一道奧林匹克問題的推廣及拓展

孫丕訓(xùn) 張留杰

北京市陳經(jīng)綸中學(xué) (100020)

筆者在閱讀文[1]時(shí)，發(fā)現(xiàn)此問題內(nèi)涵豐富、規(guī)律性較強(qiáng)，于是對此問題進(jìn)行了更加深入的思考，與大家共勉．

一、問題的推廣

我們先從特殊的正多邊形入手思考，不難得出：

即便結(jié)合正五邊形時(shí)的結(jié)論，也不易猜想出一般規(guī)律，于是我們類比文[1]中的證明方法，先探究正n邊形時(shí)的結(jié)論．

圖1

=an-1(ai>0，i=1,2,…,n-1)，PA1=x1，PA2=x2，…，PAn=xn(xi>0，i=1,2,…,n)．

分別在四邊形PA1A2An、PA1A3An、…、PA1An-1An中，運(yùn)用托勒密定理，可得

A1An·PA2=PA1·A2An+A1A2·PAn、A1An·PA3=PA1·A3An+A1A3·PAn、…、A1An·PAn-1=PA1·An-1An+A1An-1·PAn，注意到正n邊形中A1An=A1A2=a1，A2An=A1A3=a2，…，等相等關(guān)系，所以有a1x2=a2x1+a1xn、a1x3=a3x1+a2xn、…、a1xn-1=an-1x1+an-2xn，將這n-2個(gè)式子相加，得a1(x2+x3+…+xn-1)=(a2+a3+…+an-1)x1+(a1+a2+…+an-2)xn，

下面求這個(gè)定值．

設(shè)正多邊形A1A2…An的外接圓O的半徑為R，

圖2

二、問題的拓展

我們知道，點(diǎn)是圓的極限圖形，將點(diǎn)“膨脹”為圓，或?qū)A“收縮”為點(diǎn)，可以命制具有新意的問題，文[2]將圓內(nèi)接四邊形的頂點(diǎn)“膨脹”為圓，對托勒密定理進(jìn)行了如下拓展：

圖3

托勒密定理的推廣：如圖3，已知點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，⊙O1外切⊙O于點(diǎn)D，AM、BN、CL分別切⊙O1于點(diǎn)M、N、L．則AB·CL+BC·AM=AC·BN．

根據(jù)文[2]中的推廣，我們也可以將結(jié)論1進(jìn)行類似拓展，于是有

[1]黃金福.數(shù)學(xué)奧林匹克問題.高536[J].中等數(shù)學(xué).2017.8.

[2]張留杰,邱繼勇.第1578問題的簡證、推廣及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報(bào).2006.7.60-61.