn)產(chǎn)品，一部分可能被用于最終消費部門的消費，另一部分可能被作為生產(chǎn)資料投入到其他部門的生產(chǎn)活動中。通過假設(shè)刪除某一個部門后，觀察系統(tǒng)總產(chǎn)出的減少量，即可作為評估該生產(chǎn)部門重要性的一種指標(biāo)。投入產(chǎn)出分析法很容易從部門構(gòu)成的經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展應(yīng)用到很多其他網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中。如可以將食物鏈網(wǎng)絡(luò)中的每個物種看成一個部門，物種A食用物種B就可以看作是部門B投入給了部門A。但是，標(biāo)準(zhǔn)的投入產(chǎn)出分析法只能用于帶有外界消費部門的開放系統(tǒng)中。而對于一些實際的流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，這樣的外界可能并不直接存在(例如科學(xué)引文網(wǎng)絡(luò))或者外界的流入流出數(shù)據(jù)并不容易獲得(例如交通運輸網(wǎng)絡(luò))。對于這樣缺乏外界的封閉流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，標(biāo)準(zhǔn)的投入產(chǎn)出分析法并不能直接應(yīng)用。最近，文獻(xiàn)[14]提出一種對封閉流網(wǎng)絡(luò)的投入產(chǎn)出矩陣施加微擾求取逆矩陣的方法來計算網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的影響力，并應(yīng)用于學(xué)科領(lǐng)域影響力的評估問題中。但在這種方法的計算過程中，由于施加的微擾破壞了矩陣的稀疏性，導(dǎo)致計算效率降低，難以應(yīng)用于大規(guī)模封閉流網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵節(jié)點識別。

本文提出另外一種基于投入產(chǎn)出分析法的封閉流網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點識別方法。在封閉流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中引入一個虛擬的外界節(jié)點，并將此外界節(jié)點與網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點建立雙向連接，同時設(shè)置外界節(jié)點到網(wǎng)絡(luò)某原有節(jié)點的流入量等于該節(jié)點實際流出量的總和，設(shè)置從網(wǎng)絡(luò)某原有節(jié)點到外界節(jié)點的流出量等于該節(jié)點實際流入量的總和。通過這種方式處理后，就可以直接將標(biāo)準(zhǔn)的投入產(chǎn)出分析法應(yīng)用到封閉流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的關(guān)鍵節(jié)點識別中。本文將首先介紹這一方法的原理和細(xì)節(jié)，然后給出這一方法的應(yīng)用實例，并將其評估結(jié)果與一些流網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點識別經(jīng)典算法的結(jié)果進(jìn)行對比。

1 虛擬外界投入產(chǎn)出分析

1.1 投入產(chǎn)出分析

投入產(chǎn)出分析是研究經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中各個部門之間投入與產(chǎn)出的相互依存關(guān)系的一種經(jīng)濟(jì)數(shù)量方法[13]。假設(shè)某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中共有N個部門，用表示部門i投入到部門j的價值，則部門間直接的投入產(chǎn)出系數(shù)可定義為第j部門產(chǎn)出單位價值所消耗第i部門的價值：

式中，X j表示部門j的總產(chǎn)出價值：

如果令其中的部門N表示最終消費者，則其他部門投入到部門N的價值可記為：

根據(jù)式(1)～式(3)，有：

于是前N?1個生產(chǎn)部門的產(chǎn)出量可以寫成如下形式：

式(5)也可以寫成如下形式：

1.2 虛擬消去法

虛擬消去法(hypothetical extraction method,HEM)[15]是傳統(tǒng)投入產(chǎn)出分析中用來衡量某個部門k的重要性的一種標(biāo)準(zhǔn)方法。HEM通過假設(shè)從N?1個生產(chǎn)部門中刪除一個部門k，然后計算新的系統(tǒng)中剩余的N?2個生產(chǎn)部門的產(chǎn)出量：

式中，Y(?N?k)是刪除第k和第N個元素后的Y向量；是刪除第k和第N個部門后的投入產(chǎn)出矩陣。那么，部門k的重要性就可以用去除部門k后系統(tǒng)總的產(chǎn)出量相對于原系統(tǒng)中總的產(chǎn)出量的減少比例Hk來衡量：

