如何實現(xiàn)解題教學(xué)從“課本”向“高考”的跨越
——從教材*一道數(shù)列習題談起

徐愛勇

江蘇省江浦高級中學(xué) (211800)

1.問題的由來

高考復(fù)習教學(xué)要重視教材，早已成為共同的共識.但從目前的教學(xué)實際情況來看，仍普遍存在著口頭重視行動不落實、想落實不知怎樣落實、努力落實而效果不理想的現(xiàn)象.目前，我國長江沿線多處隧道的開通，大大拉近了大江南北之間的距離，促使國家更快更好地發(fā)展！而我們在高考復(fù)習教學(xué)的過程中，尤其是解題教學(xué)中，如能把“課本題”和“高考題”進行“無縫對接”，在這兩者之間建好相應(yīng)的“隧道”，這樣一定會激發(fā)學(xué)生學(xué)習過程中那股久違的熱情，同時也勢必增強我們數(shù)學(xué)人的職業(yè)幸福感！

鑒于此，筆者以《必修5》課本中的一道數(shù)列復(fù)習題為例，來闡述我們在解題教學(xué)中如何實現(xiàn)“課本”向“高考”的跨越.不當之處，敬請批評指正.

2.課本題展現(xiàn)

(蘇教版必修5P60復(fù)習題第2題)

設(shè){an}是等比數(shù)列，有下列四個命題：

其中正確命題的個數(shù)是( ).

A.1B.2C.3D.4

本題雖然簡單，但我們不應(yīng)該就此匆匆“滑過”！因為教材中的例習題都是經(jīng)過專家們精心構(gòu)思、反復(fù)推敲后選定的，多數(shù)題目具有較強的基礎(chǔ)性，入口淺，有利于學(xué)生夯實基礎(chǔ)知識；同時，教材中的許多例習題還能進行深入挖掘與拓展.多年來，課本題已經(jīng)不成文地被約定為高考命題組出題的唯一“題源”！

3.高考題鏈接

我們不妨回看近10年的江蘇高考卷.在試卷的壓軸題位置就出現(xiàn)了3次，這就更加凸顯對此相關(guān)問題研究的必要性和重要性.

(2007年江蘇卷第20題)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，a1=b1，a2=b2≠a1，記Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.

(1)若bk=am(m，k是大于2的正整數(shù))，求證：Sk-1=(m-1)a1;

(2)若b3=ai(i是某個正整數(shù))，求證：q是整數(shù)，且數(shù)列{bn}中的每一項都是數(shù)列{an}中的項.

(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列{bn}中有三項成等差數(shù)列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由.

(2)求證：對于給定的正整數(shù)n(n≥4)，存在一個各項及公差均不為零的等差數(shù)列b1，b2，…，bn，其中任意三項(按原來的順序)都不能組成等比數(shù)列.

(2015年江蘇卷第20題)設(shè)a1,a2,a3,a4是各項為正數(shù)且公差為d(d≠0)的等差數(shù)列

(1)證明：2a1,2a2,2a3,2a4依次成等比數(shù)列；

(2)是否存在a1,d，使得a1,a2,a3,a4依次成等比數(shù)列，并說明理由；

(3)是否存在a1,d及正整數(shù)n,k，使得an1,an+k2,an+2k3,an+3k4依次成等比數(shù)列，并說明理由.

等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種不同的數(shù)列模型，但兩者也不是絕對不相容的.等差數(shù)列中的某些項可以構(gòu)成等比數(shù)列，甚至可以找到一個無窮的等比子數(shù)列.反之，我們也可以從等比數(shù)列中挖掘出一個等差子數(shù)列來.當然外省市的高考題中也不時地對此進行考查，限于篇幅，這里就不再羅列.

這些高考題是歷屆學(xué)生考試丟分的主體，我們雖花大力氣開展復(fù)習，但效果不甚理想.如何突破這個瓶頸呢？筆者認為，我們必須要上出有“深度”的習題課！有深度的習題課要能夠引導(dǎo)學(xué)生在思維能力層面拾級而上，不斷提升，認識由表及里，不斷深刻.實施好從“課本”到“高考”的跨越，這是時代賦予我們的責任與擔當.

4.“隧道”的實施

近期，“南京市陳久貴名師工作室”開展教學(xué)研討活動，筆者有幸開設(shè)一節(jié)高三二輪復(fù)習公開課，并嘗試從上述“課本題”出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生從容面對相應(yīng)考題，教學(xué)預(yù)設(shè)兩課時.本節(jié)課為第一節(jié)課，主體思路是從這道“課本題”出發(fā)，修建一個“數(shù)列隧道”，通向“高考”.而建設(shè)這個“隧道”的“盾構(gòu)機”的名字就叫做“拓展延伸”；從而在“課本題”與“高考題”之間搭建有力的“腳手架”.同時，要讓學(xué)生明白這樣一個道理：復(fù)習題目不在多，題目不在新，關(guān)鍵在于怎么用而已.

