斗轉(zhuǎn)星移:坐標(biāo)平移在圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用

郝培德 邵建

浙江省杭州學(xué)軍中學(xué) (310012) 浙江省衢州第二中學(xué) (324000)文

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)必考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).一般地，在處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，我們通常會(huì)聯(lián)立兩者的方程，得到關(guān)于某個(gè)變量x(或y)的一元二次方程，然后得到一組韋達(dá)定理.在大多數(shù)情況下這樣的計(jì)算是相當(dāng)復(fù)雜的，因此學(xué)生常常感到難以應(yīng)對(duì)，算不出所以來(lái).近日筆者在高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，如果適當(dāng)?shù)刈髯鴺?biāo)平移，并巧用“1”的代換，能使一類圓錐曲線題得到簡(jiǎn)單的解法，可以說(shuō)是“別有一番滋味”.下面筆者就通過(guò)2017年全國(guó)卷上的高考題來(lái)舉例說(shuō)明，并用此解法作了三個(gè)拓廣，供參考.

一、考題再現(xiàn)

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn).

設(shè)直線l對(duì)應(yīng)的直線變?yōu)閘′，方程為mx′+ny′=1.②

(1)求直線AB的斜率；

(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.

解：(1)易得kAB=1.

在教學(xué)過(guò)程中，筆者試著對(duì)題目的條件進(jìn)行了變式，但仍用上述的方法，得到了以下三個(gè)推廣結(jié)論.

二、考題拓廣

若我們考慮把例1中的條件“直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1”改為“直線P2A與直線P2B的斜率之積為-1”，那么直線l是否仍過(guò)定點(diǎn)呢？

設(shè)直線AB對(duì)應(yīng)的直線變?yōu)锳B′，方程為mx′+ny′=1.②

若我們考慮把橢圓換成更一般的圓錐曲線，且動(dòng)弦PA,PB相互垂直，則直線AB又具有怎樣的特點(diǎn)呢？

命題3 已知P(x0,y0)為圓錐曲線Γ上的任一定點(diǎn)，PA,PB為動(dòng)弦，且PA⊥PB,則直線AB為一簇平行直線或是過(guò)定點(diǎn)的直線系.

(1)若A+B=0,且C=0,則直線AB的方程為x=0；

(4)若A+B≠0,但C=0,則直線AB的方程為x=0.

[1]傅建紅.一類悄然升溫的“嵌套函數(shù)”零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題例談[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西),2013(12):10-12.