H k越大，說明部門k在整個經(jīng)濟(jì)活動中的地位越重要。

1.3 虛擬外界的引入

前述投入產(chǎn)出分析法和HEM很容易擴(kuò)展到一些流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的節(jié)點中心性評估問題中，只要網(wǎng)絡(luò)中存在節(jié)點i到j(luò)的流量，并且存在一個最終匯入所有其他節(jié)點剩余流量的外界節(jié)點。食物鏈網(wǎng)絡(luò)是一個符合上述要求的典型網(wǎng)絡(luò)。在食物鏈網(wǎng)絡(luò)中，某物種節(jié)點上產(chǎn)出的能量除了被另一些物種節(jié)點消耗外，剩余的部分會耗散到“自然界”這個外界節(jié)點中。像食物鏈網(wǎng)絡(luò)這種存在實際外界節(jié)點的系統(tǒng)和存在最終消費者的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，都可以被稱為是開放網(wǎng)絡(luò)流系統(tǒng)。但在更多一般的流網(wǎng)絡(luò)中，像最終消費者這樣的和產(chǎn)業(yè)部門不一樣的外生部門是很難找到的，將這種不存在或不顯式存在外界節(jié)點的流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)稱為封閉流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。為評估封閉流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中各節(jié)點的重要性，受文獻(xiàn)[16]的啟發(fā)，本文提出一種為網(wǎng)絡(luò)增加虛擬外界節(jié)點的方法。文獻(xiàn)[16]提出的LeaderRank算法，通過在原始網(wǎng)絡(luò)中添加一個超級節(jié)點與所有節(jié)點雙向相連的方法，能夠處理社交網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點影響力排序問題。本文將這種方法推廣到一般的封閉流網(wǎng)絡(luò)中：本文在網(wǎng)絡(luò)中增加一個虛擬的外部節(jié)點n，并且將它與網(wǎng)絡(luò)中已有的所有節(jié)點雙向連接，并設(shè)置外界節(jié)點到網(wǎng)絡(luò)某原有節(jié)點的流入量等于該節(jié)點實際流出量的總和，設(shè)置從網(wǎng)絡(luò)某原有節(jié)點到外界節(jié)點的流出量等于該節(jié)點實際流入量的總和。通過這種方式處理后，就可以直接將式(1)～式(8)中標(biāo)準(zhǔn)的投入產(chǎn)出分析法應(yīng)用到封閉流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的關(guān)鍵節(jié)點識別中。

1.4 計算方法

在使用式(7)計算刪去節(jié)點k后系統(tǒng)的產(chǎn)出量時，涉及到矩陣1?B(?N?k)的逆矩陣求解，對于大規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)這一過程是較為耗時的。在這里本文可以使用簡單迭代法[17]來求解。由于式(7)可以化為等價的方程組：

根據(jù)上式構(gòu)造如下迭代公式：

式中，m為當(dāng)前迭代次數(shù)，初始條件可取根據(jù)式(1)可知投入產(chǎn)出矩陣B是一個列歸一化矩陣，其最大特征值為1[13]。而迭代矩陣B(?N?k)是在B中刪去了兩行兩列，因此其最大特征值(即譜半徑)一定小于1。由線性方程組簡單迭代法收斂的充分必要條件是迭代矩陣譜半徑小于1[17]可知，式(10)的迭代過程一定收斂。在本文的后續(xù)實例計算中，本文設(shè)定的迭代控制條件為

2 虛擬外界投入產(chǎn)出分析在鐵路網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵站點識別中的應(yīng)用

2.1 數(shù)據(jù)與網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法

本文通過一個中國鐵路網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵站點識別的實例來演示虛擬外界投入產(chǎn)出分析法的應(yīng)用過程。本文所采用的實驗數(shù)據(jù)包括：1)2015年中國鐵路網(wǎng)絡(luò)矢量地圖，數(shù)據(jù)下載自O(shè)penStreetMap；2)2015年中國鐵路開行的所有客運車次，數(shù)據(jù)下載自中國鐵路客戶服務(wù)中心網(wǎng)站。首先基于鐵路網(wǎng)絡(luò)矢量地圖數(shù)據(jù)構(gòu)建了2015年的中國鐵路網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。為了便于分析，對上述鐵路網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行適當(dāng)簡化，只保留了每個客運車次的首末站，以及鐵路線路交叉點處的車站，并合并了相應(yīng)的連邊。得到的簡化鐵路網(wǎng)絡(luò)中共有節(jié)點529個，有向邊1 356條。

將車站作為投入產(chǎn)出模型中的各個部門，將兩個相鄰車站間的運行車次數(shù)量作為投入或產(chǎn)出的流量，建立起含流的鐵路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上，加入一個虛擬的外界節(jié)點和每個節(jié)點進(jìn)行連接，并設(shè)置虛擬節(jié)點到各個節(jié)點的流量等于該節(jié)點流出量的和，各個節(jié)點到虛擬節(jié)點的流量等于該節(jié)點流入量的和。

