設(shè)計開放性數(shù)學(xué)作業(yè) 促進(jìn)學(xué)生差異發(fā)展

□林 俊

“學(xué)生的學(xué)習(xí)，除了聽老師的講解以外，還要靠反復(fù)不斷的練習(xí)。獲取知識需要練習(xí)，掌握本領(lǐng)更需要練習(xí)?！狈从车氖?“掌握知識、形成技能”的傳統(tǒng)作業(yè)設(shè)計理念?，F(xiàn)實中出現(xiàn)的 “作業(yè)布置得多、學(xué)生做得苦、教師批改得累”的現(xiàn)象，往往是以理解知識和強化技能為指向的，折射的是教師作業(yè)設(shè)計理念的落后和作業(yè)設(shè)計能力的缺失。如何避免機械、重復(fù)、單調(diào)、乏味的低效作業(yè)？練什么、怎么練則是繞不過去的兩個核心問題。 “怎么練，練什么內(nèi)容更有意義，要靠老師來設(shè)計。”顯然，作業(yè)設(shè)計教師不可缺席，旁人無法代替！ “教師設(shè)計得好，指導(dǎo)得法，學(xué)生事半功倍；教師設(shè)計得不好，指導(dǎo)不得法，學(xué)生事倍功半?！笨梢?，在作業(yè)設(shè)計中，教師責(zé)任重大、責(zé)無旁貸。

傳統(tǒng)作業(yè)內(nèi)容機械重復(fù)，缺乏挑戰(zhàn)性；作業(yè)形式呆板枯燥，缺乏趣味性；要求統(tǒng)一僵化，缺乏靈活性。這種落后的作業(yè)形式降低了學(xué)生的熱情，固化了學(xué)生的思維，壓抑了學(xué)生的個性，也與數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)“使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”理念相悖。因此，新課改背景下的作業(yè)設(shè)計應(yīng)以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為指南，理念可以前衛(wèi)一點，內(nèi)容可以開放一點，要求可以靈活一點，設(shè)計開放題就是一個很好的切入點。

答案不固定、條件不完備或者策略多樣化的習(xí)題，稱為開放題，它是與封閉題相對的。目前教材中的開放題還不多，教師需進(jìn)行設(shè)計。設(shè)計開放題既可以利用陳題改編，又可以通過對現(xiàn)有開放題的加工得到，還可以根據(jù)需要自己獨立設(shè)計。一份優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)作業(yè)往往能體現(xiàn)教師一定的專業(yè)水平和學(xué)術(shù)水準(zhǔn)。

一、設(shè)計情境開放的數(shù)學(xué)作業(yè)，促進(jìn)學(xué)生差異發(fā)展

學(xué)習(xí)的最大動力乃是對所學(xué)材料的興趣。小學(xué)生受年齡和心理限制，他們喜歡新穎有趣、形式多樣和貼近生活的作業(yè)。精心選擇現(xiàn)實生活中的材料，設(shè)計一些包含情境的數(shù)學(xué)問題，對于激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性大有好處。

翻開教材或各種練習(xí)冊、試卷，計算類似16×79、2790÷90的練習(xí)題比比皆是。如此習(xí)題，雖然能有效地訓(xùn)練學(xué)生 “兩位數(shù)乘兩位數(shù)”和 “除數(shù)是兩位數(shù)的除法”的相關(guān)技能，但如果經(jīng)常做這種枯燥的練習(xí)，學(xué)生就會覺得數(shù)學(xué)面目可憎，作業(yè)索然無味。因此，筆者認(rèn)為不妨作如下包裝、設(shè)計：

列豎式計算下面各題，并將計算結(jié)果填到等號后，使等式成立，同時將結(jié)果填入短文中，使短文信息完整。

722÷38= 121×16= 130÷26=

209×9= 1210÷22= 317×6=

你知道嗎？魯迅是中國偉大的文學(xué)家、思想家和革命家。原名周樹人，字豫才，浙江紹興人。___年出身于破落封建家庭。 ___年前往日本學(xué)醫(yī)，后棄醫(yī)從文。 ____18年____月，首次用筆名 “魯迅”發(fā)表中國現(xiàn)代文學(xué)史上第一篇白話小說 《狂人日記》。 ____年10月病逝于上海，終年____歲。