4.1 拓展

等差等比數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)中的經(jīng)典材料，一直處于數(shù)學(xué)教學(xué)的核心地位.在平時的教學(xué)中，我們可以將數(shù)列{an}的元素(如項數(shù)、項、前n項和、公差和公比)施以最簡單的四則運算，便很快可以得到如下拓展：

拓展1：如果數(shù)列{an}、{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么數(shù)列{an+bn}是否為等比數(shù)列？數(shù)列{pan+qbn}(其中p，q為常數(shù))也是等比數(shù)列嗎？

拓展2：如果數(shù)列{an}、{bn}是項數(shù)相同的等差數(shù)列，那么數(shù)列{an+bn}是否為等差數(shù)列？數(shù)列{pan+qbn}(其中p，q為常數(shù))也是等差數(shù)列嗎？

拓展3：當數(shù)列{an}是等比數(shù)列時，數(shù)列{an+an+r}(其中r為常數(shù)，且r=0,1,2，……)也是等比數(shù)列嗎？

拓展4：當數(shù)列{an}是等差數(shù)列時，數(shù)列{an+an+r}(其中r為常數(shù)，且r=0,1,2，……)也是等差數(shù)列嗎？

通過對課本習題的拓展，將知識串珠成線，引導(dǎo)學(xué)生歸納類比、反思和建構(gòu)，使之舉一反三，由此及彼，思想得到升華，能力得到提升，從而散發(fā)出高效課堂的魅力.

4.2 延伸

而深度研究后，我們還可以對數(shù)列的這些相關(guān)元素施以更為高級的運算，以“等差等比數(shù)列的不變性”為宗旨，做如下延伸：

延伸1 數(shù)列{an}是以d為公差(q為公比)的等差(等比)數(shù)列，Sn(Tn)是數(shù)列{an}的前n項和(積)，則

(1)各項加、減、乘、除(乘、除)非零實數(shù)k，所得結(jié)果仍為等差(等比)數(shù)列；

(2)每間隔m(m∈N+)項所得的項按原順序仍組成等差(等比)數(shù)列；

(3)等差(等比)數(shù)列前n項和(積)的平均數(shù)(幾何平均數(shù))是等差(等比)數(shù)列；

(4)若q≠-1或q=1且k是奇數(shù)，則Sk,S2k-Sk,…,Snk-S(n-1)k,…是等差(等比)數(shù)列；

(5)在非常數(shù)等差(等比)數(shù)列中不存在連續(xù)三項依次成等比(等差)數(shù)列.

上述性質(zhì)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的對偶性質(zhì)，我們還可以從等差數(shù)列出發(fā)，探究其存在等比子數(shù)列所需要的條件.

相應(yīng)的，我們也能找到等比數(shù)列中存在等差子數(shù)列所需要的充要條件.

延伸3 (1)能從一個公比為q的無窮等比數(shù)列{an}中，按序號依次選出一個無窮項等差數(shù)列{ank}的充要條件是|q|=1；

(2)在公比非±1的無窮等比數(shù)列{an}中有可能選出一個無窮等差數(shù)列.

5.觀念的思考

由此看來，我們只有加強從課本題的演練，從思路、方法、技能上進行改造創(chuàng)新，做到“三分做，七分思”，善于歸納總結(jié)和積累經(jīng)驗，才能觸類旁通.

這為我們在復(fù)習選題時提供了依據(jù)，選題的原則是：以常規(guī)題、中等難度的題為主，既要有針對性、目的性，又要“有話可說”.在高考復(fù)習中以課本題為“出發(fā)點”，以主干知識為核心，以課本題的拓展性、多解性、歸一性、開放性和辨析性等特點精心做好復(fù)習工作，積極更新教學(xué)觀念，只有這樣才能真正地占領(lǐng)高考的“制高點”.

[1]普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)5(蘇教版)，江蘇鳳凰教育出版社.

[2]林婷.有效使用高中數(shù)學(xué)教材的幾點思考.數(shù)學(xué)通報，2013,6，P23-26.

[3]徐愛勇.找準“出發(fā)點”，占領(lǐng)“制高點”——高三數(shù)學(xué)復(fù)習的基本定位.數(shù)學(xué)通訊，2013,10，P47-49.

[4]吳躍忠，金佳琳.關(guān)于等差(等比)數(shù)列的研究進展.數(shù)學(xué)通訊，2015,6，P38-41.