2.2 投入產(chǎn)出分析法的評估結(jié)果

將式(8)中的投入產(chǎn)出虛擬消去法應(yīng)用于上述鐵路網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點重要性評估，可以發(fā)現(xiàn)投入產(chǎn)出模型得到的重要站點在中國鐵路網(wǎng)絡(luò)的地理空間上分布集中，主要分布在京滬線、京廣線和京哈線3條重要的線路上。京哈-京廣線連接了華北、華中與華南，是我國鐵路網(wǎng)的中軸和運量最大的南北大動脈，因此該線路上的站點是極為重要的鐵路樞紐；京滬鐵路經(jīng)過東部人口密集、經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)，沿線有許多重要工業(yè)城市，站點發(fā)車次數(shù)多，當(dāng)站點去除后，對中國東部沿海的經(jīng)濟(jì)以及人員流動影響巨大。有針對性地對投入產(chǎn)出法識別出的這些重要站點加權(quán)保護(hù)，對維持網(wǎng)絡(luò)整體運輸能力和提升鐵路網(wǎng)絡(luò)的魯棒性都具有實際意義。

2.3 與PageRank算法的對比

PageRank算法[18]是識別流網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵節(jié)點的常用方法，其基本思想是：網(wǎng)絡(luò)中一個節(jié)點的重要性取決于指向它的其他節(jié)點的數(shù)量和重要性。本文將PageRank算法用于中國鐵路網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵站點識別問題中，結(jié)果顯示PageRank算法識別出的重要站點主要分布在每個區(qū)域路網(wǎng)的局域中心上。

圖1 投入產(chǎn)出和PageRank算法得到的鐵路網(wǎng)絡(luò)站點重要性排序?qū)Ρ?/p>

圖1給出了投入產(chǎn)出方法和PageRank算法得到的站點重要性排序?qū)Ρ冉Y(jié)果。從圖1中可以看到，PageRank算法與投入產(chǎn)出法得到的站點排名整體上具有一定的相關(guān)性，兩者的皮爾森相關(guān)系數(shù)r=0.808。對于一些公認(rèn)的重要站點(如北京、廣州和武漢等)，兩種方法都給出了近似的排序。但是在有些站點的排序中兩種方法的結(jié)果差異較大。例如，賓陽站和吐魯番站在PageRank算法中分別排第4名和第8名，而這兩個站點的投入產(chǎn)出排名則分別為第69名和第174名。賓陽站位于中國南部地區(qū)，站點的運行車次較少。但在賓陽站的3個鄰居站點中，排名17南寧站的68%的車次、排名67的柳州站50%的車次以及排名81的貴港站52%的車次都通過了賓陽站，這使得賓陽在PageRank算法的結(jié)果中取得了更高的排名，體現(xiàn)了PageRank算法“節(jié)點的重要性取決于指向它的其他節(jié)點的數(shù)量和重要性”這一思想。但PageRank算法認(rèn)為賓陽站的重要性在全國鐵路站點中排名第4，與該站點在鐵路運輸系統(tǒng)中的實際地位并不相符。相較而言，本文的投入產(chǎn)出方法對該站點的排序則更為可信。上海站是另外一個典型的例子：該站在投入產(chǎn)出方法中排名14位，而在PageRank算法排名中則只位于152位。整體而言，投入產(chǎn)出分析法給出的站點重要程度排序與人們對車站重要性的直觀認(rèn)識更為符合。

3 虛擬外界投入產(chǎn)出分析在世界糧農(nóng)貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點識別中的應(yīng)用

本節(jié)以世界糧農(nóng)貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)作為分析對象，進(jìn)一步對虛擬外界投入產(chǎn)出分析法的應(yīng)用過程和特點進(jìn)行說明。

3.1 數(shù)據(jù)與網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建方法

本文所分析的世界糧農(nóng)貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集來自于文獻(xiàn)[19]，該數(shù)據(jù)集記錄了2010年全世界主要國家和地區(qū)之間的糧農(nóng)進(jìn)出口貿(mào)易額。本文將國家(或地區(qū))作為投入產(chǎn)出網(wǎng)絡(luò)中的各個節(jié)點，將國家(或地區(qū))A出口到國家(或地區(qū))B的糧農(nóng)貿(mào)易額作為節(jié)點A到B的流量，建立起含流的世界糧農(nóng)貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)。該網(wǎng)絡(luò)共包含節(jié)點213個，有向邊13 440條。圖2選取了流量排名前100的連邊繪制的世界糧農(nóng)貿(mào)易骨架網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)中的進(jìn)出口貿(mào)易額占原始網(wǎng)絡(luò)總貿(mào)易額的49.7%。圖中節(jié)點大小正比于相應(yīng)國家或地區(qū)的糧農(nóng)進(jìn)出口總額，連邊粗細(xì)正比于節(jié)點間貿(mào)易量。使用1.3節(jié)的方法，本文在原始網(wǎng)絡(luò)中加入一個虛擬的外界節(jié)點和每個節(jié)點進(jìn)行連接，并設(shè)置了虛擬節(jié)點到各個節(jié)點的流入流出量。