改造后的練習(xí)題，有著濃濃的文化味，在鞏固數(shù)學(xué)知識的同時也與語文學(xué)科建立了聯(lián)系。學(xué)生要把這6道題的答案：19，1936，5，1881，55，1902填入介紹魯迅生平的文字中，既要運用過去學(xué)習(xí)的年月日知識，又要進(jìn)行合情推理，由此便拓展了學(xué)生的知識面，提高了學(xué)生的思維能力。這種別出心裁的設(shè)計，使學(xué)生感到練習(xí)有趣而不乏味、有挑戰(zhàn)而不簡單。

單調(diào)、劃一的傳統(tǒng)作業(yè)題型，往往容易引起視覺疲勞，使學(xué)生產(chǎn)生消極應(yīng)付的心理。如果變換一下題型，從形式到內(nèi)容來個 “大變臉”，就會使人耳目一新，喜聞樂見，最大限度地吸引學(xué)生參與。

如：學(xué)習(xí) “百分?jǐn)?shù)”后，就可設(shè)計題型，讓學(xué)生在優(yōu)美詩文中計算百分?jǐn)?shù)問題。

春水春池滿，春時春草生，

春人飲春酒，春鳥弄春色。

（1）請朗誦這首詩，看看哪個字出現(xiàn)得最多？

（2）“春”字出現(xiàn)的次數(shù)占全詩總字?jǐn)?shù)的百分之幾？

（3）課后找一首詩，使某一個字出現(xiàn)的次數(shù)至少占10%，然后有感情地朗讀。

這個練習(xí)沒有止于單純的紙筆計算練習(xí)，而是融“百分?jǐn)?shù)”的計算于優(yōu)美、開放的詩文情境之中，學(xué)生既要找詩，又要讀詩，還要計算。語、數(shù)結(jié)合，趣味無窮。海量的資料檢索、不同的詩詞閱讀、具體的數(shù)學(xué)運算等實踐活動形式，大大豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。

再如 “小數(shù)加減法”的課后作業(yè)，提供了一家快餐店的午餐食譜，同時標(biāo)明每種食物的蛋白質(zhì)含量。

（1）根據(jù)自己的口味和飯量選餐，并列豎式計算所訂飯菜蛋白質(zhì)的總含量。

（2）營養(yǎng)學(xué)家經(jīng)過一系列調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn)：7~10歲的兒童一頓飯的蛋白質(zhì)含量大約需要22.5克。把自己選餐中的蛋白質(zhì)總量和標(biāo)準(zhǔn)比一比，看是高了，還是低了，并計算相差多少。

（3）看到比較結(jié)果，想想你以后選餐需要注意什么。

這樣的作業(yè)，因為與學(xué)生的現(xiàn)實生活緊密相連，所以他們興致很高；因為與學(xué)生的營養(yǎng)狀況息息相關(guān)，他們都想知道自己喜歡的飯菜蛋白質(zhì)含量是多少，是否符合規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，所以他們迫不及待地想做。這樣的作業(yè)自然增強了學(xué)生合理膳食的意識，將枯燥的計算與情境相融，很好地調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

二、設(shè)計條件開放的數(shù)學(xué)作業(yè)，促進(jìn)學(xué)生差異發(fā)展

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是教會學(xué)生思考，而設(shè)計具有低起點、寬入口、有挑戰(zhàn)的開放題，能夠在傳授知識、訓(xùn)練技能的同時，更好地滲透數(shù)學(xué)思想方法。設(shè)計一些具有現(xiàn)實意義、思考價值的開放題——條件開放題、問題開放題、結(jié)論開放題及策略開放題，可以面對不同學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)實，促進(jìn)不同學(xué)生的適度提升。條件開放題可以從改編現(xiàn)有封閉題的條件得到，十分方便、快捷。

