（2+1）-維5階KdV方程的相互作用解

孟 勇

（寧波大學(xué)，浙江 寧波 315211)

1 引言

世界的本質(zhì)是非線性，線性只是在某些條件下的近似。世界之所以色彩斑斕和變幻萬千，究其原因是事物之間存在著非線性的聯(lián)系。孤立子作為非線性科學(xué)的主要分支之一，對它的研究伴隨著整個非線性科學(xué)的發(fā)展，這也使得孤立子方程的求解成為重中之重的問題。在眾多學(xué)者的努力下，反散射方法[1]、李群與非經(jīng)典李群法[2－3]、達(dá)布變換[4－5]、函數(shù)展開法[6-9]等一系列求解方法應(yīng)運而生。

在孤立子領(lǐng)域中，Lump解[10-13]越來越受到研究者的關(guān)注。作為一種有理函數(shù)解，Lump解在空間的各個方向都是局域的。在文獻(xiàn)[14]中，通過Hirota雙線性方法[15-17]探究了Lump解與雙曲函數(shù)解之間的相互作用，對形成的新型怪波做出了科學(xué)的解釋，并且命名為共振怪波。作為補充與發(fā)展，本文以（2+1）-維5階KdV方程為例先探究了單孤子與呼吸子的相互作用解，發(fā)現(xiàn)了呼吸子被單孤子吞噬的現(xiàn)象，然后探究了Lump型孤子與單孤子之間的相互作用，揭示在相互作用過程中所表現(xiàn)出來的碰撞、反彈、吸收、分裂等粒子性特征以及背后所反映的物理學(xué)規(guī)律。除此之外，還對Lump型孤子進(jìn)行了動力學(xué)分析，求出了它運動軌跡、有效面積、有效動量等等動力學(xué)特征量。

2 單孤子與呼吸子的相互作用解

對于（2+1）-維 5階 KdV 方程

此方程類似于Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada（CDGKS）方程[18]，被廣泛的用于描述等離子體波、毛細(xì)管重力波等弱色散現(xiàn)象。

首先對方程進(jìn)行變換[19]

得到（2+1）-維5階KdV方程的雙線性形式：

式中 D 是雙線性算子，f=f（x，y，t）.

2.1 單孤子解

假設(shè)

然后將式（4）代入式（3），整理簡化為ε的冪次多項式后，令εi次冪前的系數(shù)為0。

對于 ε1，有

然后再假設(shè)

將式（6）代入式（5）得到

與此同時，在式（4）中選取 n=1，并令 ε =eη，得到

將式（8）代入式（2）后，得到（2+1）-維 5 階 KdV 方程單孤子解。

2.2 呼吸子解

設(shè)f的表達(dá)式為

然后將式（10）代入式（3）后，整理化簡為 exp（px+qy+ωt），sin（kx+ly+vt），cos（kx+ly+vt）的冪次多項式，并且令 exp（px+qy+ωt），sin（kx+ly+vt），cos（kx+ly+vt）的各次冪前的系數(shù)為 0，得到一組代數(shù)方程組，解得

然后將式（11）代入式（10）得

再利用式（2）就得到（2+1）-維5階KdV方程的呼吸子解（具體表達(dá)式過長，故不在此給出）。

在式（11）中取參數(shù)

然后畫出不同時刻的呼吸子的3D結(jié)構(gòu)圖（圖1）。

圖1 呼吸子解3D結(jié)構(gòu)圖

2.3 單孤子與呼吸子之間的相互作用

對于線性方程，解可以疊加，從而產(chǎn)生新類型的解。而KdV方程是非線性方程，其解不能直接進(jìn)行線性疊加，所以要研究單孤子解與呼吸子解的相互作用，只能在雙線性形式下才可以進(jìn)行解的疊加。下面將單孤子解與呼吸子解進(jìn)行組合疊加，設(shè)f的表達(dá)式為

然后將式（14）代入式（3），按照解呼吸子解類似的步驟得到其中的一組解為

再將式（15）代入式（14）得到

最后將式（16）代入式（2），得到單孤子與呼吸子的相互作用解。然后在式（16）式中設(shè)置參數(shù)