3.2 投入產(chǎn)出分析法與PageRank算法結(jié)果對比

本文分別將式(8)中的投入產(chǎn)出虛擬消去法和文獻(xiàn)[18]中的PageRank算法應(yīng)用于國際糧農(nóng)貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點重要性評估，得到的排序結(jié)果對比如圖3所示。從圖中可以看到，兩種方法的排序結(jié)果整體上具有一定的相關(guān)性，皮爾森相關(guān)系數(shù)r=0.703。這說明對于多數(shù)國家來說，這兩種方法給出的排序結(jié)果是較為接近的，如圖3中的中國、美國、德國等。但是仍有一些國家(或地區(qū))在這兩種方法給出的排序結(jié)果上有較大差異。如，PageRank算法對巴西、阿根廷等國家的排序遠(yuǎn)低于投入產(chǎn)出分析法的排序，而對日本、沙特阿拉伯、香港、澳門等國家或地區(qū)的排序則遠(yuǎn)高于投入產(chǎn)出方法的排序。

本文分別以巴西和日本這兩個國家為例，結(jié)合圖2和圖3，進(jìn)一步分析在世界糧農(nóng)貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)中投入產(chǎn)出和PageRank兩種方法對節(jié)點重要性排序差異的原因。巴西的糧農(nóng)進(jìn)出口總額中87.8%是出口額，是一個典型的糧農(nóng)出口國家。在巴西的糧農(nóng)出口總額中，34.9%的糧農(nóng)產(chǎn)品出口給了中國(在投入產(chǎn)出分析法中排名第2位)，因此巴西在整個國際糧農(nóng)貿(mào)易系統(tǒng)中的投入產(chǎn)出排名就更高(排名第6位)。而巴西的進(jìn)口糧農(nóng)產(chǎn)品主要來自阿根廷(見圖2)，由于阿根廷的PageRank排名很低，導(dǎo)致巴西的PageRank排名也不高。另一方面，從圖2中可以看到，日本是一個典型的糧農(nóng)進(jìn)口國家，從PageRank排名前兩位的美國和中國進(jìn)口了超過進(jìn)口總額44%的糧農(nóng)產(chǎn)品。根據(jù)PageRank“節(jié)點的重要性取決于指向它的其他節(jié)點的數(shù)量和重要性”的思想，日本的PageRank排名高達(dá)第4位。但日本糧農(nóng)出口額很小，只占進(jìn)出口總額的7.2%，因此其對于整個糧農(nóng)貿(mào)易系統(tǒng)的總產(chǎn)出貢獻(xiàn)很低，投入產(chǎn)出排名自然也較低，只列第18位。綜合比較，投入產(chǎn)出方法更為合理地反映出了不同國家和地區(qū)在整個世界糧農(nóng)貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)中的影響力。

圖2 世界糧農(nóng)貿(mào)易骨架網(wǎng)絡(luò)

圖3 投入產(chǎn)出和PageRank算法得到的貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)節(jié)點重要性排序?qū)Ρ?/p>

4 結(jié)束語

本文針對標(biāo)準(zhǔn)的投入產(chǎn)出分析方法不能識別缺乏外界流入流出量的封閉流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)節(jié)點重要性這一問題，通過在網(wǎng)絡(luò)中增加虛擬的外界節(jié)點將封閉流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為開放的流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，實現(xiàn)了一般的流網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵節(jié)點重要性的評估。本文以中國鐵路網(wǎng)絡(luò)和世界糧農(nóng)貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵節(jié)點識別問題為例，演示了虛擬外界投入產(chǎn)出分析法的應(yīng)用過程與結(jié)果，并將這種方法與PageRank方法進(jìn)行了對比。本文所提出的方法為在社會、生物和技術(shù)系統(tǒng)中廣泛存在的封閉流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[1-5]的節(jié)點重要性評估提供了一種可選的手段。

本文在投入產(chǎn)出分析的虛擬消去法中，假設(shè)當(dāng)一個節(jié)點被刪去后投入產(chǎn)出系數(shù)矩陣B中的元素是不變的，也就是說剩余節(jié)點之間的流量分布關(guān)系是保持不變的。但在一些實際的流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，當(dāng)某個節(jié)點被刪除后流量可能會進(jìn)行重新的分配。如何在現(xiàn)有的投入產(chǎn)出分析法中考慮流量重分配效應(yīng)，是一個需要進(jìn)一步探討的問題。

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