如：三名選手跳遠(yuǎn)的成績：A.3.84米；B.4.01米；C.3.□9米。

（1）誰是第一名，誰是第二名？

（2）如果A是第二名，□里可以填哪些？

（3）如果C是第二名，□里可以填哪些數(shù)？

此題由封閉題 “三名選手跳遠(yuǎn)的成績：A.3.84米；B.4.01米；C.3.89米。誰是第一名，誰是第二名？”改編而來。把封閉題的一個條件3.89的十分位留白，任學(xué)生思維自由馳騁，使每個學(xué)生都有得說，有得講，滿足了學(xué)生的不同需要。不僅使學(xué)生在相互交流中對小數(shù)比較大小的方法理解得更加透徹，而且在分析問題、解決問題中滲透了分類思想。

再如：小華家離學(xué)校125米，小青家離學(xué)校175米，小華家與小青家之間相距多少米？

原題配有插圖 （學(xué)校在兩家之間，且在同一直線上），思維含量不高，學(xué)生只需看圖列式即可解決問題，涉及的只是低層次思維。當(dāng)把教材中的插圖去掉后得到的條件開放題，思維附加值明顯提高。這樣，為不同水平的學(xué)生提供了展示聰明才智的廣闊舞臺。

（1）小華家、小青家和學(xué)校都在一條直線上，并且都在學(xué)校的一側(cè)，則兩家相距175-125=50（米）；

（2）小華家、小青家和學(xué)校都在一條直線上，并且分散在學(xué)校的兩側(cè)，則兩家相距125+175=300（米）；

（3）小華家、小青家和學(xué)校都不在一條直線上，則兩家的距離大于50米，而小于300米。

多數(shù)學(xué)生受固有思維慣性的影響，可能只是考慮了上述情況 （1）或（2），頭腦靈活一點的學(xué)生能夠考慮這兩種情況，水平較高的學(xué)生則可能考慮到情況 （3），但不會用圓環(huán)圖完整地表達(dá)所有的情形。通過生生互動，相互補充、不斷完善，形成了完整的認(rèn)知視角；經(jīng)過教師引領(lǐng)，師生互動，學(xué)生思維從片面走向全面，從具體走向抽象，從零散走向統(tǒng)整，令不同層次的學(xué)生眼界大開，受到思維風(fēng)暴的洗禮。

三、設(shè)計要求開放的數(shù)學(xué)作業(yè)，促進(jìn)學(xué)生差異發(fā)展

由于受多重因素的影響，學(xué)生在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、經(jīng)驗和能力等方面都存在差異。為此，設(shè)計作業(yè)時，不能“一刀切” “齊步走”，而應(yīng)該從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實出發(fā)，針對學(xué)生的個體差異設(shè)計彈性化作業(yè)，為每個學(xué)生創(chuàng)造一個寬松、自主的練習(xí)，提高和發(fā)展的人文環(huán)境，使每個學(xué)生都成為學(xué)習(xí)的主人，品嘗到成功的喜悅，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程中不斷獲得前進(jìn)的動力。

如新授課上，為了幫助學(xué)生記憶和理解公式，培養(yǎng)學(xué)生靈活思維的能力，運用公式S=πr2求圓面積時，可設(shè)計以下A、B、C三個層次的練習(xí)，供不同層次的學(xué)生選擇。

按照美國教育心理學(xué)家B.S.布盧姆掌握學(xué)習(xí)理論，我們把教學(xué)目標(biāo) （認(rèn)知目標(biāo)）水平由低到高分為以下5個層次：識記、領(lǐng)會、簡單運用、綜合運用和創(chuàng)見。不同層次的學(xué)生有不同的選擇空間，也有相應(yīng)的達(dá)標(biāo)要求：學(xué)困生至少應(yīng)該達(dá)到A層 （簡單運用水平），中等生要達(dá)到B層 （綜合運用水平），優(yōu)等生力求達(dá)到C層 （創(chuàng)見水平）。

