基于建構(gòu)，提升認(rèn)知策略
——以“點(diǎn)到直線的距離”為例

李慧敏，夏雪蘭

(無(wú)錫衛(wèi)生高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇 無(wú)錫 214000)

0 引言

讓學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)公式推理的建構(gòu)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知策略，是數(shù)學(xué)教育所要實(shí)現(xiàn)的重要教學(xué)目標(biāo)之一。作者在執(zhí)教“點(diǎn)到直線距離”課程時(shí)，進(jìn)行了以下的探索與思考。

從認(rèn)知基礎(chǔ)看，學(xué)生對(duì)點(diǎn)、線的幾何和代數(shù)表示以及兩點(diǎn)間距離公式都很熟悉，雖然本課中的公式推導(dǎo)運(yùn)算繁瑣，但公式推廣應(yīng)用比較簡(jiǎn)單，所以如何調(diào)動(dòng)學(xué)生積極探索公式的形成則成為教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。

從本節(jié)課內(nèi)容來(lái)看，點(diǎn)到直線的距離公式是研究點(diǎn)與線、線與線，以及線與圓位置關(guān)系的橋梁，在本章起到承上啟下的作用，因此學(xué)好本節(jié)內(nèi)容，對(duì)后面的學(xué)習(xí)將起到事半功倍的效果。

從課型種類看，本課是命題課，對(duì)以后教學(xué)中的命題課公式推導(dǎo)具有一定的借鑒和指導(dǎo)意義。如：本課通過(guò)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題為起點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵：

要求PQ的長(zhǎng)，需求Q的坐標(biāo)→要求Q的坐標(biāo)，

需求PQ的方程→要求PQ的方程，

須知PQ的斜率→要求PQ的斜率，

須知直線l的斜率。

這些解決問(wèn)題的思維活動(dòng)帶有元認(rèn)知的特點(diǎn)，具有普適性，是教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)。

1 教學(xué)過(guò)程

1.1 溫故知新

師：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下兩點(diǎn)間的距離公式，如何判斷兩直線的位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：這些內(nèi)容對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)起到先行組織者的作用，幫助學(xué)生找到知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，有利于學(xué)生在此基礎(chǔ)上構(gòu)建新知識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)演變歷程。

1.2 新知探究

師生活動(dòng)：做一個(gè)設(shè)計(jì)師。

問(wèn)題1： 在一條高速公路附近有一家大型超市,為了使超市到高速公路的運(yùn)輸費(fèi)用最低,要鋪一條連接超市和高速公路的道路。請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)一下，怎樣鋪路可以使運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用最低?

生1：這實(shí)際上是一個(gè)求點(diǎn)到線的最短距離問(wèn)題，距離最短，費(fèi)用最短。作垂線段，并求之。

師：我們把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。如：求點(diǎn)P到直線Ax+By+C=0(其中A、B不全為0)最短距離，(考慮A、B全不為0的情形)。

生1：先確定垂足的位置，然后再求兩點(diǎn)的距離即可。

師：如何求垂足？

生1：可建立直角坐標(biāo)系，垂足即為直線與垂線的交點(diǎn)。

師：如何求垂線方程？

生1：利用斜率存在時(shí)，兩垂線斜率乘積等于-1，即可求出垂線方程，進(jìn)而求出兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)。

師：嗯，非常好，只是求點(diǎn)Q坐標(biāo)計(jì)算量有點(diǎn)大，還有沒有其他方法？

生2：設(shè)直線傾斜角為α，可以過(guò)P點(diǎn)做Y軸平行線交直線于點(diǎn)M，垂線段的長(zhǎng)度為PMcosα。

生3：過(guò)P點(diǎn)分別作X軸、Y軸垂線，交直線于點(diǎn)M、N，利用三角形等積法求解。

生4：可在直線上任取一點(diǎn)Q，求PQ兩點(diǎn)的最短距離(函數(shù)最值)。

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生積極思考，學(xué)生以獨(dú)立或合作探討的形式找尋問(wèn)題解決的方法和途徑。教育的目的是讓學(xué)生更好地思考，而教學(xué)是“使學(xué)生參與到那些促進(jìn)學(xué)習(xí)的事件和活動(dòng)中去，經(jīng)歷對(duì)數(shù)學(xué)自我建構(gòu)的過(guò)程,最大限度地發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性，真正將課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生真正做學(xué)習(xí)的主人。[1]

問(wèn)題2：若直線方程中A=0，或B=0，如何求點(diǎn)到線的距離，用什么方法比較簡(jiǎn)便？

設(shè)計(jì)意圖：從多個(gè)角度全面考慮點(diǎn)到直線的距離，滲透數(shù)形結(jié)合思想、方法，讓學(xué)生體會(huì)以形促數(shù)，以數(shù)助形的微妙之處。引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中辯證地看問(wèn)題，實(shí)事求是，特殊情況可以特殊對(duì)待。

1.3 深化理解公式

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)并具體指出公式特點(diǎn)：

公式的分子：保留直線方程一般式的結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了公式與直線方程的關(guān)系。