然后畫出不同時刻相互作用解的3D圖像（圖2）

圖2 單孤子與呼吸子的相互作用解的3D圖像

從圖2中可以看到呼吸子被單孤子的吞噬現(xiàn)象。

針對上述的現(xiàn)象可以進(jìn)行如下的解釋：

首先在式（16）中設(shè)

因此式（16）可以重寫為

從式（21）可以看出，當(dāng)取 k>p 時，代表單孤子的 1+exp（θ3）在 θ3<0 的區(qū)域里，導(dǎo)致 exp（θ3）0的區(qū)域里，exp（θ3）的增長速度將大于代表呼吸子中的 exp（θ1），同時注意到 cosθ2的變化范圍只能在±1 之間，所以只要 b1，b2，b3參數(shù)選取合適，對于該問題可以不考慮cosθ2的影響。于是在θ3→∞時，整體就表現(xiàn)出1+exp（θ3）所代表的單孤子的特征。因此才有上述呼吸子被單孤子吞噬的現(xiàn)象的發(fā)生。

3 相互作用解中的粒子性質(zhì)

3.1 Lump孤子解

設(shè)f的表達(dá)式為

式中f0為常數(shù)，。為一個關(guān)于常矢量的四維矢量

并標(biāo)注

再將式（22）～（24）代入式（3），然后整理化簡為 x，y，t冪次多項式，并且令 x，y，t的各次冪前的系數(shù)為0，得到一組代數(shù)方程組，解得

然后將式（25）代入式（22）得到

這里有兩個限制條件

最后利用式（2）得到（2+1）-維5階KdV方程的Lump解

選擇參數(shù)

得到

畫出t=0時刻的圖像（圖3）。

圖3 Lump孤子

從圖3可以看出Lump型孤子是由一個高聳的波峰和兩個淺淺的波谷組成。

在式（28）中分別對x，y求偏導(dǎo)數(shù)并且讓偏導(dǎo)數(shù)為0，得到3個駐點的坐標(biāo)，即

通過計算可得，在駐點（x1，y1）處的 Hessian矩陣和 uxx為

而在駐點（x2，y2）、（x3，y3）處 Hessian 矩陣和 uxx為

因此u在（x1，y1）處取極大值也是最大值，即波峰高度為

而 u 在（x2，y2）、（x3，y3）處取極小值也是最小值，即波谷深度為

然后在式 （31）～（36）中，（xi，yi）（i=1，2，3） 對時間 t求導(dǎo)以及把坐標(biāo)表達(dá)式聯(lián)立消去時間 t得到Lump孤子的運動速度及波峰和波谷的運動軌跡方程

選擇參數(shù)與式（29）相同，代入式（41）～（46）得到

并畫出Lump孤子的運動軌跡圖像（圖4）。

圖4 Lump型孤子的不同時刻位置與運動軌跡圖

同時注意到孤立子作為非線性系統(tǒng)中最重要的基本激發(fā)，在著名的FPU實驗[20]中可以看成分布在有限范圍內(nèi)，攜帶能量的振動模式。于是類比于振子的共振曲線的半寬度概念[21]，定義Lump型孤子有效面積，為其波峰高度一半與波谷深度一半所對應(yīng)面積之和。

將 t=0 代入式（30）中，得到

通過有效面積方程（54）～（55）計算出有效面積為

并畫出有效面積圖像（圖5）。

圖5 有效面積

同樣還可以定義Lump型孤子的有效體積為波峰與波谷的有效面積所對應(yīng)體積之和。

根據(jù)此定義可以計算出Lump型孤子的有效體積為

得到了有效體積之后，并假設(shè)Lump型孤子的密度為常數(shù)ρ，再利用式（49）式還可以算出Lump孤子的有效動能與有效動量的大小為

3.2 Lump孤子與單孤子的相互作用

在式（22）中將 Lump型孤子解形式寫成更為常見的形式[14，19，22-25]

