“圓”形畢露
——例談軌跡思想在解題中的應(yīng)用

張文海

江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) (215100)

最值問題一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)也是各地高考的熱點(diǎn)問題，在高考中占有舉足輕重的地位.它具有多元化、廣泛性、滲透性的特點(diǎn)，可以說分布在高中數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)層面中.解答最值問題時(shí),要求學(xué)生熟練掌握高中各知識(shí)模塊的基礎(chǔ)知識(shí)，綜合運(yùn)用各類數(shù)學(xué)思想與技能，靈活選擇合理的角度和方法.本文筆者根據(jù)自身教學(xué)實(shí)踐，從軌跡思想的角度分析探討處理高中數(shù)學(xué)一類最值問題的處理方法，希望能給讀者帶來一定的幫助.

分析2:根據(jù)向量的代數(shù)屬性，聯(lián)想到條件和問題用坐標(biāo)表征，將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行處理．

分析1:大多數(shù)同學(xué)會(huì)根據(jù)余弦定理及三角形的面積公式，把ΔABC的面積表達(dá)為某個(gè)自變量的函數(shù)，再利用函數(shù)的思想求出該函數(shù)的最大值．

評(píng)注：對(duì)比兩種解法，思路1是研究最值問題的通性通法，思路2把代數(shù)問題幾何化，利用幾何性質(zhì)，有效地減少了運(yùn)算量，快速地解決了問題.

分析1:根據(jù)向量的代數(shù)特征，遇到向量模的問題常通過設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)來表示模.

分析2:根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可知四邊形PMQN是矩形.

圖1

圖2

例4 在ΔABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且DC=2BD，AB∶AD∶AC=3∶k∶1，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析1:設(shè)BD=x，則DC=2x，因?yàn)椤螧DA+∠CDA=π，所以

cos∠BDA+cos∠CDA=0，即

圖3

分析3:如圖3,設(shè)AB=3，AC=1,AD=k，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，線段AC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系xCy，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，因?yàn)锳B=3，所以點(diǎn)B在以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓上，圓的方程為(x-1)2+y2=9(*).

圖4

圖5

圖6

思路決定出路，思維的高度決定解題的長(zhǎng)度．縱觀近幾年高考試卷中的解析幾何題目,其涉及面廣、綜合性強(qiáng)、背景新穎、靈活多樣,解題策略較多,滲透著多種數(shù)學(xué)思想和方法.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在一定的條件下運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡是對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)結(jié)果的一種深刻理解，明確動(dòng)點(diǎn)的軌跡之后再利用軌跡的幾何性質(zhì)研究最值問題，就有軌可依，有跡可循，往往可以起到另辟蹊徑、化繁為簡(jiǎn)的作用．