內圓外方和外圓內方相關問題的些許思考

摘 要：在小學數學教學中，《圓》是重要組成部分，其中組合圖形的面積計算問題是重點與難點，本文以實踐教學的方式，對該部分問題進行研究分析，為今后的教學提供理論與實踐支持。

關鍵詞：小學數學；組合圖形；面積計算

在學習人民教育出版社六年級數學上冊第五單元《圓》的知識過程中出現了某些組合圖形，既內圓外方和外圓內方計算相關面積的問題，現就對本知識點的某些探究、思考與大家交流一下。

數學問題的解決進行公式化處理是學生最易理解和接受的學習方式，如長方形、正方形面積、周長公式化，三角形面積公式化等，那么內圓外方與外圓內方相關問題能否公式化處理，在教學過程中我和我班同學進行了一番探討，情況如下。

我們首先討論內圓外方問題。

一般來講，內圓外方問題有兩種情況：

1. 知道正方形邊長a求陰影部分面積，陰影部分面積=正方形面積-圓的面積。根據圓與正方形的關系（外切）我們可以知道圓的直徑d=a，所以陰影部分面積=a2-π×d22=a2-π×

a22=a2-π×a24=1-π4a2，此類情況較為簡單。

2. 知道圓的半徑r求陰影部分面積。我們知道圓與正方形外切，故2r=直徑d=正方形邊長a，所以a=2r，進而知道正方形面積=a2=（2r）2=4r2，陰影部分面積=4r2-πr2=（4-π）r2。

以上兩種情況較為簡單直觀，在與學生探究的過程中基本是以學生的合作討論為基礎，教師稍加總結即可得出結論。

下面我們討論第二類問題：外圓內方。

對于外圓內方問題我們同樣分為兩類展開討論。

1. 知道正方形邊長a求陰影部分面積。解決這個問題我們要借助輔助線來讓邊長a與圓的半徑r建立聯系。由正方形的特征我們知道三角形ABD為直角三角形，所以AB2+AD2=a2+a2=BD2=直徑d2，所以2a2=d2，又由d=2r可知d2=（2r）2=4r2=2a2，進一步得出r2=a22，所以圓的面積=πr2=πa22，陰影部分面積=圓的面積-正方形面積=

πa22-a2=π2-1a2。這類問題利用了勾股定理讓正方形邊長與圓的半徑建立聯系，這是解決問題的關鍵。

2. 知道圓的半徑r求陰影部分面積。解決這類問題仍需借助輔助線及勾股定理相關知識讓半徑r與正方形面積建立聯系。根據半徑的特征我們知道點C到圓心O的距離=半徑r，所以線段BD=d=2r。根據正方形特征我們又知道三角形ABD=三角形BCD，線段OC垂直于線段BD，所以OC是三角形BCD的高，由此可知三角形BCD的面積=OC×BD÷2，前面我們知道了OC=r，BD=d=2r，所以OC×BD÷2=r×d÷2=r×2r÷2=r2，正方形面積=三角形ABD+三角形BCD=r2+r2=2r2，那么陰影部分的面積=圓的面積-正方形面積=πr2-2r2=（π-2）r2。

以上四種情況雖以計算陰影部分面積為方向，但在計算過程中很好地體現了圓與正方形在內切、外切情況下它們面積的內在聯系。就六年級同學情況而言，整個探究推理過程中只有勾股定理較為生疏，此處對學生稍加點撥，學生基本都能正確運用。此類問題雖不是教學重難點，但對此類問題的探究大大激發(fā)了學生學習數學的興趣和研究探討問題的熱情，取得了很好的教學效果。

作者簡介：楊福海，山東省菏澤市，鄄城縣什集鎮(zhèn)中心校。