然后將Lump型孤子解與單孤子解進(jìn)行疊加

將式（61）代入式（3），然后按照求單孤子解和Lump型孤子解類似的步驟解得兩組解

最后將式（62）或（63）代入式（61），并利用式（2）得到Lump孤子與單孤子的相互作用解。

在式（62）中，選取參數(shù)

畫出不同時刻Lump孤子與單孤子的相互作用解的圖像（圖6）。

圖6 單孤子吸收條紋孤子后的反彈現(xiàn)象

從圖6可以發(fā)現(xiàn)除了有如文獻(xiàn)[14，22-25]中提到的Lump型孤子被條紋孤子吞噬現(xiàn)象之外，還發(fā)現(xiàn)單孤子在與Lump型孤子碰撞并吸收Lump形孤子后，單孤子向著原來運動方向的反方向倒退，就如同粒子與粒子碰撞后發(fā)生反彈的過程一樣。

事實上，調(diào)整參數(shù)k1＝1.5，畫出不同時刻的密度圖（圖7）。

圖7 不同時刻密度圖

從圖7中可以看出當(dāng)把k1變大，單孤子在吸收Lump型孤子后并沒有發(fā)生之前的倒退現(xiàn)象，而是繼續(xù)向原方向前進(jìn)。這反映著單孤子動能變大，超過了Lump型孤子的動能，所以單孤子碰撞后還可以沿原方向繼續(xù)前進(jìn)。

在其它參數(shù)不變的情況下，再調(diào)節(jié)k1使之等于0.8，畫出不同時刻的運動圖像（圖8）。

圖8 Lump孤子追擊條紋孤子

從上圖中可以明顯看出，緩慢向前運動的單孤子在吸收了從后面快速追上來的Lump孤子之后，運動速度明顯變大了。

針對這一現(xiàn)象給出如下解釋：兩個不同速度的物體，同方向運動，當(dāng)兩者融合在一塊，根據(jù)動量守恒定律，整體速度就會大于原來速度慢的物體，而小于原來速度快的物體。

再調(diào)整參數(shù)k1，使之等于-0.8和-0.6。并分別畫出不同時刻圖像（圖9－10）。

圖9 單孤子在運動過程中向前吐出Lump型孤子

圖10 單孤子在運動過程中向后吐出Lump型孤子

從圖 9和圖 10可以看出條紋孤立子在運動過程中向前（k1＝-0.8）或向后（k1＝-0.6）吐出Lump型孤子，然后Lump孤子以更大的速度遠(yuǎn)離條紋孤子，而條紋孤子也繼續(xù)向原方向前進(jìn)。這相當(dāng)于粒子在運動過程中分裂成大小不同的兩部分并以不同的速度繼續(xù)運動，這同樣是物理學(xué)中重要的動量守恒定律（分動量變化，但變化前后總動量守恒）的體現(xiàn)。

4 結(jié)論

本文以（2+1）-維5階KdV方程為例，首先采用Hirota雙線性方法求出了方程的單孤子解呼吸子解以及Lump型孤子解，并且求出了Lump孤子的若干動力學(xué)特征量，尤其是有效面積和有效能量，這是以往文獻(xiàn)所沒有的。然后，通過單孤子解與呼吸子解疊加的方式探究兩者的相互作用，發(fā)現(xiàn)了呼吸子被單孤子吞噬的現(xiàn)象。最后，再通過Lump型孤子解與單孤子解疊加探究其相互作用中所顯示出來的粒子性特征（碰撞、反彈、分裂），這正說明孤立子作為一種準(zhǔn)粒子，具有能量、動量等粒子特征量。在以往的文獻(xiàn)中，只是簡單的將Lump型孤子解和exp（k1x+k2y+k3t）簡單相加，其中k1，k2，k3都是還沒有確定的任意常數(shù)，結(jié)果也只是會出現(xiàn)Lump型孤子被條紋孤子吞噬現(xiàn)象。

值得指出，本文沒有對Lump型孤子與單孤子解相互作用下所呈現(xiàn)出來的粒子性特征作仔細(xì)和全面的解釋，希望在今后的研究中有這方面的探究。

致謝：由衷感謝王玉女士對本文的幫助與貢獻(xiàn)。