還可以根據(jù)不同層次的學(xué)生設(shè)計模仿練習(xí)、變式練習(xí)和發(fā)展練習(xí)三類，學(xué)生根據(jù)自己的實際情況自由選擇適合自己需要的作業(yè)。如學(xué)習(xí) “長方體和正方體的認(rèn)識”之后，設(shè)計了如下難度漸增的作業(yè)：

★一個長方體紙盒的長是5厘米、寬是4厘米、高是3厘米，做這個紙盒需要多少平方厘米的紙？它的體積是多少？

★★一個長方體紙盒的棱長總和是48厘米，長是5厘米、寬是4厘米，它的體積是多少？

★★★一個長方體紙盒的底面積是20平方厘米，底面周長是18厘米，它的表面積是94平方厘米，它的體積是多少？

再如：學(xué)習(xí) “億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”后，設(shè)計難易不等、彈性極大的開放作業(yè)：

用4個 “8”和4個 “0” 擺一擺。

★擺出不同的幾個數(shù)，寫下來，再讀一讀。

★★按要求擺一個數(shù)，寫下來，再讀一讀。

（1）一個 “0”都不讀出來的八位數(shù)；

（2）只讀出一個 “0”的八位數(shù)；

（3）讀出兩個 “0”的八位數(shù)；

（4）讀出三個 “0”的八位數(shù)。

★★★按二星級的要求擺出所有的數(shù)，寫下來，再讀一讀。

這種作業(yè)可以讓不同層次的學(xué)生找到適合自己的作業(yè)，調(diào)動了學(xué)生做作業(yè)的積極性，樹立了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，享受到作業(yè)成功的樂趣。

在 “減負(fù)”背景下，還可以在控制作業(yè)總量的情況下，通過制訂作業(yè)選擇的規(guī)則，鼓勵學(xué)生完成更具思考性、挑戰(zhàn)性的作業(yè)，激發(fā)自我效能。如 “長方形和正方形的面積”綜合練習(xí)，8題為一組，其中有6題為一星題、1題為二星題、1題為三星題，由學(xué)生自由選擇、組合題目來完成6顆星。

★★★從邊長10厘米的正方形紙上，剪去一個長3厘米，寬2厘米的長方形，剩下的紙片面積是多少？周長呢？

★★一塊長方形和一塊正方形的面積相等。已知正方形的邊長是6厘米，長方形的寬是4厘米。求長方形的周長。

★一個長方形寬5厘米，長是寬的2倍。求它的周長和面積。

★一個長方形長10分米，寬比長短2分米。求它的面積。

★一個正方形周長是12厘米，它的邊長是多少？面積是多少？

★一個長方形面積是48平方分米，寬是6分米，長是多少？

★一個長方形長40厘米，寬3分米，求它的面積。

★一個長方形長6厘米，寬4厘米，它的周長和面積各是多少？

四、設(shè)計表征開放的數(shù)學(xué)作業(yè)，促進(jìn)學(xué)生差異發(fā)展

表征是學(xué)生對問題內(nèi)隱思考的外在表達(dá)，不同學(xué)生表征的方式方法是有差異的。表征開放實質(zhì)上就是解題方式、方法的開放。表征開放的數(shù)學(xué)作業(yè)，為不同學(xué)生展露自己的思想、才華提供了大顯身手的機會。表征開放的數(shù)學(xué)作業(yè)，教材或配套練習(xí)中有的，我們要慧眼識珠，為我所用；如果沒有，要加以收集、設(shè)計，以更好地照顧學(xué)生差異、暴露學(xué)生差異、展示學(xué)生差異、利用學(xué)生差異，在群體交流、互動中，相互欣賞、品味、質(zhì)疑、碰撞，促進(jìn)學(xué)生差異發(fā)展。

