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    幾道2017年國(guó)外數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題的優(yōu)雅證明

    2018-03-23 09:23:10彭小奇
    關(guān)鍵詞:玩味細(xì)細(xì)品味萍鄉(xiāng)市

    彭小奇

    江西省萍鄉(xiāng)市湘東中學(xué) (337016)

    本文旨在給出幾道最新的國(guó)外數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題的優(yōu)雅證明,里面滲透了命題人和答題者的許多心思和智慧,供讀者學(xué)習(xí)和玩味.

    注1:此題平而不俗,此證非常大氣.

    注3:證明1是分析法開道,綜合法書寫.證明2充分體現(xiàn)了答題者代數(shù)變形的功力.

    注4:不等式研究弘揚(yáng)的是不斷嘗試、堅(jiān)定探索的科學(xué)精神.

    注5:此證看似簡(jiǎn)單,但含金量很高,值得細(xì)細(xì)品味.

    注6:不等式證明方法中蘊(yùn)含著豐富的辯證法思想.

    例7 (2017年以色列數(shù)學(xué)奧林匹克)已知a,b,c是滿足a2+3b2+7c2=11的非負(fù)實(shí)數(shù),求證:2b+6c+abc≤9.

    證明:因?yàn)閍2-1,b2-1,c2-1中必有兩個(gè)不同時(shí)大于零或者不同時(shí)小于零,故不妨設(shè)(a2-1)(b2-1)≤0,于是a2+b2≥a2b2+1,a2+b2+c2-2abc≥a2b2+c2-2abc+1≥1,1≤a2+b2+c2-2abc=a2+3b2+7c2-2(b2+3c2+abc),1≤11-2(b2+3c2+abc),∴b2+3c2+abc≤5,2b+6c+abc≤b2+1+3(c2+1)+abc≤9.

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