焦點三角形 高考常青樹

摘 要：橢圓、雙曲線上任一點與兩個焦點F1、F2所成的三角形，常稱之為焦點三角形。解焦點三角形問題經常借助于正余弦定理，并結合三角形邊角關系的有關定理加以解題。解題中，經常需要通過變形，結合橢圓、雙曲線的有關定義，使之出現(xiàn)

|PF1|+|PF2|=2a或|PF1|-|PF2|=±2a，再結合有關條件，進行解題。

關鍵詞：平臺；考查；數(shù)量積

一、 以橢圓、雙曲線作平臺，以焦點三角形為工具，考查離心率等知識

高考中，常結合橢圓、雙曲線上任一點與兩個焦點F1、F2所成的三角形，來考查橢圓、雙曲線的有關基礎知識，命題者常以焦點三角形為工具設置考點，如離心率等。

例1 設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1的左、右焦點。若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為（ ）

A. 52

B. 102

C. 152

D. 5

解析：設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1的左、右焦點，若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，設|AF2|=1，|AF1|=3，雙曲線中：2a=|AF1|-|AF2|=2，2c=|AF1|2+|AF2|2=10，∴離心率e=102，選B。

點評：解焦點三角形的有關問題，一定要很好結合題中的已知條件，并根據(jù)橢圓、雙曲線有關定義，如例1結合已知條件不難求解出雙曲線的a與c。

二、 以平面向量為舞臺，考查以焦點三角形三邊為向量等知識

高考在考查數(shù)學基礎知識的同時，注重數(shù)學學科的內在聯(lián)系和知識的綜合性，經常在知識網絡的“交匯點”處設計試題，常與平面向量相結合，

考查同學們知識能力的綜合運用。

例2 設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2-y29=1的左、右焦點。若點P在雙曲線上，且PF1·PF2=0，則|PF1+PF2|=（ ）

A. 10

B. 210

C. 5

D. 25

解析：設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2-y29=1的左、右焦點。若點P在雙曲線上，且PF1·PF2=0，則|PF1+PF2|=

2|PO|=|F1F2|=210，選B。

點評：本題主要考查焦點三角形與平面向量等基礎知識，以及綜合運用所學知識、分類討論等思想方法分析和解決問題的能力。需要考生有較扎實的理論知識及較強的分析問題的能力，同時要具備良好的運算能力。本題以圓錐曲線作為主線，與平面向量聯(lián)袂，以求向量的模為最終歸宿，充分體現(xiàn)了主干知識在高考中的地位和要求，考查考生的綜合數(shù)學素養(yǎng)和各種能力。

三、 以焦點三角形的邊長為袈裟，考查三角形的面積等知識

在焦點三角形三邊上設置“情境”，與三角形面積的有機結合，綜合考查學生們對新“情境”的處理能力。

例3 設P為雙曲線x2-y212=1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|∶|PF2|=3∶2，則△PF1F2的面積為（ ）

A. 63

B. 12

C. 123

D. 24

解析：因為|PF1|∶|PF2|=3∶2，設|PF1|=3x，|PF2|=2x，根據(jù)雙曲線定義得|PF1|-|PF2|=3x-2x=x=2a=2，所以|PF1|=6，|PF2|=4，|F1F2|=213，（213）2=52=62+42，△PF1F2為直角三角形，其面積為12×6×4=12，選B。

點評：這是以焦點三角形為背景和依托，考查三角形面積的題目。這種將圓錐曲線與三角形面積聯(lián)袂上演的題目會成為未來高考中的一個極大亮點。

四、 以平面向量的數(shù)量積為歸宿，考查最值等知識

充分利用直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎知識，常在周長、面積和平面向量的數(shù)量積上設置最值，來考查同學們的解決問題及推理計算能力。

例4 設F1、F2分別是橢圓x24+y2=1的左、右焦點。

（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求PF1·PF2的最大值和最小值；

（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點）。求直線l的斜率k的取值范圍。

解析：（Ⅰ）解法一：易知a=2，b=1，c=3

所以F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），設P（x，y），則

PF1·PF2=（-3-x，-y），（3-x，-y）=x2+y2-3=x2+1-x24-3=14（3x2-8）

因為x∈[-2，2]，故當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，PF1·PF2有最小值-2

當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，PF1·PF2有最大值1。

（Ⅱ）略。

點評：本題將圓錐曲線與平面向量的數(shù)量積的最值兩塊主體內容有機地滲透和聯(lián)系在一起。這種在交匯點設計的試題，注重內容的聯(lián)系性和知識的綜合性，既能增加知識的考查點，又能從學科整體的高度和思維價值的高度考慮問題，可謂視角獨特、回味無窮。

總之，在高考數(shù)學試卷中以焦點三角形為依托來考查其他數(shù)學知識，使知識之間相映生輝，渾然一體的試題。因此，同學們應加強訓練，加強應用意識，提高應用能力。

參考文獻：

[1]劉克忠.三角形內角平分線性質定理在解高考題中的應用[J].數(shù)學學習與研究，2017（16）：130.

[2]雷文軍.淺談解三角形的一題多解——以2016年一道江蘇高考題為例[J].高中數(shù)理化，2017（4）：11.

作者簡介：許金聚，福建省泉州市，福建省安溪第八中學。