公式的分母：直線方程中兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的平方和再開方。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)的分析，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到公式結(jié)構(gòu)與點(diǎn)坐標(biāo)以及直線方程之間的關(guān)系，幫助學(xué)生形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展元認(rèn)知。[2]

1.4 知識(shí)的應(yīng)用

例1：回顧開頭的例子，現(xiàn)在我們來(lái)解決引例中的問(wèn)題。

如建立坐標(biāo)系，假設(shè)超市所在點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,3)，公路所在直線l：3x+4y+2=0,求點(diǎn)P到直線的距離。

設(shè)計(jì)意圖：鞏固加深對(duì)點(diǎn)到線距離公式的認(rèn)識(shí)，更要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活也運(yùn)用于生活，真切地體會(huì)到數(shù)學(xué)就在我們身邊。

學(xué)生活動(dòng)：求下列點(diǎn)到相應(yīng)直線的距離：

(1)P(1,2),l: 3x-2y+4=0

(2)P(3,-3),l:x+1=0

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固加深對(duì)點(diǎn)到線距離公式的認(rèn)識(shí)。

例2：求l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y+5=0距離

生1：可以在l1上任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)到l2的距離。

生2：可以在l2上任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)到l1的距離。

適當(dāng)?shù)淖兪?，可以幫助學(xué)生深化對(duì)公式的理解。

拓展題：已知A(1,3)，B(3,1)，C(-1,0),求△ABC的面積。

設(shè)計(jì)意圖：意在鞏固兩點(diǎn)間距離和點(diǎn)到線的距離公式，幫助學(xué)生構(gòu)建穩(wěn)固的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

1.5 鞏固與檢測(cè)

已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,4)，B(-3,0), C(1,5)：

(1)求AB邊上的高所在直線的方程；

(2)求AB邊上的高和邊AB的長(zhǎng)度；

(3)求三角形的面積。

設(shè)計(jì)意圖：鞏固所學(xué)，查缺補(bǔ)漏，觀察學(xué)生學(xué)習(xí)效果。

1.6 回顧與總結(jié)

問(wèn)題4：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么知識(shí)？如何推導(dǎo)一個(gè)公式？研究中應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想、方法？接下來(lái)研究什么呢？

設(shè)計(jì)意圖：明確總結(jié)的脈絡(luò)，幫助學(xué)生梳理所學(xué)知識(shí)，為判斷直線與圓位置關(guān)系作鋪墊。

1.7 作業(yè)布置

班級(jí)群作業(yè)發(fā)布平臺(tái)。

2 一些思考

2.1 設(shè)計(jì)“好”問(wèn)題，讓命題教學(xué)從“快講多練”變成“參與建構(gòu)”

問(wèn)題是數(shù)學(xué)活動(dòng)的載體，通過(guò)問(wèn)題才能把知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的思維過(guò)程有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，認(rèn)識(shí)理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，并在活動(dòng)過(guò)程中構(gòu)建數(shù)學(xué)。[3]

本課設(shè)計(jì)的問(wèn)題1，從求運(yùn)輸費(fèi)用最低值入手，問(wèn)題處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，激發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)建模解決的欲望。

讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，也應(yīng)用于生活，鼓勵(lì)大家積極思考，采取多種方法解決問(wèn)題，并能在幾種方法中選出最優(yōu)解，在探討交流的過(guò)程中慢慢滲透數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.2 加強(qiáng)知識(shí)的聯(lián)系，讓公式理解從“孤立存在”變成“有意義的存在”

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生只有意識(shí)到自己已有命題(知識(shí))失去了效用，無(wú)法或不能解決當(dāng)前所面臨的問(wèn)題或困難時(shí)，才會(huì)產(chǎn)生學(xué)習(xí)或接受新命題的積極心向。新命題對(duì)自己有價(jià)值，即學(xué)生能夠看到新命題對(duì)解決自己當(dāng)前所面臨的問(wèn)題或困難有幫助，而這是原有命題(知識(shí))所不能解決的，這意味著學(xué)生把新命題看成是解釋、解決當(dāng)前問(wèn)題或困難的更好的途徑。[4]

3 結(jié)語(yǔ)

問(wèn)題是思維的起點(diǎn)，在教學(xué)的過(guò)程中，并非問(wèn)題越多越好，進(jìn)行問(wèn)題設(shè)計(jì)時(shí)，教師在課前一定要深思熟慮，要讓學(xué)生有種努力跳一跳可以摘取知識(shí)果實(shí)的自信。所以，數(shù)學(xué)課堂不僅僅是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是啟迪思維，讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)知識(shí)承載的思維活動(dòng)，讓學(xué)生走出課堂，能用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界。

[1]R.M.加涅著.王小明，等譯.教學(xué)設(shè)計(jì)原理(第五版)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2007.

[2]龍毅.利用元認(rèn)知理論發(fā)展學(xué)生思維能力[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996，(5).

[3]李善良.關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)——高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)案例分析之二[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2008，(1).

[4]周友士.基于認(rèn)知建構(gòu)理論的數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2008，(10).