幾何概型在高考中的知識交匯

袁治國

山西忻州田家炳中學(xué) (034000)

對于幾何概型，基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域卻是有限的，根據(jù)等可能性，某個點(diǎn)落在該區(qū)域的概率與該區(qū)域的度量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān).

幾何概型考查的主要類型有線型幾何概型，面型幾何概型.

線型幾何概型：適用于基本事件只受一個連續(xù)的變量控制的幾何概型.

面型幾何概型：適用于基本事件受兩個連續(xù)的變量控制的情況，一般是把兩個變量分別作為一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決.P(A)=

解決幾何概型問題的一般步驟：

1、明確概率模型為幾何概型，確定樣本空間和要求概率的事件所表示的圖形;

2、將幾何圖形畫出來;

3、把樣本空間和所求概率的事件所在幾何圖形的度量求出來，然后代入公式即可.

現(xiàn)行人教A版教材中，涉及區(qū)域問題的有定積分，線性規(guī)劃，正態(tài)分布，復(fù)數(shù)的幾何意義等等，所以這些都給考查幾何概型提供了很好的知識結(jié)合點(diǎn).

1.幾何概型與定積分知識相結(jié)合

(2014高考福建卷第14題)如圖1，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為 .

分析：利用定積分求解不規(guī)則圖形的面積，再利用幾何概型公式進(jìn)行求解，由對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的對稱性，可得兩塊陰影部分的面積相同.

圖1

2.幾何概型與規(guī)劃問題中的約束條件知識相結(jié)合

A．p1

C．p3

解析：在線性(非線性)規(guī)劃問題中，往往要討論約束條件所對應(yīng)的區(qū)域，先找出約束條件所對應(yīng)的可行域，然后確定可行域的面積大小，最后利用幾何概型公式討論概率大小.

(1) (2) (3)圖2

由圖知，陰影部分的面積從小到大依次是S2

3.幾何概型與正態(tài)分布知識相結(jié)合

(2015高考湖南，理7)在如圖3所示的正方形

圖3

中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個數(shù)的估計值為( ).

A.2386B.2718

C.3413D.4772

附：若X～N(μ,σ2),則P(μ-σ

分析：本題主要考查正態(tài)分布與幾何概型等知識點(diǎn)，屬于容易題，結(jié)合參考材料中給出的數(shù)據(jù)，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性，再利用幾何概型即可求解，在復(fù)習(xí)過程中，亦應(yīng)關(guān)注正態(tài)分布等相對冷門的知識點(diǎn)的基本概念.

4.幾何概型與復(fù)數(shù)幾何意義相結(jié)合

解析：本題主要考察復(fù)數(shù)的模的幾何意義及幾何概型知識.

圖4

在備考的過程中，應(yīng)廣泛關(guān)注知識點(diǎn)的交匯，尋找結(jié)合點(diǎn)，聯(lián)系點(diǎn)，尤其是一些細(xì)小的，獨(dú)立的小知識點(diǎn)，更應(yīng)該給予足夠的重視，它們極有可能成為其它板塊知識考查的結(jié)合點(diǎn).