一道淺顯的題目，也能反映不同學(xué)生的思維風(fēng)格：

圖1

圖1是用語言表征的?？梢钥闯?，答題者是邊審題邊表征的：看到 “小芳比小云輕一些”，寫下 （比）“26kg少”；看到 “小強比小云重一些”，寫下 （比）“26kg多”。表達(dá)如此及時、簡潔。

圖2

圖2也是用語言表征的，但與圖1的區(qū)別在于：答題者不是把簡潔的表達(dá)寫在與條件對應(yīng)的題目之中，而是寫在一起的?？梢钥闯鰧懙臅r候是邊寫邊想的，哪個寫在26前，哪個寫在26后。這樣按照一定的順序、特定的邏輯排好之后，答案就自然顯現(xiàn)出來了。

圖3

圖3是用圖形表征的。答題者用一條線段表示小云體重26kg，體重比小云輕的線段就畫短一點，比小云重的線段就畫長一點。誰最重、最輕看線段的長短一目了然。

再如，學(xué)習(xí) “三位數(shù)除以一位數(shù)” （口算）后，作業(yè)中出現(xiàn)了一道思考題。

圖4中的大長方形表示420，涂色部分表示多少？

圖4

雖然學(xué)生答案是一致的，但是想法卻多種多樣，這可以從他們不同的表征中窺見端倪。

圖5

圖5一簡一繁、一明一暗。左邊用圖示清楚地表達(dá)了陰影部分 （三角形）轉(zhuǎn)化為長方形的過程，而右邊則惜墨如金， “6格”二字就高度概括了轉(zhuǎn)化的過程。

圖6

圖6的2個答題者雖然都把空白的小三角形涂成了黑色，都把陰影部分 （三角形）轉(zhuǎn)化為長方形了，但左邊是表示把右邊的三角形割下來補到下邊，右邊表示的是這兩個三角形是完全相同的。

圖7

顯然，圖7傳遞的信息與圖6左邊表達(dá)的意思更加接近，用箭頭清楚地表示出割補、旋轉(zhuǎn)的過程。

圖8

正如學(xué)生所言， “圖8中的長方形可變成6個涂色部分?！钡唧w表達(dá)有細(xì)微差別，有用色彩表示的，有用線段分割的；分割線的方向也有不同。

圖9

圖10

圖9、圖10中，為什么答題者還用三道算式表示？這兩個解答看似多此一舉，其實與上面的思路還是不同的。他們是先求出每個小長方形的大小，再求出兩個小長方形的大小，最后再求陰影部分的大?。▓D1中的表征就標(biāo)示得非常清楚）。因為陰影部分是兩個小長方形組成的較大長方形的一半，這可從圖10的表征得到印證。

圖11中，答題者的思路與上面的截然不同，他們看到的等量關(guān)系是陰影部分等于它所在長方形的一半，而不是把陰影部分轉(zhuǎn)化成長方形。

圖11

圖12中，答題者思路更具獨特性：別人看到的是大長方形里有6個小長方形，而他看到的則是3個長方形。他在思考時，能夠始終指向問題，壓縮思維步驟，這是難能可貴的。雖計算有誤，但我還是照樣獎勵了一個五角星。

圖12

[1]陳樸，潘自由，等．怎樣設(shè)計小學(xué)生的練習(xí)和作業(yè)［M]．南京：江蘇教育出版社，1987．

[2]肖川主編．名師作業(yè)設(shè)計經(jīng)驗［M]．北京：教育科學(xué)出版社，2007．

[3]方臻，夏雪梅編著．作業(yè)設(shè)計——基于學(xué)生心理機制的學(xué)習(xí)反饋［M]．北京：教育科學(xué)出版社，2014．

[4]林俊．?dāng)?shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計的走向：超越傳統(tǒng)［N]．中國教育報，2013－3－27．

[5]希文．這樣的習(xí)題好［J]．小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2005，（6）．